第二节求导数的一般方法(完)

1、第二节第二节 求导数的一般方法求导数的一般方法 YOUR SITE HERELOGO目录目录常数和几个基本初等函数导数常数和几个基本初等函数导数1函数和差积商的求导法则函数和差积商的求导法则2复合函数的求导法则复合函数的求导法则3反函数和隐函数的求导法则反函数和隐函数的求导法则4导数公式及运算法则导数公式及运算法则5YOUR SITE HERELOGO一、常数和几个基本初等函数的导数一、常数和几个基本初等函数的导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限1 1、.)()(的导数的导数为常数为常数求

2、函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即YOUR SITE HERELOGO2 2、.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设函数设函数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cosx .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 xxsin)(cos 同理可得：同理可得：YOUR SITE HERELOGO3 3、.)(的导数的导数为正整数为正整数求函数求函数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim121

3、0 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x YOUR SITE HERELOGO4 4、.)1, 0()(的导数的导数求函数求函数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee YOUR SITE HERELOGO例例1 1.)1, 0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxh

4、ah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa YOUR SITE HERELOGO二、函数和、差、积、商的求导法则二、函数和、差、积、商的求导法则1、定理、定理2-2并且并且处也可导处也可导在点在点分母不为零分母不为零差、积、商差、积、商则它们的和、则它们的和、处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()( )()()2();()( )()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuYOUR SITE HERELOGO证证(3)(3),

5、0)( ,)()()( xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略. .YOUR SITE HERELOGOhxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处可导处可导在在xxf)( )(xfCxCf 推论：推论：YOUR SITE HERELOGO例例2

6、 2.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例3 3.ln2sin的导数的导数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x .2sin1ln2cos2xxxx 2、例题分析、例题分析YOUR SITE HERELOGO例例4 4.tan的导数的导数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得YOU

7、R SITE HERELOGO例例5 5.sec的导数的导数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例6 6.的导数的导数求求shxy 解解 )(21)( xxeeshxy)(21xxee .chx 同理可得同理可得shxchx )(xchthx21)( YOUR SITE HERELOGO例例7 7).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解, 1)( xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0

8、xhhh ,11x YOUR SITE HERELOGO,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxfYOUR SITE HERELOGO三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则1 1、定理、定理2-32-3).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导, ,等于因变量对中间变

9、等于因变量对中间变量求导量求导, ,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则) )YOUR SITE HERELOGO证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf YOUR SITE HERELOGO推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的导数为的导数为则复合函数则复合函数 例例8 8.sinln的导数的导数求

10、函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot YOUR SITE HERELOGO例例9 9.)1(102的导数的导数求函数求函数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例1010.arcsin22222的导数的导数求函数求函数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0( aYOUR SITE HERELOGO例例1111.)2(21ln32的导数的导数求函数求函数 xxxy解解),2ln(31

11、)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1212.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx YOUR SITE HERELOGO1 1、隐函数的求导方法、隐函数的求导方法定义定义2-2:2-2:.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法

12、则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.四、隐函数的求导四、隐函数的求导YOUR SITE HERELOGO例例1313.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 YOUR SITE HERELOGO例例1414.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上

13、上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.YOUR SITE HERELOGO2 2、参数方程的求导公式、参数方程的求导公式.,)()(定定的的函函数数称称此此为为由由参参数数方方程程所所确确间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数

14、消去参数tYOUR SITE HERELOGO),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytxYOUR SITE HERELOGO例例1515解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos

15、1()sin( ttayttaxYOUR SITE HERELOGO.),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即YOUR SITE HERELOGO3 3、对数求导法、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用对等式两边同然后利用对等式两边同时求导的方法求出导数时求导的方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxuYOUR SITE HERELOGO例例16

16、16解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设YOUR SITE HERELOGO例例1717解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx YOUR SITE HERELOGO五、导数公式

17、及运算法则五、导数公式及运算法则xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( YOUR SITE HERELOGO2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(

18、, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C YOUR SITE HERELOGO3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.YOUR SITE HERELOGO例例1818.的导数的导数求函数求函数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xx