第三章小波分析

1、第三章第三章 小波分析小波分析二、小波分析 1、小波就是一个小区域的波：正负起伏均匀并具有一定的收敛性，向两端快速衰减趋向于零。相应的小波函数是反对称函数，在全域上积分为0。 对于 如果 满足 称 为基本小波或小波母函数 d12)()()(2RLt 0)()0( dtt)(t二、小波分析对于一个基本小波 , 令其中，a为收缩因子，b为平移因子。 是由生成的依赖参数的连续小波 )(t0 , ),(1)(,aRbaabtatba)(,tba二、小波分析 小波框架： 其频域表示 对偶函数框架BAfBffAjkkj0,22,20)2(2zjjBAfBffAjkkj01,122,2二、小波分析2、小波变

2、换小波变换定义：定义： 为为f(t)f(t)的连续小波变换的连续小波变换(CWT) (CWT) 小波变换就是小波基函数与待分析信号之间小波变换就是小波基函数与待分析信号之间的一个卷积过程。的一个卷积过程。 dtabttfafbafWba)()(1 ,),(,二、小波分析2、小波变换小波变换 描述：用镜头观察待分析信号 ， 代表镜头所起的作用(例如：滤波或卷积)。b相当于使镜头相对于目标平行移动，a的作用相当于焦距：当尺度a较大时视野宽而分辨率低，可以作观察概貌；当尺度a较小时视野窄而分辨率高，可以作细节观察。这种由粗及细对信号的逐级分析被称为“数学显微镜”。 )(tf)(,tba二、小波分析3

3、、离散小波变换 把连续小波变换中尺度参数a和平移参数b的离散化公式分别取作aa0j， bk a0jb0 ，对应的离散小波函数 ) t (, jk)kt()kt(baaabaa0j -02/ j0j00j02/ j0二、小波分析 取a=2,b=1，对应的尺度为2j，而平移为2jk。由此得到的小波 小波变换通过频率作不同层次的分解，获得各种信号特征。) t (, jk)kt(22-j2/ j),()(2tfkfWj)(2kjRjtf)(12) kt(2-j二、小波分析相应的逆变换称之为二进小波和二进小波变换zjtf )(*)(2kfWj)(2tjzj)(2kfWjdk)kt(2-j小波包的基本原理

4、1、小波包的定义由递推关系确定的函数集合 为由 定义的小波包)()()()()2(2)()2(2)(1011202ttwttwkttwkttwwhwhnzkknnzkknznntw)()()(0ttw其频域表达式10)(21)(),(21)(,)(1,10,0,12或其中其中kkknHHwHHHk小波包的正交性质1、平移正交性2、w2n与w2n+1 的正交关系zlkltktklnnww,)()(,.2 , 1 , 0,)()(122nzlkltktklnnww小波包的子空间分解1、分解过程小波包空间分解为：UUUWUUUUWUUWUUUWkkkkjkjkjjjjjjjjjjnjnjnjnj121212726252423121121211.分解过程为 尺度空间分解信息代价函数 定义：设实数列x=xj是函数f(t) 在某组基下的系数，若存在非负连续函数，使得则称M为x的代价函数。jjxxM, 0)0(|),(|)(常用的代价函数1、香农熵代价函数：序列x=xj的熵为： 且P=0时，PlgP=0.可加函数：则：2、3、jjjPPxMlg)(,22xxPjj其中：xxkkxk22lg)(xxxxM22lg)()(jpxjxM)(ttt