信号与线性系统总复习(2014-6-6)教材

1、信号与系统总复习考试题型及大纲A卷，六大题卷，六大题判断信号的周期性；判断信号的周期性；(10分分)信号的时间变换；信号的时间变换；(10分分)求解连续时间信号的输出求解连续时间信号的输出(响应响应)； (20分分)用两种方法求解斐波拉契数列的通项；用两种方法求解斐波拉契数列的通项； (20分分)用傅里叶变换法求解连续时间系统的响应；用傅里叶变换法求解连续时间系统的响应； (20分分)1.用拉氏变换法求解连续时间系统的响应；用拉氏变换法求解连续时间系统的响应； (20分分)周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号 定义在定义在(- -，)区间，每隔一定时间区间，每隔一定时间T (或或整数整数N

2、），），按相同规律重复变化的信号。按相同规律重复变化的信号。连续周期信号连续周期信号f(t)满足满足 f(t) = f(t + mT)，m = 0, 1, 2, 离散周期信号离散周期信号f(k)满足满足 f(k) = f(k + mN)，m = 0, 1, 2, 满足上述关系的最小满足上述关系的最小T T( (或整数或整数N N) )称为该信号的称为该信号的周期周期。不具有周期性的信号称为不具有周期性的信号称为非周期信号非周期信号。连续周期信号举例例例 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1 1）f1(t) = sin2t + cos3

3、t （2）f2(t) = cos2t + sint分析分析 两个周期信号两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为的周期分别为T1和和T2，若其周，若其周期之比期之比T1/T2为有理数，则其和信号为有理数，则其和信号x(t) + y(t)仍然是周期仍然是周期信号，其周期为信号，其周期为T1和和T2的最小公倍数。的最小公倍数。解答解答解答（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为 1= 2 rad/s ， T1= 2/ 1= s cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为是周期信号，其角频率和周期分别为 2= 3 rad/s ， T2= 2/ 2= (2/3

4、) s由于由于T1/T2= 3/2为有理数，故为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为为周期信号，其周期为T1和和T2的最小公倍数的最小公倍数2。（2） cos2t 和和sint的周期分别为的周期分别为T1 = s， T2 = 2 s，由于，由于T1/T2为无理数，故为无理数，故 f2(t)为非周期信号。为非周期信号。离散周期信号举例1例例 判断正弦序列判断正弦序列f(k) = sin(k)是否为周期信号，若是，是否为周期信号，若是，确定其周期。确定其周期。解解 f (k) = sin(k) = sin(k + 2m) ， m = 0, 1, 2, mN)mN)sinsin (k (k 2

5、2 m mk k sinsin式中式中称为数字角频率，单位：称为数字角频率，单位：rad。由上式可见：。由上式可见： 仅当仅当2/ 为整数时为整数时，正弦序列才具有周期，正弦序列才具有周期N = 2/ 。当当2/ 为有理数时为有理数时，正弦序列仍为具有周期性，但其周，正弦序列仍为具有周期性，但其周期为期为N = M(2/ )，M取使取使N为整数的最小整数。为整数的最小整数。当当2/ 为无理数时为无理数时，正弦序列为非周期序列。，正弦序列为非周期序列。离散周期信号举例2例：例： 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = s

6、in(3k/4) + cos(0.5k) （2）f2(k) = sin(2k)解：解：（1 1）sin(3k/4) 和和cos(0.5k)的数字角频率分别为的数字角频率分别为 1 = 3/4 rad， 2 = 0.5 rad由于由于2/ 1 = 8/3， 2/ 2 = 4为有理数，故它们的周期为有理数，故它们的周期分别为分别为N1 = 8 ， N2 = 4，故，故f1(k) 为周期序列，其周期为为周期序列，其周期为N1和和N2的最小公倍数的最小公倍数8。 （2 2）sin(2k) 的数字角频率为的数字角频率为 1 = 2 rad；由于；由于2/ 1 = 为无理数，故为无理数，故f2(k) =

7、sin(2k)为非周期序列为非周期序列 。举例由上面几例可看出：由上面几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。是周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。序列之和一定是周期序列。例例1 1例例2 2例例3 3连续周期信号示例连续周期信号示例离散周期信号示例离散周期信号示例1离散周期信号示例离散周期信号示例2信号的加法和乘法同一瞬时两信号同一瞬时两信号对应值对应值相加（相乘）。相加（相乘）。t t sint t 8sint tt 8sinsint

