模糊综合评价法

1、1模糊数学绪论模糊数学绪论1产生产生1965年，年，L.A. Zadeh（扎德）（扎德） 发表了文章发表了文章模糊集模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )基本思想基本思想用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。如某员工属于优秀的程度为如某员工属于优秀的程度为0.6, 属于良好的程度属于良好的程度为为0.2，属于一般的程度为，属于一般的程度为0.1，属于较差的程度，属于较差的程度为为0.1。2一、经典集合与一、经典集合与模糊集合模糊集合 模糊集合. uAA. uAuAu非此及彼非此及彼3亦此亦

2、彼亦此亦彼UA模糊集合模糊集合 ,A元素元素 u若若 x 位于位于 A 的内部，的内部， 则用则用1来记录，来记录，若若 x 位于位于 A 的外部，的外部， 则用则用0来记录，来记录，若若 x 一部分位于一部分位于 A 的内部，一部分位于的内部，一部分位于 A 的外部，的外部，则用则用 x 位于位于 A 内部的长度来表示内部的长度来表示 u 对于对于 A 的隶属程度。的隶属程度。模糊集合4定义：定义：设设U是论域，称映射是论域，称映射 1 , 0)( ,1 , 0:uuUAA确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集 。映射。映射 称为称为 隶属函隶属函AA A数数， 称为称为 对对 的隶

3、属程度，简称的隶属程度，简称隶属度隶属度。)(uAuA)(uA越接近于越接近于0, 表示表示 x 隶属于隶属于A 的程度越小；的程度越小；)(uA越接近于越接近于1, 表示表示 x 隶属于隶属于A 的程度越大；的程度越大；)(uA0.5, 最具有模糊性，过渡点最具有模糊性，过渡点模糊集合5模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法nnuuAuuAuuAA)()()(2211这里这里 表示表示 对模糊集对模糊集A的隶属度是的隶属度是 。iiuuA)(ix)(iuA（2）序偶表示法）序偶表示法 nnuuuA,.,2211模糊集合6（3）

4、向量表示法）向量表示法nA,.,4321(4) 积分表示法积分表示法若论域若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：为无限集，其上的模糊集表示为：UuAuuA)(模糊集合7例例1. 有有100名消费者，对名消费者，对5种商品种商品 评价，评价，结果为：结果为：54321,xxxxx81人认为人认为x1 质量好，质量好，53人认为人认为x2 质量好，质量好，所有人认为所有人认为x3 质量好，没有人认为质量好，没有人认为x4 质量好，质量好，24人人认为认为x5 质量好质量好则模糊集则模糊集A（质量好）（质量好）5432124. 00153. 081. 0 xxxxxA模糊集合8 例例2：考虑年龄集：

5、考虑年龄集U=0,100，O=“年老年老”，O也是一个年龄集，也是一个年龄集，u = 20 A，40 呢？呢？札德给出了札德给出了 “ “年老年老” ” 集函数刻画集函数刻画: :10050)550(1 (5000)(12uuuuO10U50100模糊集合9再如，再如，Y= “= “年轻年轻”也是也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：于这一集合的程度不一样，札德给出它的隶属函数：10025)525(1 (2501)(12uuuuY1050U模糊集合10二二、模糊集的运算、模糊集的运算定义：定义：设设A，B是论域是论域

6、U的两个模糊子集，隶属函数的两个模糊子集，隶属函数包含：包含：uuBABA并集：并集：uuuBABA交集：交集：uuuBABA余集余集：uuAcA 1 表示取大；表示取大； 表示取小。表示取小。 模糊集合的运算11例例3.543215 . 08 . 019 . 03 . 0uuuuuA543216 . 03 . 08 . 01 . 02 . 0uuuuuB则：则：BA543216 . 08 . 019 . 03 . 0uuuuuBA543215 . 03 . 08 . 01 . 02 . 0uuuuu模糊集合的运算12并交余计算的性质并交余计算的性质1. 幂等律幂等律,AAAAAA2. 交换律

