211曲线与方程

1、2.1.1 曲线与方程曲线与方程 前面我们研究了直线与圆的方程，讨论了这些曲线前面我们研究了直线与圆的方程，讨论了这些曲线和相应直线的方程的关系和相应直线的方程的关系. 本节我们将进一步研究一般曲本节我们将进一步研究一般曲线线(包括直线包括直线)和方程的关系和方程的关系.以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，反过来，这条直线上的所有点坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条这时，这个方程就叫做这条直线的方程直线的方程，这条直线就，这条直线就叫做这个叫做这个方程的直线方程的直线y=kx+b知识

2、回顾：知识回顾：0 yx两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线.0 yx这就是说：这就是说：如果点如果点M(x0 ，y0)是这条直线上的任意一点，是这条直线上的任意一点，它一定在这条平分线上它一定在这条平分线上.这条直线叫做这条直线叫做方程方程 x - y = 0的直线的直线.即即 x0 = y0，它到两坐标轴的距离一定相等，它到两坐标轴的距离一定相等，那么它的坐标那么它的坐标(x0 ，y0)就是方程就是方程 x-y = 0 的解；的解；的方程是的方程是反过来，如果反过来，如果(x0 ，y0)是方程是方程 x-y=0 的解，的解，即即 x0 - y0

3、= 0，那么以这个解为坐标的点到两那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，轴的距离相等，.M(x0 ，y0)这样，我们就说这样，我们就说 x - y = 0是这条是这条直线的方程，直线的方程，即即 x0 - y0 = 0 ，有有 |x0 | =| y0| ，函数函数 y = ax2 (a0) 的图象是的图象是关于关于 y 轴对称的抛物线轴对称的抛物线 .这条抛物线是所有以方程这条抛物线是所有以方程 y = ax2 的解为坐标的点组成的的解为坐标的点组成的.这就是说：这就是说： 如果点如果点M(x0 ，y0)是抛物线上的任意一点，是抛物线上的任意一点， 反过来，如果反过来，如果 (x0 ，y0)

4、是方程是方程 y=ax2 的解，那么以它为坐标的点的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上。一定在这条抛物线上。这样，我们就说这样，我们就说 y=ax2是这条是这条抛物线的方程，抛物线的方程，这条抛物线叫做这条抛物线叫做方程方程 y=ax2 的抛物线的抛物线.M(x0 ，y0)y = ax2 (a0)那么那么 (x0 ，y0)一定是这个方程的解；一定是这个方程的解；又如，又如， 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与上的点与（1）曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标都是这个方程 的解；的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，以这个方

5、程的解为坐标的点都是曲线上的点，说明：说明： （1）“曲线上的点的坐标都是这个方程曲线上的点的坐标都是这个方程 的解的解” ，阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外线上所有的点都符合这个条件而毫无例外（纯粹性）纯粹性）.（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）（完备性）.由曲线的方程的定义可知，由曲线的方程的定义可知， 如果曲线如果曲线C的方程是的方程是 f(x，y)=0，f(x0，

6、y0) = 0 .定义：定义：一个二元方程一个二元方程 f(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：的实数解建立了如下的关系：那么这个方程叫那么这个方程叫曲线的方程曲线的方程； 这条曲线叫这条曲线叫方程的曲线方程的曲线(图形图形).那么点那么点P0(x0 ，y0)在曲线在曲线C 上等价于上等价于（1）过点）过点 A(2，0) 平行于平行于y 轴的直线轴的直线 L 的方程是的方程是 |x|=2 ；1AL由定义，由定义，条件具备纯粹性条件具备纯粹性 ， 但不具备完备性但不具备完备性.是方程是方程 |x|=2 所表示的图形的一部分。所表示的图形的一部分。问题：问题：下列命题是否正确？若不正确，说明原因

7、下列命题是否正确？若不正确，说明原因 .（2）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 y = x .解：解：（1）不正确）不正确 .因为以方程因为以方程 |x|=2 的解为坐标的点，不都在直线的解为坐标的点，不都在直线 L 上上 ， 直线直线 L 只只（2）不正确）不正确 . 由定义，由定义，条件具备完备性条件具备完备性 ，但不具备纯粹性但不具备纯粹性 .因为到两坐标轴距离相因为到两坐标轴距离相等的点的轨迹有等的点的轨迹有两条直线两条直线 L1 和和 L2 ，直线直线 L1 上的点的坐标都是方程上的点的坐标都是方程 y=x 的解，的解，但直线但直线 L2 上的点

8、上的点 （除原点外）的坐标不是方程（除原点外）的坐标不是方程 y = x 的解的解 .L1L21例例.)252()43(2552122是否在这个圆上是否在这个圆上，、，并判断点并判断点，的圆的方程是的圆的方程是半径等于半径等于证明圆心为坐标原点，证明圆心为坐标原点， MMyx证明：证明：则则，是圆上任意一点是圆上任意一点，设设)()1(00yxM由题意知由题意知5| MO52020 yx即即252020 yx.25)(2200的解的解是方程是方程，即即 yxyx，则，则的解的解是方程是方程，设设25)()2(2200 yxyx252020 yx52020 yx，到原点的距离等于到原点的距离等于