8、 tsint t8sint tt 8sinsin离散序列相加、乘12, k13, k0f (k )6 , k10 , k 其其他他23, k02 , k1f (k )4 , k20 , k 其其他他122,k16,k0f (k )f (k )8,k14,k20,k 其其他他129 , k0f (k )f (k )12, k10 , k 其其他他信号的时间变换1.1.信号的反转；信号的反转；2.2.信号的平移；信号的平移；3.3.信号的展缩（尺度变换）；信号的展缩（尺度变换）；. . 4.4.混合运算举例。混合运算举例。1. 信号反转信号反转 将将 f (t) f ( t) ， f (k) f

9、( k) 称为对信号称为对信号f () O21 1 tf tt t-t t 没有实现此功能的实际器件没有实现此功能的实际器件，数字信号处理中可，数字信号处理中可的的反转反转或或反折反折。 从图形上看是将从图形上看是将f ()以纵坐标为轴反转以纵坐标为轴反转180o。如。如 以以实现此概念，例如堆栈中的实现此概念，例如堆栈中的“后进先出后进先出”。 2. 信号的平移 将将 f (t) f (t t0) ， f (k) f (k k0)称为对信号称为对信号f ()的的t t 1右移右移t t + 1左移左移雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。平移平移或或移位

10、移位。若。若t0 (或或k0) 0，则将，则将f ()右移；否则左移。右移；否则左移。如：如：3. 信号的展缩(尺度变换） 将将 f (t) f (a t) ， 称为对信号称为对信号f (t)的的尺度变换尺度变换。t 2t 压缩压缩t 0.5t 扩展扩展离散信号：离散信号：由于由于 f (a k) 仅在为仅在为a k 为为整数整数时才有意义，时才有意义， 进行进行尺度尺度如：如：若若a 1 ，则波形沿横坐标压缩；若，则波形沿横坐标压缩；若0 a 1 ，则扩，则扩展展 。变换变换时可能会使时可能会使部分信号丢失部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。因此一般不作波形的尺度变换。4. 混合运算举

11、例例例1 1例例3 3平移与反转相结合平移与反转相结合平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。 abtafbatftf例例2 2平移与尺度变换相结合平移与尺度变换相结合注意：注意：l 对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错；对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错；意意一切变换都是相对一切变换都是相对t而言；而言；对逆运算，反之。对逆运算，反之。l 混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注平移与反转平移与反转相结合相结合举例例例1 1 已知已知f (t)如图所示，画出如图所示，画出 f (2 t)。 解答解答

12、 法一法一： 先平移先平移f (t) f (t + 2) 再反转再反转 f (t +2) f ( t + 2)法二法二： 先反转先反转 f (t) f ( t) 再右移再右移 f ( t) f ( t + 2)左移左移右移右移= f (t 2)平移与展缩平移与展缩相结合相结合举例例例2 2 已知已知f (t)如图所示，画出如图所示，画出 f (3t + 5) 解答解答Ot)(tf1 11t)5( tf6 14 5 Ot)53( tf12 34 时移时移 尺度尺度变换变换尺度尺度变换变换时移时移平移、展缩、反折平移、展缩、反折相结合相结合举例例例3 3 已知已知f (t)如图所示，画出如图所示，

13、画出 f (- - 2t - - 4)。 解答解答压缩，得压缩，得f (2t 4)反转，得反转，得f ( 2t 4)右移右移4，得，得f (t 4)也可以也可以先压缩、再平移、最后反转先压缩、再平移、最后反转。压缩，得压缩，得f (2t)右移右移2，得，得f (2t 4)反转，得反转，得f ( 2t 4)微分方程的经典解微分方程的经典解y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)高等数学中经典解法：高等数学中经典解法：完全解完全解 = =

14、 齐次解齐次解 + 特解。特解。 LTILTI连续系统：连续系统：常系数的常系数的n n 阶线性常微分方程。阶线性常微分方程。 齐次解：齐次解： 满足齐次方程的通解，又叫满足齐次方程的通解，又叫齐次解齐次解。 特解：特解： 满足非齐次方程的解，叫满足非齐次方程的解，叫特特解解。 1. 齐次解齐次解00111 aaannn 0)()()()(01111 tyatyatyatynnnnii , 2 , 1 齐次方程：齐次方程：特征方程：特征方程：特征根：特征根：后由初始条件定后由初始条件定特征根特征根n个单实特征根个单实特征根齐齐 次次 解解 )(tyh nitiiec1 r重实根重实根trrrr

