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文档简介

1、第五部分:不等式专题(线性规划,一元二次不等式,基本不等式)不等式是高中数学重要的知识,考试中涉及的考点也很多,从江苏目前的高中数学要求来说,除了不等式证明以外,其他形式的考察还是很多的。就内容来说,这部分分为高一难度和高考难度;从题型上来说,包含:线性规划,基本不等式,解不等式,不等式恒(能)成立,还有一些转化为不等式问题的题型。高一难度的不等式问题主要是线性规划,基本不等式的常规考察,解不等式(包含含参形式),涉及常规函数的不等式恒(能)成立问题。1、线性规划( 1)掌握好线性规划,首先需要知道,线性规划的考题特点:已知条件一般是一个不等式组或者一条曲线方程,问题一般是求解一个含有两个变量

2、式子的范围、最值。所以,有的时候是要根据题目的条件形式和所求问题的形式,将所求解问题转化为线性规划问题。比如:已知等差数列an ,a51,a82,则a12的取值范围是2)线性规划性的常规考题相对简单一些,从问题来说有三个常见形式:y b ;如果直接考这几个类型倒还好。 xa1)截距型:ax by; ( 2)距离型:x a 2 y b 2 ; ( 3)斜率型:x0比如:已知x, y 满足条件x 2y 1 0 ,则 2x y 的最大值是, x 2 2 y 1 2 的最小y0值是, y 的取值范围是。x33)有的时候会求解不等式组对应区域的面积等稍微活一点的题目。2x 已知 P( a, b) 满足不

3、等式组y 2y y00 , 则 P 所在区域的面积是40 已知 x, y满足条件xy2y 00 ,使得ax y 取得最大值的点有无数个,则实数a 的值是x 已知 x, y满足条件xy2y 00 ,且 ax y 在点( 1,0 )处取得最大值,则实数a 的范围是4)稍微难的是需要转化为这几个类型的的时候要能够看得出。x0x, y满足条件x 2y 1 0,则2xy 2x 5y 6 y(x 1)22、解不等式解不等式分为含参和不含参之分,普通解不等式倒还好,不管是解一元一次不等式,一元二次不等式,分数不等式(注意分母不为零),指数、对数不等式,还是需要用“换元”解决的一些复合不等式,都还不算难;有时

4、候可以用函数单调性解不等式,但是需要考虑定义域,这个需要在解题的时候能够想到,一般会条件这么给“已知或者能求出单调性,知道函数的零点”。另外需要注意的是,其实解不等式和解方程的过程是差不多的,所以不等式的解集中式“边界”和不等11式对应的根式有关系的,比如:已知不等式ax2 bx 1 0的解是x ,则不等式x2bx a 023的解是 解含参不等式是相对难一点的,不过过了高一后,真正到后面的函数学习中,又不多见这种情况,只是作为不等式的内容之一,也要好好的学一学,理清楚分类讨论的思路和步骤。而含参不等式中,最为重要的就是一元二次不等式的分类讨论,因为在高二所学的导数那部分知识中会涉及这个内容。关

5、于这个分类讨论,条理性要注意的:首先考虑是否是一元二次不等式,其次考虑对应的一元二次方程根的情况(是否有根,有几个根,大小怎么样,是否在定义域中),最后根据题目变量x 的取值范围去得出不等式的解集。例 1 、 解不等式x2 (a 1 )x 1 0 (a 0)a11( x a)( x ) 的两根为x1a, x2 ,解应该是两根aa1分析: 首先因式分解(x a)(x ),二次函数ya之间,但是两根大小关系不确定,这就需要进行分情况讨论,11111° a ,解不存在;2° a ,即 a 1 或 1 a 0 , x a ; 3° a ,即 a 1 或 0 a 1 ,aa

6、aa1axa例 2、 解不等式:ax 2a 1 x 1 0分析: 因式分解(ax 1)(x 1)0 ,考虑到影响因素,到底解是在两根之间还是两根之外是由二次项系数决定的,所以a 的取值是关键,联系到二次函数y (ax 1)(x 1) ,两根为x11, x2 a1° a 0 ,不等式变为x 1 0 ,解为 x 1 ,12° a 0 ,1 , x2 x x1 ,解为113° a 0 , 和 1 的大小关系不一定,这个时候就需要进行二者的讨论, a1111当 > 1 时, 即 a 1 , x 或 x 1 , 当 = 1 时, 即 a 1 , x 1 , 当1 时,

