(word完整版)高三一轮复习《不等式》

1、第五部分：不等式专题（线性规划，一元二次不等式，基本不等式）不等式是高中数学重要的知识，考试中涉及的考点也很多，从江苏目前的高中数学要求来说，除了不等式证明以外，其他形式的考察还是很多的。就内容来说，这部分分为高一难度和高考难度；从题型上来说，包含：线性规划，基本不等式，解不等式，不等式恒（能）成立，还有一些转化为不等式问题的题型。高一难度的不等式问题主要是线性规划，基本不等式的常规考察，解不等式（包含含参形式），涉及常规函数的不等式恒（能）成立问题。1、线性规划（ 1）掌握好线性规划，首先需要知道，线性规划的考题特点：已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程，问题一般是求解一个含有两个变量

2、式子的范围、最值。所以，有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式，将所求解问题转化为线性规划问题。比如：已知等差数列an ，a51,a82，则a12的取值范围是2）线性规划性的常规考题相对简单一些，从问题来说有三个常见形式：y b ；如果直接考这几个类型倒还好。 xa1）截距型：ax by； （ 2）距离型：x a 2 y b 2 ； （ 3）斜率型：x0比如：已知x, y 满足条件x 2y 1 0 ，则 2x y 的最大值是， x 2 2 y 1 2 的最小y0值是， y 的取值范围是。x33）有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。2x 已知 P（ a, b） 满足不

3、等式组y 2y y00 , 则 P 所在区域的面积是40 已知 x, y满足条件xy2y 00 ，使得ax y 取得最大值的点有无数个，则实数a 的值是x 已知 x, y满足条件xy2y 00 ，且 ax y 在点（ 1,0 ）处取得最大值，则实数a 的范围是4）稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。x0x, y满足条件x 2y 1 0，则2xy 2x 5y 6 y(x 1)22、解不等式解不等式分为含参和不含参之分，普通解不等式倒还好，不管是解一元一次不等式，一元二次不等式，分数不等式(注意分母不为零)，指数、对数不等式，还是需要用“换元”解决的一些复合不等式，都还不算难；有时

4、候可以用函数单调性解不等式，但是需要考虑定义域，这个需要在解题的时候能够想到，一般会条件这么给“已知或者能求出单调性，知道函数的零点”。另外需要注意的是，其实解不等式和解方程的过程是差不多的，所以不等式的解集中式“边界”和不等11式对应的根式有关系的，比如：已知不等式ax2 bx 1 0的解是x ，则不等式x2bx a 023的解是 解含参不等式是相对难一点的，不过过了高一后，真正到后面的函数学习中，又不多见这种情况，只是作为不等式的内容之一，也要好好的学一学，理清楚分类讨论的思路和步骤。而含参不等式中，最为重要的就是一元二次不等式的分类讨论，因为在高二所学的导数那部分知识中会涉及这个内容。关

5、于这个分类讨论，条理性要注意的：首先考虑是否是一元二次不等式，其次考虑对应的一元二次方程根的情况(是否有根，有几个根，大小怎么样，是否在定义域中)，最后根据题目变量x 的取值范围去得出不等式的解集。例 1 、 解不等式x2 (a 1 )x 1 0 (a 0)a11( x a)( x ) 的两根为x1a, x2 ，解应该是两根aa1分析： 首先因式分解(x a)(x )，二次函数ya之间，但是两根大小关系不确定，这就需要进行分情况讨论，11111° a ，解不存在；2° a ，即 a 1 或 1 a 0 ， x a ； 3° a ，即 a 1 或 0 a 1 ，aa

6、aa1axa例 2、 解不等式：ax 2a 1 x 1 0分析： 因式分解(ax 1)(x 1)0 ，考虑到影响因素，到底解是在两根之间还是两根之外是由二次项系数决定的，所以a 的取值是关键，联系到二次函数y (ax 1)(x 1) ，两根为x11, x2 a1° a 0 ，不等式变为x 1 0 ，解为 x 1 ，12° a 0 ，1 ， x2 x x1 ，解为113° a 0 ， 和 1 的大小关系不一定，这个时候就需要进行二者的讨论， a1111当 > 1 时， 即 a 1 ， x 或 x 1 ， 当 = 1 时， 即 a 1 ， x 1 ， 当1 时，