15、ectctctc )(012211 1对共轭复根对共轭复根 ja 21， atetDtC)sin()cos( jDCAetAeatat ),cos( 或或r重共轭复根重共轭复根 齐次解的形式由特征根定齐次解的形式由特征根定: 待定系数待定系数Ci在求得全在求得全解解齐次解举例 的齐次解。的齐次解。求微分方程求微分方程tftytyttyttyt12dd16dd7dd2233解：系统的特征方程为解：系统的特征方程为01216723 03223 , 221重根 tthCCtCty33221ee特征根特征根对应的齐次解为对应的齐次解为2. 特解特解rmm 1mm 110t ( P tPtP tP )

16、t10P tP )e （特解的函数形式特解的函数形式与激励函数形式有关如下表，将与激励函数形式有关如下表，将特特解函数式解函数式代入原方程代入原方程，比较定出待定系数。，比较定出待定系数。激励激励f(t)响应响应y(t)的特解的特解yp(t)mtmm 1mm 110P tPtP tP te tPe cost sint 12P costP sint rr 1trr 10P tPtP )e （常数常数常数常数特征根均不为特征根均不为0特征根特征根= 特征根特征根= r重特征根重特征根特征根特征根j有有r重特征根为重特征根为0特解举例如果已知：如果已知： 求此方程的特解。求此方程的特解。 tfttf

17、tyttyttydd3dd2dd22 e ,tf t 例：例：给定微分方程式给定微分方程式当当f(t) = et 时时 特解为特解为yp(t) = P et ，这里，这里，P是待定系数。是待定系数。 代入方程后有：代入方程后有：tttttPPPeee3e2e31P。于是，特解为于是，特解为te31 例例 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（求（1）当）当f(t) = 2e-t，t0；y(0) = 2，y(0) = -1时的全解时的全解 （2）当）当f(t) = e-2t，t0；y(0) = 1，y(0) = 0时的全解。时的全

18、解。 解解: (1) 特征方程：特征方程： 2 + 5+ 6 = 0 特解：特解： yp(t) = e t 其特征根：其特征根： 1= 2，2= 3齐次解：齐次解： yh(t) = C1e 2t + C2e 3t 特解：特解： yp(t) = Pe t 特解带入方程：特解带入方程：Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得解得 ： P = 1全解全解 = = 齐次解齐次解 + + 特解特解 例例 题题全解：全解： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t其中其中 待定常数待定常数C1, C2由初始条件确定由初始条件确定。

19、y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1 = 1 解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2 最后得全解最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0 （2）齐次解）齐次解同上。同上。 当激励当激励f(t) = e2t时，其指数与特征根之一相重时，其指数与特征根之一相重 特解：特解： yp(t) = (P1t + P0)e2t 特解代入方程：特解代入方程： P1e-2t = e2t 得：得： P1 = 1 但但P0未定未定特解：特解： yp(t) = (t + P0)e2t 全全 解解全解：全解： y(t) = C1e2t + C2e3t +

20、 te2t + P0e2t = (C1 + P0)e2t + C2e3t + te2t将初始条件代入：将初始条件代入：y(0) = (C1 + P0) + C2 = 1 y(0) = 2(C1 + P0) 3C2 + 1 = 0解得解得 ： C1 + P0 = 2 , C2 = 1 最后得微分方程的最后得微分方程的全解全解： y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0上式第一项的系数上式第一项的系数C1 + P0 = 2，不能区分，不能区分C1和和P0，因而，因而也也不能区分自由响应和强迫响应不能区分自由响应和强迫响应 一般信号一般信号f(t)作用于作用于LTI系统的响应系统的响应

21、ej tH(j ) ej t21F(j ) ej t d 21F(j )H(j ) ej t d 齐次齐次性性de)(21tjjFde)()(21tjjFjH可加可加性性f(t)y(t) = F 1F(j )H(j ) Y(j ) = F(j )H(j ) de)(21)(tjjFtf频率响应例1例：例：某系统的微分方程为某系统的微分方程为 解：解：微分方程两边取傅里叶变换微分方程两边取傅里叶变换j Y(j ) + 2Y(j ) = F(j ) 2j1)(j)(j)(j FYHf(t) = e-t(t)1j1)(j FY(j ) = H(j )F(j )2111)2)(1(1 jjjjy(t) = (e- -t e- -2t )(t) 求求f(t) = e-t(t)时的响应时的响应y(t)。y (t) + 2y(t) = f(t)一、微分方程的变换解一、微分方程的变换解 描述描述n阶系统的微分方程的一般形式为阶系统的微分方程