随机变量的数字特征

1、4.14.1数学期望与方差数学期望与方差4.24.2协方差及相关系数协方差及相关系数4.34.3大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理内容内容学习目标学习目标1.1.数学期望，方差（一维、二维）数学期望，方差（一维、二维）2.2.协方差，相关系数，不相关与相互独立协方差，相关系数，不相关与相互独立3.Chebyshev3.Chebyshev不等式，大数定律，中心极限不等式，大数定律，中心极限定理定理4.14.1 数学期望数学期望(mathematical expectation)与与方差方差(variance) 1 1 数数字字特特征征的的意意义义 例例 教学教学检查检查时时，对对某班某

2、班 12 名名学生学生的的数学数学成绩成绩进行进行抽抽查查， 其其中中63,74分分的的学学生生各各3名名，而而65分分，85分分和和93分分的的学学生生 各各2 2名名，则则他他们们的的平平均均成成绩绩 12293285374265363x741229312285123741226512369简简单单的的算算术术平平均均数数可可看看出出，平平均均成成绩绩并并非非4 .7559385746563例例 甲乙两个小合唱队都由甲乙两个小合唱队都由 5 人组成，身高为：人组成，身高为： 甲：甲： 160 162 159 160 159 平均平均 160 乙乙： 180 160 150 150 160

3、平均平均 160 显然显然乙乙队队波动波动较大较大。 ;,niinxnxxxxn1211的的算算术术平平均均值值个个数数.)(niixxnS1221离离均均差差平平方方的的平平均均值值它它们们分分别别重重复复了了个个数数如如果果,kxxxk21,nnnnnnnkk2121次次，且且个个数数的的加加权权平平均均值值则则，这这k; )(kiiikiiinnxxnnx111值值离离均均差差平平方方的的加加权权平平均均. )()()(kiiikiiinnxxxxnns1212212 2 离离散散型型随随机机变变量量的的数数学学期期望望 定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为i

4、ipxXP绝绝对对收收敛敛，若若级级数数1iiipx，则则称称级级数数1iiipx为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望，简称，简称期望期望或或均值均值，.)(1iiipxXE记记作作.)()(),(1iiipxfXfEXfX则则函函数数若若有有是是二二维维离离散散型型随随机机变变量量，若若ijjipyYxXP的的分分布布律律，则则记记),(YX, )()(1111ijijiijijipxpxXE, )()(1111jiijjijijjpypyYE.),(),(11ijijjipyxfYXfE例例 若若X的分布律为：的分布律为：X -1 0 1 1.5P 0.1 0.2 0.3 0.4 .

5、,的数学期望的数学期望求求22112XYXYX解解 4051301200101.)()(XE.80已求出分布律为：已求出分布律为：21131Y40302010.P)()(121XEYE402301201103.)(.)(.60)()(22XEYE252102.Y404020.P40252401200.31XY例例 若（若（X，Y)的分布律为：的分布律为：1/3121201/31/3求求 X，Y，X+Y的数学期望。的数学期望。解解 31231231101)(XE,35,)(3531231231101YE)(YXE312231123121011)()()()(.3103 3 连连续续型型随随机机变

6、变量量的的数数学学期期望望 定义定义 设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布密度为的分布密度为p(x),是是绝绝对对收收敛敛，若若积积分分dxxxp)(则则称称此此积积分分值值为为X的的数学期望数学期望，记作，记作E(X),即即.)()(dxxxpXE.),(则则函函数数若若有有XfX.)()()(dxxpxfXfE分分布布密密度度，记记是是二二维维连连续续型型随随机机变变量量若若),(),(YXyxp,),(),()(xoydxdyyxpxdxdyyxxpXE,),(),()(xoydydxyxpydxdyyxypYExoydxdyyxpyxfYXfE.),(),(),(例例 假定国际市场

7、每年对我国某产品的需求量假定国际市场每年对我国某产品的需求量X是是一个随机变量（单位：一个随机变量（单位：t），它在区间），它在区间2000，4000上服从均匀分布。已知每售出一吨该产品，可赚外上服从均匀分布。已知每售出一吨该产品，可赚外汇汇3万美元；若售不出去，则每吨需仓储费一万美元。万美元；若售不出去，则每吨需仓储费一万美元。外贸部门每年应组织多少吨货源，才能使收益最大？外贸部门每年应组织多少吨货源，才能使收益最大？解解 收益多少是由销售量和组织的货源量共同确定的收益多少是由销售量和组织的货源量共同确定的以以y表示组织的货源量，表示组织的货源量，X表示需求量（随机变量），表示需求量（随机变

8、量），收益量是收益量是X的函数，记作的函数，记作Y.则则其其它它，04000200020001xxp,)(的的函函数数，依依题题意意是是随随机机变变量量而而XXfY)(yXXyXXyyXfY2000340003),(,)(大大，只只需需使使是是随随机机变变量量，要要收收益益最最由由于于Y最最大大，的的数数学学期期望望也也即即使使其其平平均均收收益益最最大大即即可可，Y40002000dxxpxfXfEYE)()()()(4000200020003420001yydxydxyx)()(62104700010001yy时时，源源由由微微分分可可知知，当当组组织织货货t5y003 可可使使收收益益最