7、 x 1aaaa或xa例 3、 解不等式m2 1 x2 4x 1 0 m分析： 当 m+1=0时 , 它是一个关于x 的一元一次不等式；当m+1 1 时，还需对m+1>0及 m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论： 当 m< 1 时，=4（ 3 m） >0，图象开口向下，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。 当1<m<3时，=4（ 3 m） >0, 图象开口向上，与x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。 当m=3时，=4（3m）=0，图象开口向上，与 x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程4x24x 1 0的根。 当

8、 m>3时，=4（ 3 m） <0, 图象开口向上全部在x 轴的上方，不等式的解集为。3、不等式恒成立、不等式有解常见方法1） 恒成立问题（1 ）若不等式fxA在区间D 上恒成立, 则等价于在区间D 上fxAmin（2）若不等式fxB 在区间D 上恒成立, 则等价于在区间D 上fxBmax（ 3）特别的，若上述的f x max f x min 取不到，则最后的参数范围需要加上“=” .（ 4） 有一些可以转化为恒成立问题的，比如： “函数 f x 的图像横在g x 的图像的上方f x g x恒成立” 。2） 能成立问题（也就是有解问题）若在区间D 上存在实数x使不等式f x A成立

9、 , 则等价于在区间D 上 f x A；max若在区间D 上存在实数x使不等式f x B 成立 , 则等价于在区间D 上的 f x min B .3） 恰成立问题（相对少见）若不等式f xA在区间D 上恰成立,则等价于不等式fxA的解集为D ；若不等式f xB 在区间D 上恰成立,则等价于不等式fxB 的解集为D .4、基本不等式一、知识点总结1、基本不等式原始形式: （ 1）若 a, b R ，则a 2 b2 2ab2、基本不等式一般形式：若 a,b R* ，则a b 2 ab222）若a,b R，则ab a b23、基本不等式的两个重要变形：1）若 a,b R* ，则a b ab （ 2）

10、若a,b R*，则 ab22 ab2总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当a b 时取“=”4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”225、常用：若 a,b R*，则 1 ab a b a b11 a 22ab特别说明：以上不等式中，当且仅当a b 时取“ =”二、题型分析题型：利用不等式求最值1、已知 x2 ，求函数y2x2x 42、已知x5，求函数y4y4x1 的最大值；4x 5题型：巧用“1”的代换求最值问题或者两者相乘111、已知 a ,b 0, a 2b 1 ，求 t的最小值；ab法一：法二：11变式

11、 ：已知 a, b 0, a 2b 1 ，求的最小值；a1 bb1变式 ：已知 a, b 0, a 2b 1 ，求的最小值；a1 b21变式 ：已知 a, b 0, ab 2a 1 ，求的最小值；ba212变式 ：已知 a b 0 ，求 2 21a 2的最小值；a ab ab变式 ：已知a， b 0, a b 2 ，求 2b 2a 的最小值；a2 1 b2 1a1 b变式 ：已知a， b 0, a b 2 ，求的最小值；a b1变式 ：已知 x y z 0 且xyyzn 恒成立，如果n N ，求 n 的最小值；（参考：4）xz28变式 ：已知 x, y 0,1 ，求 xy的最小值；xy变式：

12、已知正项等比数列an 满足：a7 a6 2a5，若存在两项am,an ，使得aman144a1 ，求mn题型：分离换元法求最值（了解）1、求函数y2x2 7 x 10(x1)的值域；x1变式： 求函数x2 8(x 1) 的最小值； x12、 求函数 yx2x 的最大值；（提示：换元法）2x 5变式： 求函数x1y的最大值；4x 9题型：基本不等式的综合应用1、已知log2a log2b1 ，求3a 9b的最小值4、设正实数2、已知3、已知变式 1：变式 2：变式 3：a,bx, y0 ，求0，a, bx, yx, yx, y, z满足1 2 ab 的最小值； bx 2 y 2 xy8 ，求x 2 y 最小值；0 ，满足0，0，ab3，求ab 范围