7、 x 1aaaa或xa例 3、 解不等式m2 1 x2 4x 1 0 m分析: 当 m+1=0时 , 它是一个关于x 的一元一次不等式;当m+1 1 时,还需对m+1>0及 m+1<0来分类讨论,并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论: 当 m< 1 时,=4( 3 m) >0,图象开口向下,与x 轴有两个不同交点,不等式的解集取两边。 当1<m<3时,=4( 3 m) >0, 图象开口向上,与x 轴有两个不同交点,不等式的解集取中间。 当m=3时,=4(3m)=0,图象开口向上,与 x 轴只有一个公共点,不等式的解为方程4x24x 1 0的根。 当

8、 m>3时,=4( 3 m) <0, 图象开口向上全部在x 轴的上方,不等式的解集为。3、不等式恒成立、不等式有解常见方法1) 恒成立问题(1 )若不等式fxA在区间D 上恒成立, 则等价于在区间D 上fxAmin(2)若不等式fxB 在区间D 上恒成立, 则等价于在区间D 上fxBmax( 3)特别的,若上述的f x max f x min 取不到,则最后的参数范围需要加上“=” .( 4) 有一些可以转化为恒成立问题的,比如: “函数 f x 的图像横在g x 的图像的上方f x g x恒成立” 。2) 能成立问题(也就是有解问题)若在区间D 上存在实数x使不等式f x A成立

9、 , 则等价于在区间D 上 f x A;max若在区间D 上存在实数x使不等式f x B 成立 , 则等价于在区间D 上的 f x min B .3) 恰成立问题(相对少见)若不等式f xA在区间D 上恰成立,则等价于不等式fxA的解集为D ;若不等式f xB 在区间D 上恰成立,则等价于不等式fxB 的解集为D .4、基本不等式一、知识点总结1、基本不等式原始形式: ( 1)若 a, b R ,则a 2 b2 2ab2、基本不等式一般形式:若 a,b R* ,则a b 2 ab222)若a,b R,则ab a b23、基本不等式的两个重要变形:1)若 a,b R* ,则a b ab ( 2)

10、若a,b R*,则 ab22 ab2总结:当两个正数的积为定植时,它们的和有最小值;当两个正数的和为定植时,它们的积有最小值;特别说明:以上不等式中,当且仅当a b 时取“=”4、求最值的条件:“一正,二定,三相等”225、常用:若 a,b R*,则 1 ab a b a b11 a 22ab特别说明:以上不等式中,当且仅当a b 时取“ =”二、题型分析题型:利用不等式求最值1、已知 x2 ,求函数y2x2x 42、已知x5,求函数y4y4x1 的最大值;4x 5题型:巧用“1”的代换求最值问题或者两者相乘111、已知 a ,b 0, a 2b 1 ,求 t的最小值;ab法一:法二:11变式

11、 :已知 a, b 0, a 2b 1 ,求的最小值;a1 bb1变式 :已知 a, b 0, a 2b 1 ,求的最小值;a1 b21变式 :已知 a, b 0, ab 2a 1 ,求的最小值;ba212变式 :已知 a b 0 ,求 2 21a 2的最小值;a ab ab变式 :已知a, b 0, a b 2 ,求 2b 2a 的最小值;a2 1 b2 1a1 b变式 :已知a, b 0, a b 2 ,求的最小值;a b1变式 :已知 x y z 0 且xyyzn 恒成立,如果n N ,求 n 的最小值;(参考:4)xz28变式 :已知 x, y 0,1 ,求 xy的最小值;xy变式:

12、已知正项等比数列an 满足:a7 a6 2a5,若存在两项am,an ,使得aman144a1 ,求mn题型:分离换元法求最值(了解)1、求函数y2x2 7 x 10(x1)的值域;x1变式: 求函数x2 8(x 1) 的最小值; x12、 求函数 yx2x 的最大值;(提示:换元法)2x 5变式: 求函数x1y的最大值;4x 9题型:基本不等式的综合应用1、已知log2a log2b1 ,求3a 9b的最小值4、设正实数2、已知3、已知变式 1:变式 2:变式 3:a,bx, y0 ,求0,a, bx, yx, yx, y, z满足1 2 ab 的最小值; bx 2 y 2 xy8 ,求x 2 y 最小值;0 ,满足0,0,ab3,求ab 范围

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