9、最大大。4 4 随随机机变变量量的的方方差差 存存在在，为为随随机机变变量量，若若设设定定义义2)(EXXEX即即的的方方差差，记记作作则则称称它它为为随随机机变变量量),(XDX2)()(EXXEXD的的标标准准差差。称称为为记记XXDX, )()(在方差的计算中，常用到公式在方差的计算中，常用到公式 .)EX()X(E)X(D22 例例 若若X的分布律为：的分布律为：X -1 0 1 1.5P 0.1 0.2 0.3 0.4 的方差。的方差。求求X解解31802.)(,.XEEX已知：已知：22)()()(EXXEXD.).(.66080312例例 若（若（X，Y)的分布律为：的分布律为：

10、XY1/3121201/31/3试求试求X，Y，X+Y的方差。的方差。解解,)(,)(3535YEXE已知：已知：.)(,)(,)(3343939222 YXEYEXE易求：易求：22)()()(EXXEXD,)(923539222)()()(EYYEYD,)(923539222)()()(YXEYXEYXD.)(9231033425 5 数数学学期期望望与与方方差差的的性性质质 （1）若）若k为常数，则为常数，则E(k)=k;（2）若）若k为常数且为常数且E(X)存在，则存在，则E(kX)=kE(X);（3）若）若E(X)与与E(Y)都存在，则都存在，则E(XY)=E(X)E(Y);证明证明

11、 以连续为例以连续为例 dxdyyxpyxYXE),()()( dxdyyxypdxdyyxxp),(),(),(),(dxdyyxpydxdyyxpx).()(YEXE由由(3)可知，若可知，若k为常数，为常数，则则E(Xk)=E(X)k,这还可推广到多个随机变量的情形这还可推广到多个随机变量的情形（4）若）若E(X)与与E(Y)都存在，且都存在，且X与与Y相互独立时，相互独立时，则则E(XY)=E(X)E(Y)。D(X)方差的性质：方差的性质：（1）若）若k为常数，则为常数，则D(k)=0;（2）若）若k为常数，则为常数，则D(kX)=k2D(X);（3）当）当X与与Y相互独立时，相互独立

12、时，D(XY)=D(X)+D(Y).证明证明2)()()(YXEYXEYXD2)()(EYYEXXE,)()()(222EYYEEYYEXXEEXXEDY)(EYYEXXE)()()(EYEXXYEEYXXYE)()()()()(EYEXYEXEEXYEXYE)()()(YEXEXYEX X与与Y Y独立独立0)()(EYEXEYEX).()()(YDXDYXD)(),cov(EYYEXXEYX以以后后记记的的协协方方差差。与与称称为为YX6 6 常常用用分分布布的的数数学学期期望望与与方方差差 ),()(pBX11 若若).()(,)(ppXDpXE1则则),()(pnBX若若2).()(,

13、)(pnpXDnpXE1则则),()(PX若若3.)(,)(XDXE则则),()(EX若若5.)(,)(211XDXE则则),()(26NX若若.)(,)(2XDXE则则),()(baUX若若4.)()(,)(1222abXDabXE则则例例 掷一颗六面体骰子，直到出现掷一颗六面体骰子，直到出现5点为止，问平均点为止，问平均需掷多少次？需掷多少次？解解 设设X表示首次掷得表示首次掷得5点的次数，点的次数，则则X的所有可能值为的所有可能值为1，2，点点，表表示示第第一一次次掷掷得得事事件件51X,611 XP则则点点，掷掷得得点点，第第二二次次表表示示第第一一次次未未掷掷得得552X，则则,61

14、652XP次次，第第次次，第第次次表表示示第第121kkX,点点，次次掷掷得得点点，第第未未掷掷得得55k,)(61651kkXP则则的的分分布布律律为为所所以以 X),( ,)(32161651kkXPk).(XE本本题题要要求求111165616165kkkkkkXE)()()()( ,)()(111112xxx111kkkkkxx )()( ,1111xxxkk又又116561kkkXE)()(.)(665116124 4. .2 2 协协方方差差(convariance)及及相相关关系系数数(correlation coefficient) 1 1 二二维维随随机机变变量量的的协协方方

15、差差 定义定义，若若，设设二二维维随随机机变变量量（)YX)(EYYEXXE的的协协方方差差，记记作作与与存存在在，则则称称它它为为YX)(),cov(EYYEXXEYX).(),cov(),(),cov(YDYYXDXX特别地特别地)(),cov(),cov()(),(YDXYYXXDYXCov记记的的协协方方差差矩矩阵阵，与与称称它它为为YX).,cov(),cov(XYYX其其中中式式：计计算算协协方方差差常常用用下下面面公公)()()(),cov(YEXEXYEYX例例 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布密度的分布密度其其它它,),(01122yxyxp).,cov(YX求求

