D3_3曲线的凹凸与拐点

1、第三节机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线的凹凸与拐点 第三三章 定义定义 . 设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 上连续上连续 , 若曲线若曲线 在在 内总是位于其内总是位于其切线切线的的上方上方 则称则称的)(xf图形是图形是凹凹的的, a b)(xfy 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , a b曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点（下方下方），），( (凸凸的的) )连续曲线上有切线的连续曲线上有切线的凹凸分界点凹凸分界点称为称为拐点拐点 .yox凹凸判定法凹凸判定法)(xf(1) 在在 I 内内,0)( xf则则 在在 I 内图形是凹的内图形是凹的 ;)(

2、xf(2) 在在 I 内内,0)( xf则则 在在 I 内图形是凸的内图形是凸的 .)(xf设函数设函数在区间在区间I 上有二阶导数上有二阶导数例例 判断曲线判断曲线4xy 的凹凸性的凹凸性.解解:,43xy 212xy 时，当0 x;0 y,0时x, 0 y故曲线故曲线4xy 在在),(上是向上凹的上是向上凹的.说明说明:1) 若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为 0 ,2) 根据拐点的定义及上述定理根据拐点的定义及上述定理, 可得可得拐点的判别法拐点的判别法如下如下:若曲线若曲线)(xfy ,0连续在点x0)(0 xf或不存在或不存在,但但)(xf 在在 两侧两侧异号异号,0 x则点则点)

3、(,(00 xfx是曲线是曲线)(xfy 的一个拐点的一个拐点.则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .在其两侧二阶导数不变号在其两侧二阶导数不变号,xyo机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例. 求曲线求曲线3xy 的拐点的拐点. 解解:,3231xy3592 xyxy y0)0,(),0(不存在不存在0因此点因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线为曲线3xy 的拐点的拐点 .oxy凹凹凸凸机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 xxy24362 )(3632xx例例. 求曲线求曲线14334xxy的凹凸区间及拐点的凹凸区间及拐点.解解:1) 求求y

4、 ,121223xxy2) 求拐点可疑点坐标求拐点可疑点坐标令令0 y得得,03221xx对应对应3) 列表判别列表判别271121,1yy)0,(),0(32),(32y xy0320012711故该曲线在故该曲线在)0,(),(32及及上向上凹上向上凹,向上凸向上凸 , 点点 ( 0 , 1 ) 及及),(271132均为拐点均为拐点.上在),0(32凹凹凹凹凸凸机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 32) 1 , 0(),(271132水平与铅直渐近线水平与铅直渐近线若若,)(limbxfx则曲线则曲线)(xfy 有有水平渐近线水平渐近线.by )(x或若若,)(l

5、im0 xfxx则曲线则曲线)(xfy 有有垂直渐近线垂直渐近线.0 xx )(0 xx或例例. 求曲线求曲线211xy的渐近线的渐近线 .解解:2)211(limxx2 y为水平渐近线为水平渐近线;,)211(lim1xx1 x为垂直渐近线为垂直渐近线.21机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 函数图形的描绘函数图形的描绘步骤步骤 :1. 确定函数确定函数)(xfy 的定义域的定义域 ,期性期性 ;2. 求求, )(, )(xfxf 并求出并求出)(xf 及及)(xf 3. 列表判别增减及凹凸区间列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点求出极值和拐点 ;4. 求渐近线

6、求渐近线 ;5. 确定某些特殊点确定某些特殊点 , 描绘函数图形描绘函数图形 .为为 0 和不存在和不存在的点的点 ;并考察其对称性及周并考察其对称性及周机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结曲线凹凸与拐点的判别曲线凹凸与拐点的判别Ixxf ,0)(上向上凹在曲线Ixfy)(Ixxf ,0)(+上向上凸在曲线Ixfy)(拐点拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点连续曲线上有切线的凹凸分界点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 作业作业P102 5 (1); 6 (2), (3)思考与练习思考与练习 1 ,0上,0)( xf则, ) 1 (

7、, )0(ff)0() 1 (ff或) 1 ()0(ff的大小顺序是 ( )0() 1 ()0() 1 ()(ffffA)0()0() 1 () 1 ()(ffffB)0() 1 ()0() 1 ()(ffffC)0() 1 ()0() 1 ()(ffffD提示提示: 利用)(xf 单调增加 ,) 10()()0() 1 (fff及B1. 设在机动 目录 上页 下页 返回 结束 .),(21)1,(2121e2. 曲线21xey的凹区间是凸区间是拐点为提示提示:)21 (222xeyx ),(2121),(21及及yox)1,(2121e)1,(2121e作业作业P151 3 (1),(7)

8、; 4 (2), (4) ; 8 (3), (6) ; 9 (3) ; 10 ; 12 ; 13 ; 14 ; ;第五节 目录 上页 下页 返回 结束 112xxy有位于一直线的三个拐点.1.求证曲线 证明：证明： y y222) 1(21xxx3223) 1() 133(2xxxx32) 1()32)(32)(1(2xxxx备用题备用题xxx2) 1() 1(222) 1(x42) 1(x)22(x22) 1(x)21 (2xx ) 1(22xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 令0 y得,11x, )1,1(从而三个拐点为因为32所以三个拐点共线.323x,322x, )34831,32()34831,32(3211348311134831机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明:20 x当时，.2sinxx有证明证明:xxxF2sin)(令, 0)0(F, 则)(xF )(xF)(xF是凸凸函数)(xF即xx2sin)20( x 2 .0)2(F2cosxxsin0)2(),0(minFF0机动 目录 上页 下页 返回 结束 (自证)AB定义定义 . 设函数设函数)(xf在区间在区间 I 上连续上连续 ,21Ixx(1) 若恒有若恒有,2)()()2(2121xfxfxxf则称则称的)(xf图形是图形是凹凹的的;(2) 若恒有若恒有,2)()()2(212