量子力学-无限深势井

1、第二章第二章1第二章第二章 波函数和薛定谔方程波函数和薛定谔方程1 1 波函数的统计解释波函数的统计解释 2 2 态叠加原理态叠加原理 3 Schr3 Schrdinger dinger 方程方程 4 4 粒子流密度和粒子数守恒定律粒子流密度和粒子数守恒定律 5 5 定态定态SchrSchrdingerdinger方程方程6 6 一维无限深势阱一维无限深势阱 7 7 线性谐振子线性谐振子 8 8 势垒贯穿势垒贯穿( (一维势散射问题一维势散射问题) )第二章第二章2一维定态问题一维定态问题l 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 SchrSchrdinger

2、 dinger 方程来处理一类简单的问题方程来处理一类简单的问题一维一维定态问题。其意义：定态问题。其意义： l（1 1）有助于具体理解已学过的基本原理；）有助于具体理解已学过的基本原理； l（2 2）有助于进一步阐明其他基本原理；）有助于进一步阐明其他基本原理； l（3 3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；中展现出来； l（4 4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。6 6 一维无限深势阱一维无限深

3、势阱 7 7 一维线性谐振子一维线性谐振子8 8 一维势散射问题一维势散射问题第二章第二章36 6 一维无限深势阱一维无限深势阱l（一）一维运动（一）一维运动 l（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱 l（三）宇称（三）宇称 l（四）讨论（四）讨论第二章第二章4（一）（一） 一维运动一维运动一维运动就是指在某一维运动就是指在某一方向上的运动。一方向上的运动。此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成：此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： U(x,y,z) = UU(x,y,z) = U1 1(x) + U(x) + U2 2(y) + U(y) + U3 3(z) (z) ),(),(),(

4、222zyxEzyxzyxUH)()()(2)()()(2)()()(2322222221222zZEzZzUdzdyYEyYyUdydxXExXxUdxdzyx 当粒子在势场当粒子在势场U(x,y,z) U(x,y,z) 中运动时，其定态中运动时，其定态SchrSchrdinger dinger 方程为：方程为：令令 (x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez于是于是S-方程化为三个常微分方程：方程化为三个常微分方程：则则 S-S-方程可在直角坐标系中分离变量。方程可在直角坐标系中分离变量。第二章第二章5（二）一维无限深势阱（二）一维无限深势阱l求解求

5、解 Schrdinger 方程方程 分四步：分四步： l（1）列出各势域的一维）列出各势域的一维Schrdinger方程方程 l（2）解方程）解方程 l（3）使用波函数标准条件定解）使用波函数标准条件定解 l（4）定归一化系数）定归一化系数axaxxU|, 0)(-a 0 aV(x)IIIIII第二章第二章6（1 1）列出各势域的）列出各势域的 S S 方程方程方程可简化为：方程可简化为： 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd 0)()(2)()()()()(2222222 xExUxdxdxExxUxdxd -a 0 aV(x)IIIIIIaxxEUxdxdax

6、axExdxdaxxEUxdxdIIIIIIIIIIII 0)()(2)(0)(2)(0)()(2)(222222222 2 2势能势能U(x)分为三个区域，分为三个区域， 用用 I 、II 和和 III 表示，表示， 其上的波函数其上的波函数分别为分别为 I(x),II(x) 和和 III (x)。则方程为：则方程为：第二章第二章7 xxIIIIIxxIeBeBxBxAeCeC 2121cossin 000222222222IIIIIIIIIIIIdxddxddxd xIeC 1 .0cossin,0IIIIIIxBxA 则则解解为为：)(222EU 00lim)(1 IaIeCa 所所以以

7、0 III 同同理理：1.1.单值，成立；单值，成立； 2.2.有限：当有限：当x x - - ， 有限条件要求有限条件要求 C C2 2=0=0。(2) (2) 解方程解方程从物理考虑，粒子不能透过无穷高的从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是外波函数为零，特别是 (-a) = I(-a)=0； (a) = III(a) = 0。第二章第二章8这三段的解必须在这三段的解必须在 x=x=a a 处衔接起来。在势能有无限大跳跃处衔接起来。在势能有无限大跳跃的地方，衔接条件只有的地方，衔接

8、条件只有 本身的连续性。现在本身的连续性。现在 )(at, 0sincos)(at, 0sincosaxaBaAaxaBaA 因而，因而， . 0sin, 0cosaBaA 有两种情形的解：有两种情形的解： , 0cos, 0 aB 所以，（1）（3 3）使用波函数标准条件）使用波函数标准条件第二章第二章9), 2 , 1 , 0(,)21(nan,1282122222222nanaE.21cos)(axnAx (偶宇称) (2) 所以，0sin, 0aA), 3 , 2 , 1(,nan,28222222222nanaE.sin)(axnBx（奇宇称）E222第二章第二章10奇数。的偶数nx

9、anAnxanAanEIIIIIIIIIIIInn2cos002sin082222综合综合 I I 、II II 结果，最后得：结果，最后得：对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，远处， = 0 = 0 。这样的状态，称为。这样的状态，称为束缚态束缚态。一维有限运动。一维有限运动能量本征值是分立能级，组成分立谱。能量本征值是分立能级，组成分立谱。( (粒子能量取值是分粒子能量取值是分立的立的,能级组成分立谱，即能量是量子化的。能级组成分立谱，即能量是量子化的。)第二章第二章11二者合起来可写为：), 3 , 2 , 1(,

10、2nannEann22228,).(2sin)(axanAxn（4）由归一化条件定系数）由归一化条件定系数1|)(|2dxxaa所以，,1aA最后，波函数是： nxanaxa( )sin().12能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类能量最低的态称为基态，其上为第一激发态、第二激发态依次类推。推。第二章第二章12（三）宇称（三）宇称),(),(trtrrr （1 1）空间反射：空间矢量反向的操作。）空间反射：空间矢量反向的操作。（2 2）此时如果有：）此时如果有： ),(),(trtr 称波函数具有正宇称（或偶宇称）；称波函数具有正宇称（或偶宇称）；),(),(trtr 称波

11、函数具有负宇称（或奇宇称）；称波函数具有负宇称（或奇宇称）；),(),(trtr （3 3）如果在空间反射下，）如果在空间反射下，),(),(trtr 则波函数没有确定的宇称。则波函数没有确定的宇称。第二章第二章13（四）讨论（四）讨论,3,2,18.|,2cos1;|,2sin1;|0222nanEaxoddnxanaaxevennxanaaxnn其能量本征值为：aE8221（1）n = 1, 基态，基态， 与经典粒子不同，粒子的最低能量不为零，这个最低能与经典粒子不同，粒子的最低能量不为零，这个最低能量称为量称为 “零点能零点能”，这是量子效应，微观粒子具有波动，这是量子效应，微观粒子具有波动性的表现。从波的角度是可以理解的，因为性的表现。从波的角度是可以理解的，因为“静止的波静止的波”没有意