16、解解 dxdyyxxpXE),()(01111112222xxyxdyxdxdyx同理同理 E(Y)=001111112222xxyxydyxdxdyxy)(XYE而而0)()()(),cov(YEXEXYEYX故故2 2. .二二维维随随机机变变量量的的相相关关系系数数 定定义义 若若 cov(X,Y)存存在在，则则称称 )Y()X()Y,Xcov()Y,X( 为为 X 与与 Y 的的相相关关系系数数。 特别地特别地.),(),(1YYXX11),(),(),(XYYXYXCorr记记的的相相关关系系数数矩矩阵阵，与与称称它它为为YX).,(),(XYYX 其其中中不不相相关关。与与则则称称

17、若若YXYX0),()()()(),cov(YEXEXYEYX相相互互独独立立时时，与与当当YX0)()()(),cov(YEXEXYEYX不不相相关关。与与，即即从从而而YXYX0),(未未必必独独立立。与与不不相相关关时时，与与但但YXYX例例 设设XU-1,1,即即X的分布密度的分布密度其其它它,),(01121xyxp。不不相相关关，也也不不相相互互独独立立与与证证明明又又YXXY,2确确定定，的的值值由由说说明明证证明明XYXY,2不不是是相相互互独独立立的的。与与故故YX0211133dxxXEXYE)()(02111dxxXE)(0)()()(),cov(YEXEXYEYX，故故

18、0),(YX不不相相关关。与与YX时时，当当),(),(222121NYX相相互互独独立立。与与YX 0之之间间什什么么样样的的与与所所刻刻画画的的是是YXYX),(关关系系？相相关关 所所刻刻画画（实实质质上上，),YX之之间间的的线线性性相相关关程程度度。与与的的只只是是随随机机变变量量YX有有下下列列性性质质：),(YX ;),()(11YX的的线线性性相相关关关关系系密密切切；与与大大时时，当当XYYX),(的的线线性性相相关关关关系系疏疏远远。与与小小时时，当当XYYX),(的的符符号号，有有相相同同与与则则若若kYXbkXY),(,)(2也也增增加加，增增加加时时，当当YXYX0)

19、,(正正相相关关；与与称称XY反反而而减减少少，增增加加时时，当当YXYX0),(负负相相关关；与与称称XY时时，当当0),(YX不不相相关关。与与称称XY;),()(03YXYX相相互互独独立立时时与与当当不不一一定定相相互互独独立立时时。与与时时但但是是当当YXYX0),(4.3大数定律大数定律(law of large number)与中心极限与中心极限定理定理(central limit theorem)1. Chebyshev不等式不等式,)(XEX的的数数学学期期望望若若随随机机变变量量,)(002，则则对对且且方方差差XD.22XP,0k或或对对.21kkXP的的分分布布为为连连

20、续续型型随随机机变变量量，设设证证明明XX则则密密度度为为),(xpXdxxpXP)(Xdxxpx)()(2122)xX（上上，在在dxxpx)()(2dxxpx)()(221,22.22XP故故写写成成显显然然，上上述述不不等等式式也也可可.221XP有有在在上上述述不不等等式式中中，取取,43888909113.XP9375016114.XP2. Chebyshev大数定律大数定律相相互互独独立立，若若随随机机变变量量,nXXX21,)(,)()(0 则有界，且各个都存在及iiiXDXDXE.)(lim11111niiniinXEnXnP变变量量大大数数定定律律表表明明，若若随随机机Che

21、byshev)()(,iinXDXEXXX及及相相互互独独立立，21有有界界，则则且且各各个个都都存存在在)(,iXD. )(niiPniiXEnXn1111相相互互独独立立、，推推论论：若若随随机机变变量量,nXXX21为为有有限限数数，则则同同分分布布且且)(,)(iiXDXE,0.lim111niinXnP此推论表明此推论表明，重复独立试验的观测数据的算术，重复独立试验的观测数据的算术平均值依概率收敛于它的数学期望平均值依概率收敛于它的数学期望。时时，可可以以认认为为，当当观观测测数数据据为为nxxx,21.niixn113. Bernoulli大数定律大数定律发发生生次次重重复复独独立立试试验验中中事事件件是是设设定定理理AnYnApp是是在在一一次次试试验验中中事事件件次次数数，)(10,),(0则则发发生生的的概概率率，即即pnBYn.lim1pnYPnn),()(,)(pnpYDnpYEnn1证证明明,)()(,)(nppnYDpnYEnn1时时，不不等等式式，当当由由nChebyshev,)(012npppnYPn.lim1pnYPnn4. 中心极限定理中心极限定理则则对对且且设设随随机机变变量量,),(10 ppnBY有有任任一一实实数数x).()(limxxpnpnpYPn1较较大大时时，的的次次数数说说明明，当当重重复复独独立立试试验验