7、交换律,ABBAABBA3. 结合律结合律CBACBACBACBA)()(,)()(4. 吸收律吸收律(),()AABA AABA模糊集合的运算136. 同一律同一律AUAUUAAAA,7. 还原律还原律,)(AAcc8. 对偶律对偶律,)( ,)(ccccccABBABABA5. 分配律分配律)()()(),()()(CABACBACABACBA模糊集合的运算14一、模糊集合的一、模糊集合的水平截集水平截集定义：定义：设设A为论域为论域U上的模糊集合，对任意的上的模糊集合，对任意的1 , 0称普通集合称普通集合 UuuuuAA,为为A A的的水平截集。水平截集。水平截集15示例：示例： 气象

8、部门对上周天气进行综合评价，得出上周七天对气象部门对上周天气进行综合评价，得出上周七天对于好天气的隶属度如下：于好天气的隶属度如下：星期天星期六星期五星期四星期三星期二星期一天气1 . 02 . 03 . 06 . 07 . 08 . 09 . 0 现在限定现在限定=0.6水平截集为好天气，则好天气的普通集水平截集为好天气，则好天气的普通集合为：合为：三，星期四星期一，星期二，星期好天气水平截集16隶属函数的确定隶属函数与概率的共同点： 都是针对不确定现象 都是用0，1区间度量不确定性模糊数学和概率论的本质区别： 概率论研究随机现象，是由于条件不充分而导致对象的不确定性，是对“因果律”的突破；

9、 模糊数学研究模糊现象，是由于外延模糊不清而引起对象的不确定性，是对“排中律”的突破。171、模糊统计法、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：模糊统计试验的四个要素：（1）论域）论域U；（2）U中的一个固定元素中的一个固定元素;0u（3）U中的一个随机运动集合中的一个随机运动集合;*A（4）U中的一个以中的一个以 作为弹性边界的模糊子集作为弹性边界的模糊子集A，*A制约着制约着 的运动。的运动。 可以覆盖可以覆盖 也可以不覆盖也可以不覆盖*A*A,0u,0u致使致使 对对A的隶属关系是不确定的。的隶属关系是不确定的。0u隶属函数的确定18特点：在各次试验中，特点：在各次试验中， 是固定的，而是固

10、定的，而 在随机变动。在随机变动。0u*A模糊统计试验过程：模糊统计试验过程：（1）做）做n次试验，计算出次试验，计算出nAuAu的次数的隶属频率对*00（2）随着）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为nAuun的次数*00lim)(0u对对A的隶属度：的隶属度：隶属函数的确定19对对129人进行调查人进行调查, 让他们给出让他们给出“青年人青年人”的年龄区间，的年龄区间，问年龄问年龄 27属于模糊集属于模糊集A（青年人）的隶属度。（青年人）的隶属度。 0u隶属函数的确定20对年龄对年龄27作出如下的统计处理：作出如下的统计处理：A(27) = 0.78隶

11、属函数的确定212、指派方法 这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。 一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。 偏小型：适合描述“小”“少”“冷”“浅”“疏”“青年”等 偏大型：适合描述“大”“多”“热”“深”“密”“老年”等 中间型：适合描述“中”“不太多”“不太深”“不太浓” “暖和”“中年”等处于中间状态的模糊现象。隶属函数的确定22常用的模糊分布23隶属函数的确定243、其它方法、其它方法德尔菲法：专家评分法；德尔菲法：专家评分法； （1）选择专家；）选择专家； （2）确定影响债

12、权价值的因素，设计价值分析对象征询意）确定影响债权价值的因素，设计价值分析对象征询意见表；见表； （3）向专家提供债权背景资料，以匿名方式征询专家意见；）向专家提供债权背景资料，以匿名方式征询专家意见； （4）对专家意见进行分析汇总，将统计结果反馈给专家；）对专家意见进行分析汇总，将统计结果反馈给专家； （5）专家根据反馈结果修正自己的意见；）专家根据反馈结果修正自己的意见； （6）经过多轮匿名征询和意见反馈，形成最终分析结论。）经过多轮匿名征询和意见反馈，形成最终分析结论。隶属函数的确定25隶属函数的二元对比排序法相对比较法：相对比较法：设设nu,.u,uU21上的模糊集合上的模糊集合A A

