314空间向量的正交分解及其坐标表示

1、3.1.43.1.4空间向量的正交空间向量的正交 分解及其坐标表示分解及其坐标表示有向量的一组基底。）叫做表示这一平面内所、（。，使，一对实数，有且只有任一向量那么对于这一平面内的共线向量，是同一平面内的两个不，如果2122112121eeeeaaee平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ij复习：复习：在空间中，能得出类似的结论在空间中，能得出类似的结论:任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。一、空间向量基本定理：一、空间向量基本定理： 如果三个

2、向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使, ,a b c p .pxaybzc 都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。注：注：对于对于基底基底a,b,c,除了应知道除了应知道a,b,c不共面，不共面， 还还应明确应明确： （2） 由于可视由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是它们都不是 。00（3）一个基底一个基底是指一个向量

3、组，是指一个向量组，一个基向量一个基向量是指基是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。xyzOijkQPp .OPOQzk .OQxiy j.OPOQzkxiy jzk 由此可知，如果由此可知，如果 是空间两是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一两垂直的向量，那么，对空间任一向量向量 ，存在一个有序实数组，存在一个有序实数组 x,y,z使得使得 我们称我们称 为向量为向量 在在 上的分向量。上的分向量。, ,i j k p .pxiy jzk ,xi y j zk, ,i j k p , ,i j k 特殊的： 两两垂直时这种分解我们把它叫做空

4、间向这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解量的正交分解.二、空间直角坐标系下二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标空间向量的直角坐标 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的三如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基，则这个基底叫做底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用 e1 , e2 , e3 表示表示xyzOA(x,y,z)e1e2e3 空间向量的直角坐标：空间向量的直角坐标： 给定一个空间坐标系和向给定一个空间坐标系和向量量 ,且设且设e1,e2,e3为坐标向量，为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯由空间向量基本定理，存在唯一的有

5、序实数组一的有序实数组(x,y, z)使使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组有序数组( x, y, z)叫做叫做p在空间在空间直角坐标系直角坐标系O-xyz中的坐标，中的坐标，记作记作.P=(x,y,z)其中其中x叫做点叫做点A的的横坐标，横坐标，y叫做点叫做点A的的纵坐标纵坐标，z叫做点叫做点A的的竖坐标竖坐标.p已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ空间向量基本定理的考查空间向量基本定理的考查例例1例例2、1、在空间坐标系、在空间坐标系o-xyz中，中

6、， ( 分分别是与别是与x轴、轴、 y轴、轴、 z轴的正方向相同的单位向量轴的正方向相同的单位向量)则则 的坐标为的坐标为 。2、点、点M（2，-3，-4）在坐标平面）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正内的正投影的坐标分别为投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点，关于原点的对称点为为 ，关于轴的对称点为，关于轴的对称点为 ， 22132eeeAB321eee、AB空间直角坐标的考查空间直角坐标的考查3.当向量当向量 平行于平行于x轴时，轴时，( )坐标坐标( )坐标都坐标都为为0， 即即 =( ).当向量当向量 平行于平行于y轴时，（轴时，（ ）坐标（）坐标（ ）坐）坐标都为标都为0， 即即

7、 =（ ）aaaa横横纵纵竖竖x,0,0竖竖0，y，0.当向量当向量 平行于平行于z轴时，横坐标纵坐标轴时，横坐标纵坐标都为都为0， 即即 =（0，0, z）a.当向量当向量 平行于平行于yoz平面时，横坐标为平面时，横坐标为0， 即即 =（ 0， x, y）.当向量当向量 平行于平行于xoz平面时，纵坐标为平面时，纵坐标为0， 即即 =（x，0, z）. 当向量当向量 平行于平行于xoy平面时，竖坐标为平面时，竖坐标为0， 即即 =（x，y, 0）aaaaaaa空间向量运算的坐标表示, 则则设设123123(,),(,)aa a abb b b ababa a b /ab ab112233(

8、,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,)()aaaR 1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR 1 12 23 30.( ,)aba ba ba b 都都不不是是零零向向量量一、向量的直角坐标运算一、向量的直角坐标运算若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则则AB = OB- -OA=(x2,y2,z2)- -(x1,y1,z1) =(=(x2 2- -x1 1 , , y2 2- -y1 1 , , z2 2- -z1 1) )空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有

9、向线段的向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标终点的坐标减去起点的坐标. .二、距离与夹角的坐标表示二、距离与夹角的坐标表示1. 1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121()()()A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公

10、式2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a babF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例1如图如图, 在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111A

11、BCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF 证明证明: 设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,.DAi DCj DDk 建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系11( 1,0,0),(0, 1),2ADD F 则则11( 1,0,0) (0, 1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1, ),2AE 又又111(0,1, ) (0, 1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FAD AEAD 1 1另另证证 可可以以用用