理论力学25优秀课件

1、动静法动静法(一一)理论力学理论力学10 动静法动静法 动静法动静法(methods of kineto statics)是指应用达朗贝尔原理来研究非自由质点系的动力学问题,在工程中有极其广泛的应用。 动静法的特点动静法的特点是在引入虚加惯性力之后 , 用静力学中研究平衡问题的方法来处理动力学中不平衡的问题。10.1 质点的动静法质点的动静法 将牛顿第二定律应用于非自由质点有F +FN = maF +FN = ma若引入 FI =ma, 称为质点的达朗贝尔惯性力达朗贝尔惯性力(dAlembert inertial force),则上式可写成F +FN +FI = 0即作用于质点的主动力、约束力

2、和质点的达朗作用于质点的主动力、约束力和质点的达朗贝尔惯性力贝尔惯性力(如果也把它看成一个力的话如果也把它看成一个力的话)在形在形式上构成一个平衡力系式上构成一个平衡力系,这一结果称为质点的达达朗贝尔原理朗贝尔原理(dAlembert principle of a particle)。 这种在加速运动的质点上虚加虚加一个惯性力,而把动力学问题在形式上形式上转化为静力学问题的方法称为动静法动静法(method of kineto statics)。 动静法的优点在单个质点的动力学问题中是难于体会的,它主要表现在非自由质点系特别是刚体的动力学问题中。 关于惯性力的慨念关于惯性力的慨念 如果就研究对

3、象本身而言如果就研究对象本身而言,惯性力显得是虚惯性力显得是虚加的加的,或者表观的或者表观的,但当涉及周围物体时但当涉及周围物体时,它就成它就成为了实在的力。为了实在的力。关于惯性力的慨念关于惯性力的慨念FIFaF10.2 质点系的动静法质点系的动静法 考虑由n个质点组成的质点系,对其中每个质点应用达朗贝尔原理得Fi +FNi +FIi = 0 i=1,2, ,n将这样n个形式上的平衡力系加在一起仍然是一个平衡力系,根据平衡定理可得(Fi +FNi +FIi) = 0MO(Fi) +MO(FNi) +MO(FIi) = 0式中FIi =miai 由此可见, 当一非自由质点系当一非自由质点系运动

4、运动时时, 作用于质作用于质点系的主动力系、约束力系和质点系的惯性力系点系的主动力系、约束力系和质点系的惯性力系, 每一瞬时在每一瞬时在形式上形式上构成一个平衡力系构成一个平衡力系。上述结论称为质点系的达朗贝尔原理达朗贝尔原理(dAlembert principle of a system of particles)。在使用中应注意以下几点:主动力系和约束力系中的内力不要计入内力不要计入;实际应用中, 矢量方程可投影于直角坐标系或自然轴系,类似于静力学中平衡方程的应用;1. 这里所谓的平衡仅仅是形式上的平衡仅仅是形式上的, 实质上动静法中的平衡方程仍然表示质点系的运动和受力之间的关系。10.3

5、 刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的简化 将质点系的动静法用于刚体时 , 由于惯性力是体积力 , 在每个质元上虚加惯性力实际上是不可行的。为此 , 需要研究刚体惯性力系的简化。用惯性力系的主矢和向某一点简化的主矩来代替与之等效的惯性力系。10.3.1 惯性力系的主矢惯性力系的主矢FIR=FIi =miaimiai = maCFIR=maC上式表明, 无论刚体作什么运动无论刚体作什么运动,惯性力系的主惯性力系的主矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积矢都等于刚体质量与质心加速度的乘积, 方向方向与质心加速度方向相反与质心加速度方向相反。12.3.2 惯性力系的主矩惯性力系的主矩 一般说来,刚体惯性力系

6、的主矩既与刚体的运刚体的运动形式动形式有关,又与简化中心的位置简化中心的位置有关。下面仅就最常见的三种刚体运动形式进行讨论。 平动平动 向质心简化。设刚体的平动加速度为a , 质元mi 相对于质心的矢径相对于质心的矢径为ri , 于是可得MIC=MC(FIi) =ri( mi a) = ( mi ri)a = mrCa = 0 定轴转动定轴转动 仅考虑工程中常见的具有垂直于转轴z的质量对称平面S的简单情况。首先将惯性力系简化为对称平面S内的平面力系,然后再向z轴与S的交点O简化。因为负号表示主矩MIz与角加速度的转向相反。Mz(FIin) = 0MIz =Mz (FIit) = ri (mia

7、it ) = (mi ri2) = Jz OmiSaitaintIiFnIiF 平面运动平面运动 只考虑平面图形S为质量对称平面的情况。首先将惯性力系简化为对称平面S内的平面力系,然后再向质心C简化。取C为基点,则质元mi的加速度可表示为对应的惯性力可表示为显然ai = aC + aniC + atiCFii = FIiC + FIin+ FIitMC(FIin) = 0CmiaCaCICiFStIiFnIiFtiCaniCa式中JC是刚体对于通过质心C且质量对称平面S的轴的转动惯量,负号表示主矩MIC与角加速度的转向相反。故有而MC(FIiC ) = ri( mi aC)k = ( miri

8、 )aCk = 0MIC=MC(FIit) = JC CmiaCaCICiFStIiFnIiFtiCaniCa12.3.3 刚体惯性力系的简化结果刚体惯性力系的简化结果 平动平动FIR=maC 作用于质心作用于质心C 定轴转动定轴转动FIR=maCMIz=Jz 作用线通过转轴作用线通过转轴O。OCaCFIRMIz质量对称平面质量对称平面 平面运动平面运动FIR=maCMIC =JC 作用线通过质心作用线通过质心C。CaCFIRMIC质量对称平面质量对称平面S 1. 均质杆OA绕O轴在铅垂平面内作定轴转动其角速度为,角加速度为,如图所示。在下面所画的刚体惯性力系简化图中,哪一个是正确的?MIOM

9、IOFIRMIOMIOMIOMIOtIRFtIRFnIRFnIRFnIRFnIRFtIRFtIRF2. 如图示, 半径为r, 质量为m1的均质圆盘B沿水平面纯滚;重物A质量为m2, 加速度为a, 滑轮质量不计。试求A和B的惯性力系简化结果,并在图中画出。FIA = m2 aFIB = m1aMIC = m1ar/ 2AOCBkaFIAFIBMIC3. 图示飞轮由于安装的误差,其质心不在转动轴上。若飞轮质量为m,偏心距为e,飞轮以匀转速转动,试求轴承A处的附加动反力。llllmgFNAFNBaCFIR解解: 飞轮静止时,由静载荷引起的轴承的反力称为静反力静反力(statical constrai

10、nt force),即FNA = FNB = mg / 2当飞轮匀速转动时,虚加惯性力如图示,其大小为FIR = maC = me2由惯性力所引起的轴承附加反力称为动反力动反力(dynamical constraint force):FNA=FNB = me2/2 在高速转动的情况下在高速转动的情况下,那怕是极小的偏心距那怕是极小的偏心距,也可能产生相当大的附加动反力也可能产生相当大的附加动反力,造成各种严重造成各种严重的后果。的后果。 为了消除轴承的附加动反力, 首先应当消除转动刚体的偏心现象,使刚体的质心位于转轴的轴线上。这样,因为惯性力系的主矢等于零,由它所引起的附加动反力也将等于零。没有偏心距的刚体,若仅受重力作用,则不论刚体转到什么位置,它都能保持静止。这种情况称为静平衡静平衡(static equilibrium)。 静平衡的刚体在转动时,是否还可能产生附加动