13、代表某种特性，建立任意两代表某种特性，建立任意两元素关于元素关于A的二元比较级的二元比较级( )，满足：，满足： 。其中。其中 代表相对于代表相对于 而言，而言， 具有特性具有特性A的程度。的程度。 建立相及矩阵建立相及矩阵 有有 取取C中各行最小值作为对应元素的隶属度，即中各行最小值作为对应元素的隶属度，即由此建立由此建立U上模糊集合上模糊集合A的隶属函数。的隶属函数。 ifj jfi 1,0ifjfji jfiiuju nnijcC 1,maxiiijjijcjfififc ijiAcumin26隶属函数的二元对比排序法算例算例 有有B B市、市、S S市和市和T T市三支代表队参加烹饪大

14、赛，即市三支代表队参加烹饪大赛，即U=BU=B队（队（x x），），S S队（队（y y），），T T队（队（z z） ，A=“A=“厨艺高厨艺高”，求，求A A的隶属函数。的隶属函数。建立相对比较级建立相对比较级1.1. 大赛评委对大赛评委对U U中各元素两两相互评分，去掉最高分和最低中各元素两两相互评分，去掉最高分和最低分取平均值获得如下结果：分取平均值获得如下结果： 9 . 0 , 5 . 0,4 . 0 , 8 . 0,7 . 0 , 8 . 0,xfzfzfyfyfxfzxyzxy27隶属函数的二元对比排序法2.2.建立相及矩阵建立相及矩阵 218 . 04 . 0,max959 .

15、 05 . 0,max18 . 08 . 0,max878 . 07 . 0,max19 . 09 . 0,max18 . 08 . 0,maxyfzfzfcxfzfzfczfyfyfcxfyfyfczfxfxfcyfxfxfczyyzyzxxzxyzzyzyxxyxxzzxzxyyxy28隶属函数的二元对比排序法可得相及矩阵可得相及矩阵3.求隶属函数求隶属函数 对各行取最小值得隶属函数对各行取最小值得隶属函数121951187111zzzyzxyzyyyxxzxyxxcccccccccCzyxA2187129隶属函数的二元对比排序法择优比较法择优比较法 类似于抽样调查，适用于被调查者只能做两

16、两比较，难于给类似于抽样调查，适用于被调查者只能做两两比较，难于给出总体各个元素的顺序，与相对比较法不同得是，在两两比出总体各个元素的顺序，与相对比较法不同得是，在两两比较的过程中被调查者不必评分，只要给出心目中的最优即可。较的过程中被调查者不必评分，只要给出心目中的最优即可。算例算例 调查观众对五种球赛的喜爱程度。该课题论域为调查观众对五种球赛的喜爱程度。该课题论域为U=U=排排球赛（球赛（1 1），篮球赛（），篮球赛（2 2），足球赛（），足球赛（3 3），乒乓球赛（），乒乓球赛（4 4），），羽毛球赛（羽毛球赛（5 5）。）。A=“A=“喜欢喜欢” 在观众中随机抽取在观众中随机抽取100

17、100人，对球赛做两两对比，每人做人，对球赛做两两对比，每人做2020次选择，形成下表。次选择，形成下表。30隶属函数的二元对比排序法羽毛球赛乒乓球赛足球赛篮球赛排球赛185. 0167. 0286. 0178. 01875. 0A31隶属函数的二元对比排序法对比平均法对比平均法 建立建立U U中任意两元素关于中任意两元素关于A A的二元相对比较级的二元相对比较级 得到相对比较级矩阵得到相对比较级矩阵F F 按照下式确定各元素隶属度按照下式确定各元素隶属度式中式中 为权，满足为权，满足 njijfifij,.,1, 1,iijijnnijfifffF njijjiAfWu1njWj,.,11j

