第六章不等式 - 主讲教师薛雁平(大连一中

1、主讲教师：薛雁平（大连一中 高级教师）一、学习内容：第六章不等式.本章内容分为五部分：1 、不等式的性质2 、算术平均数和几何平均数3 、不等式的证明4 、不等式的解法5、含绝对值的不等式1、理解不等式的性质及其证明2、掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用 3、掌握用分析法、综合法、比较法证明简单的不等式4、掌握一元二次不等式，一元二次不等式组、含绝对值不等式、简单高次不等式和分式不等式的解法5、理解不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|三、学习指导: 本章内容中不等式的证明和不等式的解法是重点，掌握不等式的性质是学好本章的关键，不等式的证明是难点。不等式的性

2、质：nnnnbaNnbabaNnbabdacdcbabcaccbabcaccbadbcadcbacbcaRcbacacbba11*,0,00,0.0,0,二、不等式的性质：bababababababa0;0;0, 有：对于任意的实数一、不等式的基本性质四、典型例题讲评例1：已知ab0，的大小与试比较33322,baba332222222222223332263362233332222330)(2)233(0000bababababaabbababababababababaabbaba时当，且时当解：（一）不等式性质的应用例2： ab0,c0,d0 判断 dbdacacbbaab,之间的大小顺序

3、xaxbxf)(解：令xaabxa)(xaab1cacbabcffcxfoab)()0(00)(）上为增函数，在（）上为减函数，在（同理0)(xbxaxfabcacbdbdababadbda（二）算术平均数和几何平均数的定理的应用 abba222abba2a,b是实数 时a,b是正数 时a,b为实数时 22,baab222ba 例3:已知x 的最大值541x求函数 y=4x-2+ 132345145XXY解：”时取“即”时取“当且仅当145145xxx,45 例5：如图，平面直角坐标系中，在y轴正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B, 试在x 轴的正半轴（坐标原点除外）上求一点C 使 ACB取

4、得最大值。ACBOxYACOBCOBCAxxcabbBaA，解：设,)0()0 ,(,0), 0(), 0(21tantan1tantantantanxabxbxaabbabaxabxbaxabxba2)0(2最小最小，即时”时取“即当且仅当ACBACBabxabxxabxtan（三）不等式的证明不等式的证明的常用方法有：比较法， 分析法，综合法，换元法。还可适当的运用判别式，放缩，函数的单调性等进行不等式的证明，利用已知的基本不等式进行证明通常采用综合法例6：已知 x0,y0求证： xyyxyxyx)(41)(212xyyxyxyx)(41)(212证明：)(212yxxyyxyx)(21y

5、xyxxy0212122yxxy原式得证cbaabcacbbcaRcba333:,7求证：例222444abccabbcacba证明：此题转化为证明22442244224422,2cacacbcbbaba222222444cacbbacba22222222222222222,2abccacbbcacabacabcbba又222222222abccabbcacacbba原不等式成立bbaabbaababa828, 0:822求证：已知例bbabaaba44222需证证明：欲证原不等式只bbaaba41422只需证bbaaba212只需证baab121即此式显然成立即证01babaab原不等式成立

6、ccbbaaABCcba111,:9的三条边，求证：是三角形已知例xxxf1)(证明：令xxx111111）上为增函数，在（0)(xf)()(cfbafcbaccbaba11bbaabfaf11)()(又babbaa11ccbaba11ccbbaa111bcbcabcaaf33)3()(222证明：令例10：设a、b、cR,证明:a2+ac+c2+3b(a+b+c)0, 并指出等号何时成立 bcbcbc33432220)(3)2(3222bcbcbc0)(,00)(afaf时成立当2222333)(bbabbabaaf此时cbabababa, 0)(2222(四）不等式 的解法或)()(32.

7、 1xgxf理不等式无理不等式：转化为有式不等式分式不等式：转化为整，数轴标根法高次不等式：因式分解0)(xg2)()(xgxf0)(xg0)(xf)()(xgxf0)(xf0)(xg2)()(xgxf或数形结合结合单调性指、对数不等式：换元. 4）数形结合）分段讨论（）等价转化（）平方（定义（不含绝对值的不等式绝对值不等式：转化为5432).1 (.5.0,72|01122的解集求不等式的解集是的不等式：若关于例abxcxxxcbxaxx2171|0021,71141,149,0141,14914, 9720, 072|022121212121222xxxabxcxcxxxxxxxxxxab

8、xcxcacbacabcbxaxaxxcbxax或的解集为不等式又则的两个根为设方程和的两个根为且方程的解集是不等式解： 例12：解不等式2-3x|2x-1|法1：不等式等价于2x-102-3x2x-1或2x-102-3x1-2x法2：不等式等价于 2-3x0或2-3x022) 12()32(xx法3：不等式等价于2x-12-3x53|xx不等式的解集为xxxxx222322:13 解不等式例0232222xxxxx解：移项0232223xxxxx通分0) 1)(3() 1() 123xxxxx（因式分解0) 1)(3()2)(1(2xxxxx即321|xxx或原不等式的解集为)0(12:142axaax解不等式例212aaxy解：数形结合：令)0,2)(2(22,1221yaxaxaaaxy则xy12令xo2a1xy1y2aoaxaaaxxa时不等式的解集为当时不等式的解集为当221|20（五）绝对值不等式|a|-|b|ab|a|+|b|的应用) 1|(|2| )()(|:,