9、，即即5)(00yx.)(00是这个圆上的点是这个圆上的点，点点yxM可知，可知，、由由)2()1(.52522的圆方程的圆方程半径为半径为是圆心为坐标原点，是圆心为坐标原点， yx，的坐标分别代入方程的坐标分别代入方程，、，把点把点25)252()43(2221 yxMM25)4(322 有有252)52(22 ，成成立立，不成立不成立不是方程的解，不是方程的解，是方程的解是方程的解，)252()43( .)252(21不在这个圆上不在这个圆上，点点，在这个圆上在这个圆上点点 MM2524 ，252)52(22 ，2525 25)4(322 有有.M1M2.例例2 证明与两条坐标轴的距离的积

10、是常数证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k0)的点的的点的轨迹方程是轨迹方程是 证明：证明： |x0|y0|= k ，xy=k .xyMQRO则则即即 x0y0=k .即即(x0 , y0)是方程是方程xy=k 的解的解.(2) 设点设点M1 的坐标的坐标(x1，y1)是方程是方程 xy=k 的解的解 ，则则x1 y1 =k ，| |x1 1| | |y1 1|= |= k .而而 |x1|、|y1| 正是点正是点M1到到y轴、轴、 x轴的距离轴的距离,因此点因此点 M1 到这两条直线的距离的积是常数到这两条直线的距离的积是常数 k ，点点M1是曲线上的点。是曲线上的点。由由 (1)、(2)

11、 可知，可知， xy=k 是所求轨迹的方程。是所求轨迹的方程。即即(1)如图设如图设M(x0 , y0)是轨迹上任意一点，是轨迹上任意一点，例例3：若命题若命题“曲线曲线C上的点的坐标满足方程上的点的坐标满足方程 f (x，y)=0 ”是正确的，是正确的，则下列命题中正确的是则下列命题中正确的是( )(A)方程方程 f(x，y) =0 所表示的曲线是所表示的曲线是C ； (B)坐标满足坐标满足 f (x，y) =0 的点都在曲线的点都在曲线C上；上；(C)方程方程 f (x，y)=0是曲线是曲线C的方程的方程 ； (D)方程方程 f (x，y)=0的曲线不一定是的曲线不一定是C.D解：解：不论

12、方程不论方程 f(x，y) =0 是曲线是是曲线是C 的方程，的方程， 还是曲线还是曲线C是方程是方程f (x，y)=0的曲线，的曲线， 都必须同时满足：都必须同时满足：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 .所以所以 A、B、C 错误错误 . 例如曲线例如曲线 C为第一、三象限角平分线，为第一、三象限角平分线，方程方程 |x | =| y| ，满足题意，满足题意，但但 A、B、C 错误错误 .P37 练练 习：习：1，21. 已知等腰三角形三个顶点的坐标是已知等腰三角形

13、三个顶点的坐标是A(0，3)，B(-2，0)，C(2，0).中线中线 AO (O原点原点)的方程是的方程是 x = 0 吗？为什么？吗？为什么？解：解：xyOABC不对，因为不对，因为ABC中线中线AO是一条线段，是一条线段， 而方程而方程 x = 0 的图形是一条直线的图形是一条直线 所以中线所以中线AO的方程应为：的方程应为： x = 0 且且 0y3 .2. 已知方程已知方程 ax2+by2=25 的曲线经过点的曲线经过点A 和点和点B(1，1)，解：解：求求 a、b 的值的值 .)350( ，由题意知，由题意知，点点 A 、B 的坐标都是方程的坐标都是方程ax2+by2=25 的解，的

14、解， 251125)35(02222baba解得解得.916 ba，3. 设方程设方程 f (x，y)=0的解集非空，如果命题的解集非空，如果命题“坐标满足方程坐标满足方程f(x，y) =0的点的点都在曲线都在曲线C上上”是不正确的，则下列命题正确的是是不正确的，则下列命题正确的是 (A)坐标满足方程坐标满足方程 f (x，y) =0 的点都不在曲线的点都不在曲线C上上 （ ）(B)曲线曲线C上点的坐标都不满足方程上点的坐标都不满足方程 f (x，y) =0 (C)坐标满足方程坐标满足方程 f (x，y) =0 的点有些在曲线的点有些在曲线C上上,有些不在曲线有些不在曲线C上上(D)一定有不在

15、曲线一定有不在曲线C上的点，其坐标满足上的点，其坐标满足 f (x，y) =0 解：解：“坐标满足方程坐标满足方程 f(x，y) =0的点都在曲线的点都在曲线C上上”不正确，不正确，即即“坐标满足方程坐标满足方程 f(x，y) =0的点不都在曲线的点不都在曲线C上上”是正确的是正确的 .“不都在不都在”包括包括“都不在都不在”和和“有的在，有的不在有的在，有的不在”两种情况，两种情况，故故 A、C 错误错误 . B 错误错误 .D4. 已知已知AOB三个顶点的坐标是三个顶点的坐标是A(6，0)，O(0，0)，B(0，3)，则角则角AOB平分线的方程是平分线的方程是 y= x 吗？为什么？吗？为什么？xyOABC解：解： 不对，因为不对，因为AOB平分线平分线OC是一条线段，是一条线段， 而方程而方程 y = x 的图形是一条直线的图形是一条直线 如点如点P(8，8)坐标适合方