18、W32算例算例 设论域设论域U=U=x x（五十铃），（五十铃），y y（三菱），（三菱），z z（日野），（日野），A=“A=“舒舒适度适度”，求，求A A的隶属函数。选择的隶属函数。选择1010名特约乘客实验，按二元比较名特约乘客实验，按二元比较法由乘客打分整理后有下表法由乘客打分整理后有下表表表 汽车舒适性调查汽车舒适性调查隶属函数的二元对比排序法33 其中对日野汽车的偏爱程度比较大，权重为其中对日野汽车的偏爱程度比较大，权重为0.40.4，其余两种汽车，其余两种汽车等权重为等权重为0.30.3，得，得 隶属函数为隶属函数为 65. 0132. 030. 04 . 056. 068. 0

19、117. 03 . 076. 070. 083. 013 . 0zyxAAAzyxA65. 056. 076. 0隶属函数的二元对比排序法34优先关系排序法优先关系排序法 设论域设论域U=U=u u1 1,u,u2 2,u,u3 3,u,u4 4.u.un n, ,以以C Cijij表示表示u ui i与与u uj j相比是相比是u ui i的优越程的优越程度，有度，有C Ciiii=0=0。 其中其中0C0Cijij11且且C Cijij+C+Cjiji=1=1 可得模糊矩阵可得模糊矩阵称为优先关系矩阵。称为优先关系矩阵。 给定给定00，11，得，得C C的的截矩阵截矩阵 ，当，当C Cij

20、ij， =1=1反正为反正为0 0。 另另从从0 0到到1 1变化，当矩阵首次出现某行元素除对角线外均为变化，当矩阵首次出现某行元素除对角线外均为1 1时，时，则认为该行为第一优越（不一定唯一）。则认为该行为第一优越（不一定唯一）。 删去第一优越元素后，用同样的方法可以得到第二、第三等优删去第一优越元素后，用同样的方法可以得到第二、第三等优越元素。越元素。隶属函数的二元对比排序法nnijCC ijCC ijC35算例算例 设论域设论域U=U=x x（五十铃），（五十铃），y y（三菱），（三菱），z z（日野），（日野），A=“A=“舒适舒适度度”。挑选。挑选1010名司机将参加测评的车辆两两

21、编组，在驾驶一段时名司机将参加测评的车辆两两编组，在驾驶一段时间后对汽车的舒适度进行打分。间后对汽车的舒适度进行打分。评分结果评分结果隶属函数的二元对比排序法36定义定义模糊关系的定义所谓A，B两集合的直积中的一个模糊关系R，是指以为论域的一个模糊子集，序偶的隶属度为一般地，若论域为n个集合的直积，则它所对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函数 。显然当隶属度函数值只取“0”或“1”时，模糊关系就退化为普通关系。BbAabaBA,),(BA),(ba。),(baRnAAA21),(21nRaaa模糊关系37 假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”，其余按具体相似程度给

22、出一个01之间的数，就可确定出一个U上的模糊关系R，列表如下 设有七种物品：苹果、乒球、书、篮球、花，桃、菱形组成的一个论域U，并设x1 , x2 x7分别为这些物品的代号，则 现在就物品两两之间的相似程度来确定它们的模糊关系。721,xxxU38定义：定义：设设 称称R为为模糊矩阵模糊矩阵。, 10 ,)( ijnmijrrR当当 只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔（布尔（Boole）矩阵）矩阵。ijr当模糊方阵当模糊方阵 的对角线上的元素的对角线上的元素 都为都为1时，时，nnijrR )(ijr称称R为为模糊单位矩阵模糊单位矩阵。例如：例如：3 . 07 . 05 . 01 . 00

23、1R0000000000模糊矩阵39（1）模糊矩阵间的关系及运算）模糊矩阵间的关系及运算定义定义：设：设 都是模糊矩阵，定义都是模糊矩阵，定义nmijnmijbBaA )(,)(相等：相等：ijijbaBA 包含：包含：ijijbaBA 并：并：nmijijbaBA )(交：交：nmijijbaBA )(余：余：nmijcaA )1(模糊矩阵40例例4：则则设设,2 . 03 . 004 . 0,3 . 02 . 01 . 01 BA 3 . 03 . 01 . 01BA 2 . 02 . 004 . 0BA 7 . 08 . 09 . 00cA 8 . 07 . 016 . 0cB模糊矩阵4

