第2讲-控制系统状态空间表达式

1、现代控制理论现代控制理论河海大学物联网工程学院河海大学物联网工程学院 江苏常州江苏常州 213022倪建军倪建军第第1章章 本章主要内容本章主要内容 1.1 状态变量及状态空间表达式 1.2 状态变量及状态空间表达式的模拟结构图 1.3 状态变量及状态空间表达式的建立（一） 1.4 状态变量及状态空间表达式的建立（二） 1.5 状态矢量的线性变换（自学） 1.6 从状态空间表达式求传递函数阵1.1 1.1 状态变量及状态空间表达式状态变量及状态空间表达式 如图所示RLC电路中，系统输入为u(t)，系统输出为uc(t)。利用复阻抗概念，很容易建立起系统的输入/输出关系（即传递函数模型）： 2(

2、)1/1( )( )1/1cu sCsG su sRLsCsLCsRCs上述模型只和系统的元器件参数有关。 设电路中的电流为i(t)。由基尔霍夫电压定律(Kirchhoffs voltage law)知： 系统输出为： 这样，同一个RLC系统，既可以用传递函数来描述，又可以用式（2）和（3）联立来描述。不同的是，在式（2）和（3）所表示的模型中还包含了中间变量电流i(t)的信息。 12,cxu xi令并写成矢量矩阵形式，则： 1 1、基本概念、基本概念(1)(1)状态：状态：系统过去、现在和将来的状况系统过去、现在和将来的状况(2)(2)状态变量：状态变量： 能够完全表征系统运动状态的能够完全

3、表征系统运动状态的最小一组变量：最小一组变量： 00( ). t tx tx ta表示系统表示系统 时刻的状态时刻的状态 0t. b0tt tu0tt 当当时的输入时的输入给定，且上述给定，且上述时的行为时的行为 状态确定时，状态变量能完全确定系统状态确定时，状态变量能完全确定系统初始初始在在 00( ). t tx tx ta表示系统表示系统 时刻的状态时刻的状态 0t(5) (5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微分方程（组）：的、一阶微分方程（组）：( )( )( )x tAx tBu t 11,.nTnxtxtx txtxt 作为分量的

4、向量，即作为分量的向量，即(3) (3) 状态向量：以系统的状态向量：以系统的 个独立状态变量个独立状态变量n为为 1,nxtxt (4) (4) 状态空间状态空间: : 以状态变量以状态变量 n维空间维空间。标轴构成的标轴构成的坐坐( )( )( )y tCx tDu t输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数学表达式：系的数学表达式：(6)(6)(7)(7)状态空间表达式：状态空间表达式： (5)+ (6).(5)+ (6).(5) (5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微分方程（组）：的、一阶

5、微分方程（组）：( )( )( )x tAx tBu t状态变量的特点：状态变量的特点：(1)(1)独立性：状态变量之间线性独立独立性：状态变量之间线性独立. .(2)(2)多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种方案在无穷多种方案. .(3)(3)等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异变换变换. .(4)(4)现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量现实性：状态变量通常取为涵义明确的物理量. .(5)(5)抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义. .2 2、状态空间表

6、达式的一般形式状态空间表达式的一般形式(1)(1)线性系统线性系统 x tA t x tB t u t y tC t x tD t u t,nxR,puRqyR其中，其中，A A为系统矩阵，为系统矩阵，B B为控制矩阵，为控制矩阵，C C为输出矩阵，为输出矩阵，D D为直接传为直接传递矩阵。递矩阵。(2)(2)非线性系统非线性系统, ,xf x u t, ,yg x u t1.2 1.2 状态空间的模拟结构图状态空间的模拟结构图绘制步骤绘制步骤：（：（1 1）绘制积分器绘制积分器 （2 2）画出加法器和放大器画出加法器和放大器 （3 3）用线连接各元件，并用箭头用线连接各元件，并用箭头 示出信

7、号传递的方向。示出信号传递的方向。例例1.2.1 1.2.1 设一阶系统状态方程为设一阶系统状态方程为xaxbu则其状态图为则其状态图为1223312313632xxxxxxxxuyxx 例例1.2.2 1.2.2 设三阶系统状态空间表达式为设三阶系统状态空间表达式为则其状态图为则其状态图为1.3 状态空间表达式的建立（一）状态空间表达式的建立（一）1.3.1.1.3.1.由物理机理直接建立状态空间表达式由物理机理直接建立状态空间表达式例例1.3.1 1.3.1 系统如图所示系统如图所示12, ,LCxixu选择状态变量：选择状态变量：2CLCdudiLuCRudtdt11()CLLdudii

8、uLCdtRdt整理得：整理得：1211212()CLLudiiRRRudtLL RRL RR112121CLcduRiudtC RRC RR状态方程为：状态方程为：11212112121()dxR RRxuxdtL RRRRLL 211212121dxRxxdtC RRC RR输出方程为：输出方程为：2Cyux 写成矩阵形式写成矩阵形式12111121212212121110()()R RRxxL RRL RRLuRxxC RRC RR1201xyx1.3.2.1.3.2.由系统框图建立状态空间表达式由系统框图建立状态空间表达式 将各环节分解成一阶模型的形式，分别建立起将各环节分解成一阶模型

9、的形式，分别建立起各自的微分方程模型；各自的微分方程模型； 根据各环节之间的相互关系，列写系统的状态根据各环节之间的相互关系，列写系统的状态空间表达式。空间表达式。 例例1.3.3 系统方框图如图所示系统方框图如图所示, ,试写出其状态空间表达式试写出其状态空间表达式. .211xKx 222221xTeTKx1xue11122222221200110KxxuKKxxTTTxyx1.4 状态空间表达式的建立（二）状态空间表达式的建立（二）由描述系统输入由描述系统输入-输出关系的运动方程或传递函数建立系统状态空间表达式，输出关系的运动方程或传递函数建立系统状态空间表达式，这样的问题称为这样的问题称为实现问题。实现问题。 或者直接选取状态变量010012/nnbbxyxyxyb则有：则有：1220 1310 1121 nnnnnxxxxxxxa xa xauyb xx 10/iix tybt 即即例1.4.1 考虑系统5863yyyyu试写出其（能控标准型）状态空间表达式。123,xy xy xy解：选择状态变量：则状态空间表达式为：1223312316