三重积分计算及重积分应用

1、二、三重积分计算的基本方法二、三重积分计算的基本方法1. 选择合适的坐标系选择合适的坐标系使积分域多为坐标面使积分域多为坐标面(线线)围成围成;被积函数用此坐标表示简洁或变量分离被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.2. 选择易计算的积分序选择易计算的积分序积分域分块要少积分域分块要少, 累次积分易算为妙累次积分易算为妙 .图示法图示法列不等式法列不等式法3. 掌握确定积分限的方法掌握确定积分限的方法 累次积分法累次积分法把积分把积分 zyxzyxfddd),(化为三次积分化为三次积分,其中其中 由曲面由曲面222,xyyxz 0,1 zy提示提示: 积分域为积分域为:原式原式 220d),(y

2、xzzyxf及平面及平面220yxz 12 yx11 x 12dxy 11dx所围成的闭区域所围成的闭区域 .xyz练习题练习题 计算三重积分计算三重积分,d)(22vzy 其中其中 是由是由 xoy平面上曲线平面上曲线xy22 所围成的闭区域所围成的闭区域 .提示提示: 利用柱坐标利用柱坐标 sincosrzryxx 原式原式 522drx绕绕 x 轴旋转而成的曲面与平面轴旋转而成的曲面与平面5221 xr100 r 20 rr d1003 20d 3250 :zxyo55 x三重积分计算的基本技巧三重积分计算的基本技巧分块积分法分块积分法利用对称性利用对称性1. 交换积分顺序的方法交换积分

3、顺序的方法2. 利用对称性简化计算利用对称性简化计算3. 消去被积函数绝对值符号消去被积函数绝对值符号1. 积分区域关于坐标面的对称性积分区域关于坐标面的对称性. .2. 被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇被积函数在积分区域上关于三个坐标变量的奇偶性偶性.只有当积分区域和被积函数的对称性只有当积分区域和被积函数的对称性相匹配相匹配时时, ,才才能简化能简化. .利用对称性简化三重积分的计算：利用对称性简化三重积分的计算：.,),()1(.,积积分分为为零零三三重重的的奇奇函函数数时时是是关关于于当当被被积积函函数数平平面面对对称称关关于于如如果果积积分分区区域域一一般般地地zzyxfxO

4、y 其它情形依此类推其它情形依此类推. .三重积分计算的简化三重积分计算的简化.,),()2(分分的的两两倍倍的的三三重重积积平平面面上上方方的的半半个个闭闭区区域域在在积积分分为为三三重重的的偶偶函函数数时时是是关关于于当当被被积积函函数数xOyzzyxf 设有空间闭区域设有空间闭区域0,| ),(22221zRzyxxyx22222( , , )|,0,0,0 x y xxyzRxyz 则有（则有（ ）12( )4Axdvxdv12( )4Bydvydv12( )4Czdvzdv12()4DxyzdvxyzdvC. 1:d222 zyxvez，计计算算例例1 解解法法，故故采采用用先先二二

5、后后一一为为圆圆域域的的函函数数，截截面面被被积积函函数数仅仅为为2221)(zyxzDz 1d2dvevezz 10)(ddd2zeyxzzD 102d)1(2zezz .2 典型例题典型例题所所围围成成的的与与由由其其中中，计计算算22221d)(yxzyxzvzx 例例2 解解利用球面坐标利用球面坐标奇奇函函数数，的的为为面面为为对对称称，关关于于xxzyxfyoz ),(. 0d vx有有 vzvzxdd)( 1024020dsincosddrrr .8 例例3 ,)0(, 0)0(,)(存在存在设设ffCuf ，求求)(1lim40tFtt )(tF解解 在球坐标系下在球坐标系下 t