24、1（2）模糊矩阵的合成）模糊矩阵的合成定义：定义：设设 称模糊矩阵称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbBaA nmijcBA )(为为A与与B的的合成合成，其中，其中 。即：即：定义：定义： 设设A为为 阶，则模糊方阵的幂定义为阶，则模糊方阵的幂定义为nn 1() sijikkjkcab1() sijikkjkCA Bcab AAAAAAAAAnn1232, 模糊矩阵42例例5：则则设设,6 . 04 . 02 . 05 . 03 . 01 . 0,3 . 06 . 02 . 05 . 01 . 04 . 0 BA 3 . 03 . 06 . 05 . 0BA 5 . 05 . 04 .

25、03 . 03 . 03 . 02 . 02 . 01 . 0AB模糊矩阵43（3）模糊矩阵的）模糊矩阵的 截矩阵截矩阵 定义：定义：设设 对任意的对任意的 称称,)(nmijaA ,1 , 0 nmijaA )()( 为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 截矩阵，其中截矩阵，其中 ijijijaaa , 0 , 1)(显然，截矩阵为显然，截矩阵为Boole矩阵。矩阵。模糊矩阵44例例6：则则设设,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 01 A 11001100001100115 . 0A 11001100001000018 . 0A

26、时时的的截截矩矩阵阵为为8 . 0, 5 . 0 模糊矩阵45基本思想和原理 在客观世界中，存在着大量的模糊概念和模糊现象。模糊数学就是试图用数学工具解决模糊事物方面的问题。 模糊综合评价是借助模糊数学的一些概念，对实际的综合评价问题提供一些评价的方法。具地说，模糊综合评价就是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，从多个因素对被评价事物隶属等级状况进行综合性评价的一种方法。46模糊综合评判一级模糊综合评判一级模糊综合评判47步骤：（1）确定因素集;,21nuuuU （2）确定评判集;,21mvvvV （3）进行单因素评判得到);,(21imiiirrr

27、r （4）构造综合评判矩阵： nmnnmmrrrrrrrrrR212222111211（5）综合评判：对于权重),(21naaaA 计算RAB ，并根据隶属度最大原则作出评判。模糊综合评判48模糊综合评判49模糊综合评判50模糊综合评判51根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：模糊综合评判52例如有单因素评判矩阵例如有单因素评判矩阵 18. 030. 028. 024. 011. 030. 025. 034. 020. 008. 024. 038. 010. 016. 042. 022. 020. 012. 036. 026. 018. 024. 02

28、8. 030. 012. 026. 022. 040. 023. 025. 032. 020. 027. 013. 024. 036. 0R)18. 0 , 1 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0 ,16. 0 ,07. 0 ,07. 0 ,12. 0 , 1 . 0( A则则B(0.18, 0.18, 0.18, 0.18)53模糊综合评判的运算模型54模型 I),( M均衡平均型 mkkjniijijrrmjrrab1010. );, 2 , 1( )(其中：其中：模糊综合评判的运算模型5556例例 ：“晋升”的数学模型.以高校老师晋升教授为例：因素集U =政治表现及工作态度,教学水平

29、,科研水平,外语水平,评判集V=好,较好,一般,较差,差. 因素 好 较好 一般 较差 差 政治表现及工作态度 4 2 1 0 0 教学水平 6 1 0 0 0 科研水平 0 0 5 1 1 外语水平 2 2 1 1 1 577/17/17/17/27/27/17/17/5000007/17/6007/17/27/4R给定以教学为主的权重给定以教学为主的权重A = (0.2, 0.5, 0.1, 0.2)，分别用分别用M(,)、 M( , )模型所作评判下：模型所作评判下：M(,)： B = (0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14) 归一化后，归一化后，B = (0.46, 0.18, 0.12, 0.12, 0.12) M( , )： B = (0.6, 0