6、rrrftF02020d)(dsind)( trrrf02d)(4 40)(limttFt 利用洛必达法则与导数定义利用洛必达法则与导数定义, ,得得3204)(4limtttft ttft)(lim0 )0(f 0)0( Fzyxzyxftzyxddd)(2222222 其中其中 0)0(f 第四节一、立体体积一、立体体积 三、物体的质心三、物体的质心 重积分的应用 第十章 四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 二、曲面的面积二、曲面的面积 五、物体的引力五、物体的引力 二重积分的元素法二重积分的元素法将定积分的元素法推广到二重积分，可得二重积分的元素法：若要计算的某个量U对于闭区域D具有可

7、加性： 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域d时，相应地部分量可近似地表示为f(x,y) d的形式，其中(x,y)在d内。 f(x,y) d称为所求量U的元素，记为dU，则所求量的积分表达式为：（即当闭区域D分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U等于部分量之和），DUdU( , )Df x y dd一、立体体积一、立体体积 一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体曲顶柱体的顶为连续曲面),(yxfz 则其体积为DyxyxfVdd),(,),(Dyx 占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为zyxVddd1:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V .

8、例例1. 求曲面分析分析: 1:221yxzS222:yxzS1M第一步: 求切平面 方程; 第二步: 求 与S2的交线 在xOy面上的投影,写出所围区域 D ;第三步: 求体积V . zO(示意图) 1:221yxzS任一点的切平面与曲面222:yxzS所围立体的体积 V . 解解: 曲面1S的切平面方程为202000122yxyyxxz它与曲面22yxz的交线在 xOy 面上的投影为1)()(2020yyxxyxVDdd 22yx 202000122yxyyxxyxDdd 12020)()(yyxx sin,cos00ryyrxx令2(记所围域为D ),(000zyx在点Drrrdd2例例

9、1 1. 求曲面 rr dd10320 xoyza2例例2. 求半径为a 的球面与半顶角为 的内接锥面所围成的立体的体积.解解: 在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zyxVdddcos202darrdsincos316033a)cos1(3443acos20ar 0200dsin20drrvdddsind2rM二、曲面的面积二、曲面的面积 曲面方程：( , ),( , )zf x yx yDD:有界闭区域求曲面的面积 AMAdzdnxyzSo设光滑曲面DyxyxfzS),( , ),(:则面积 A 可看成曲面上各点),(zyxM处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上

10、的投影为 d ,Adcosd),(),(11cos22yxfyxfyxd),(),(1d22yxfyxfAyx(称为面积元素)则Mnd(见P99)故有曲面面积公式d),(),(122DyxyxfyxfAyxyzxzADdd)()(122若光滑曲面方程为zyzxyxAdd)()(122,),( , ),(zyDzyzygx则有zyD即xzxyzyAdd)()(122若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzDxzxzhy若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxF则则有yxzyzxDyxFFyzFFxz),(,AyxDxzDzzyxFFFF222,0zF且yxdd曲面面曲面面积积221xyDAffd其

11、中其中D是曲面在坐标面是曲面在坐标面z=0上的投影区域上的投影区域求曲面面积的步骤：求曲面面积的步骤：（1）求曲面在坐标面）求曲面在坐标面z=0上的投影区域上的投影区域D（2）在区域）在区域D上计算二重积分：上计算二重积分：221xyDAffd同理可得同理可得设曲面的方程为：设曲面的方程为：( , )xg y z曲面面积公式为：曲面面积公式为：221()()yzDxxAdydzyz设曲面的方程为：设曲面的方程为：( , )yh z x曲面面积公式为：曲面面积公式为：221()()zxDyyAdzdxzx例例3求球面求球面 被平面被平面222zaxy(0)zhha所截的球冠的面积。所截的球冠的面

12、积。解：解：222zaxyzh球冠在球冠在 xoy 面上面上的投影区域：的投影区域：2222:D xyah222zaxy2222:D xyah222zxxaxy 222zyxaxy 221()()zzxy222222221xyaxyaxy222aaxy221()()zzxy222aaxy2222:D xyah221()()DzzAdxy222Dadxdyaxy2222200ahadrdrar2()a ah2 aH()Hah2()Aa ah2AaH半球面面积：半球面面积：20lim2()2hAa aha球面面积：球面面积：24Aa例例4 求圆锥面求圆锥面 被圆柱面被圆柱面 22zxy22xyx所

13、截部分的面积。所截部分的面积。投影区域：投影区域：22:D xyx所求曲面：所求曲面：22zxy22zxxxy22zyyxy221()()DzzAdxy2Dd224作业作业P155 10 P175 1，2，3习题课 三、物体的质心三、物体的质心 三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点, ),(kkkzyx其质量分别, ),2, 1(nkmk由力学知, 该质点系的质心坐标,11nkknkkkmmxx,11nkknkkkmmyynkknkkkmmzz11设物体占有空间域 ,),(zyx有连续密度函数则 公式 ,分别位于为为即:采用 “分割，近似，求和，取极限” 可导出其质心 将 分成 n 小

14、块, ),(kkk将第 k 块看作质量集中于点),(kkk例如,nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(令各小区域的最大直径,0zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点同理可得zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,),(常数时当zyx则得形心坐标：,dddVzyxxx,dddVzyxyyVzyxzzddd的体积为zyxVddd若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, ),(yx为yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yx

15、yxyxyxyyDDdd),(dd),(,常数时,ddAyxxxDAyxyyDdd(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为MMyMMx其面密度 xMyM 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩4例例5. 求位于两圆sin2rsin4r和的质心（形心）。 2D解解: 利用对称性可知0 x而DyxyAydd1Drrddsin312rr dsin4sin22dsin956042956dsin295620437之间均匀薄片0dsin3143212OyxC43A z = 0的的重重心心求求均均匀匀半半球球体体 0 , : zazyxyxzo yx 则则,zyx)，（设重心为设重心为 zy

16、xzVz ddd 柱面坐标柱面坐标a332a V z a83 )83, 0 , 0a( ( 故故重重心心为为用哪种坐标？用哪种坐标？例例6.2202001aazzV ddd四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量 设平面有设平面有n个质点个质点),(kkyxkm该质点系的转动惯量该质点系的转动惯量nkkkxmyI12第第k个质点的位置个质点的位置质点系的转动惯量质点系的转动惯量质量质量xoykxkykkxmyI2nkkkymxI12kkymxI2平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量The Moment of Inertia of a Lamina如果物体是平面薄片,面密度为Dyxyx),(),(D

17、xyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( 则转动惯量的表达式是二重积分.xDyo2y2x)(22yx DyyxyxIdd),( rraddsin0302例例7.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图, 0:222yayxDyxyIDxdd2Drrddsin23441a241aM半圆薄片的质量221aM 2212的转动惯量.OxyDaa空间有界闭区域上物体的转动惯量设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数. ),(zyx该物体位于(x , y , z) 处的微元 vzyxyxd),()(22因此物体 对 z 轴 的转动惯量:zyxzyxyxIzddd),()(22

18、zIdxyoz对 z 轴的转动惯量为 类似可得:zyxzyxIxddd),( zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量)sinsincossin(222222rr解解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,:2222azyx则zIzyxyxddd)(22552aMa252dddsin2rr olzxy132220d球体的质量334aM dsin03rrad04例例8.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.设球 所占域为(用球坐标) 五、物体的引力五、物体的引力 2020

19、20)()()(zzyyxxr ,G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域 ,，连续),(zyx物体对位于点P0(x0, y0, z0)处的单位质量质点的引力为vrxxzyxGFxd)( ),(d30vryyzyxGFyd)( ),(d30vrzzzyxGFzd)( ),(d30其密度函数引力元素在三坐标轴上分量为),(zyxFFFF 其中rzxvdyFd0POvrxxzyxGFxd)( ),(30vryyzyxGFyd)( ),(30vrzzzyxGFzd)( ),(30若求 xOy 面上的平面薄片D, 对点P0处的单位质量质点的引力分量, ),(yxDzrzyxGFd)0( ),(30因此引力分量为 则上式改为D上的