2019-2020年高中数学第二册(上)不等式的证明(I)0

1、20192019- -20202020 年高中数学第二册（上）不等式的证明（年高中数学第二册（上）不等式的证明（1 1）0 0 教学目的： 1 掌握综合法证明不等式； 2 熟练掌握已学的重要不等式； 3 增强学生的逻辑推理能力 教学重点：综合法教学难点：不等式性质的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1 课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1 重要不等式： 如果a,bGR,那么 a2+b22ab（当且仅当 a=b 时取二号） 2.定理：如果 a,b 是正数，那么凹凹4ob（当且仅当a=b时取号）. 2 3 公式的等价变形：abW,ab0）,当且仅当a=b时取“=”号；

2、 5定理：如果，那么（当且仅当时取“=”） 6. 推论：如果，那么（当且仅当时取“=”） 7. 比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断与 0 的关系结论 比较法之二（作商法）步骤：作商变形判断与 1 的关系结论 二、讲解新课： 1. 综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 2. 用综合法证明不等式的逻辑关系是：AnBnBnnBnB 12n 3. 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和 公式，推出结论的一种证明方法 三、讲解范例： 例 1 已知a,b,c是不全相等

3、的正数，求证： a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）6abc 证明：T2bc,a0, .*.2abc 同理2abc 2abc 因为a,b,c不全相等，所以2bc,2ca,2ab三式不能全取“二”号，从而、三式也不能全取“=”号 a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc3 例 2 已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列， 求证：a2+b2+c2(a一b+c)2 证明：左一右=2(ab+bcac) Ta,b,c成等比数列，又 Ta,b,c都是正数，所以 W 2(ab+bc一ac)=2(ab+bc一b2)=2b(a+c一b)0 a2+b2+c2(a一b+c

4、)2 说明：此题在证明过程中运用了比较法、基本不等式、等比中项性质,体现了综合法证明不等式的特点 四、课堂练习： 1.设a,b,cR, 1 求证： 2 求证：a2+b2+b2+c2+c2+a2ny2(a+b+c) 3 若a+b=1,求证： a2+b2a+b、a+b 证：11l 2 22 2 同理：， 三式相加:va2+b2+b2+c2+c2+a2.2(a+b+c) 3 由幂平均不等式： I|l(a+2)+(b+2)_,(a+b+1)_|2_12_2_辽_1 2.a,b,cR,求证：1(a+b+c)+1+丄丄) )9 abc 1119 2(a+b+c)(+) a+bb+cc+a2 证：1 法一：

5、，两式相乘即得 法二：左边_辿c+瞠匕_3+(b+a+(c+纟)+(c+b abcabacbc 111 a+2Sb+2)- 3 三 3+2+2+2=9 2ab+出+c f33（a+丽+c）（c+a） 2222 丄+丄+丄331两式相乘即得 a+bb+cc+a3（a+b）（b+c）（c+a） 1119 3 由上题：（a+b+c）（一+） a+bb+cc+a2 cab9 1+1+1+即 a+bb+cc+a2 五、小结：通过本节学习，要求熟练掌握并应用已学的重要不等式及不等式性质推出所证不等式成立，进而掌握综合法证明不等式 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记： 20192019- -20

6、202020 年高中数学第二册（上）不等式的证明（年高中数学第二册（上）不等式的证明（1111）0 0 教学目的： 1掌握分析法证明不等式； 2理解分析法实质执果索因； 3提高证明不等式证法灵活性 教学重点：分析法教学难点：分析法实质的理解授课类型：新授课课时安排：1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程： 一、复习引入： 1重要不等式： 如果a,bGR,那么 a2+b22ab（当且仅当 a=b 时取二号） 2.定理：如果 a,b 是正数，那么.：ab（当且仅当a=b时取=号）. 2 3 公式的等价变形：abW,ab0）,当且仅当a=b时取“=”号； 5. 定理：如果，那么（当且仅当时取“=”

7、） 6. 推论：如果，那么（当且仅当时取“=”） 7. 比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断与 0 的关系结论 比较法之二（作商法）步骤：作商变形判断与 1 的关系结论 8综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要 证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 用综合法证明不等式的逻辑关系是：AnBnBnnBnB 12n 综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发,利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法 二、讲解新课： 1 分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条 件，把证明不等式转化为判

8、定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法 2. 用分析法证明不等式的逻辑关系是：BuBuBuuBuA 12n 3. 分析法的思维特点是：执果索因 4. 分析法的书写格式： 要证明命题 B 为真， 只需要证明命题为真，从而有 这只需要证明命题为真，从而又有 这只需要证明命题 A 为真 而已知 A 为真，故命题 B 必为真 三、讲解范例： 例 1 求证 证明：因为都是正数，所以为了证明 只需证明 展开得 即 因为成立，所以 成立 即证明了 说明：分析法是“执果索因”步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法 分析法

9、论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真， 这只需要证明命题B为真，从而有 1 这只需要证明命题B为真，从而又有 2 这只需要证明命题A为真 而已知A为真，故B必真 例 2 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管截面面积的大小，设截面的周长为L，则周长为L的圆的半径为，截面积为；周长为L的正方形边长为，截面积为所以本题只需证明 证明：设截面的周长为L,依题意，截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水 管的截面面积为，所以本题只需证明 为了证明上式成立，只需证明 两边同乘

10、以正数，得 因此，只需证明 上式是成立的，所以这就证明了，通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大 说明：对于较复杂的不等式，直接运用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法经常是结合在一起使用的 四、课堂练习： 已知a,b,c,d$R,求证：ac+bdW 分析一:用分析法 证法一：(1)当ac+bdWO 时，显然成立 (2)当ac+bd0 时,欲证原不等式成立, 只需证(ac+bd)2W(a2+b2)(c2+d2) 艮卩证a2C2+2abcd+b2d2Wa2C2+a2d2+b2C2+b

11、2d2 即证 2abcdWb2C2+a2d2 即证 OW(bc-ad)2 因为a,b,c,deR,所以上式恒成立， 综合(1)、(2)可知：原不等式成立 分析二：用综合法 证法二：(a2+b2)(C2+d2)=a2C2+a2d2+b2C2+b2d2=(a2C2+2abcd+b2d2)+(b2C22abcd+a2d2) =(ac+bd)2+(bcad)2三(ac+bd)2 .三|ac+bd|三ac+bd 故命题得证 分析三：用比较法 证法三：(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2=(bcad)20, (a2+b2)(c2+d2)三(ac+bd)2 .三|ac+bd|三ac+bd, 即ac+

12、bdW 五、 小结： 通过本节学习， 要求大家在理解分析法的逻辑关系的基础上掌握分析法证明不等式，并加深认识不等式证明方法的灵活性，能综合运用证明不等式的各种方法 六、课后作业： 1 选择题 (1)若 logb为整数，且 loglogloga2,那么下列四个结论中正确的个数是()a2 aaab logb+loga=00ab2 且|x|2B|x+x|4C|x+x|0,y0,且 Wa成立，则a的最小值是() ABC2D2 答案:B (5) 已知a,beR+,则下列各式中成立的是() ACOS2。lga+sin20lgba+b 答案:A (6) 设a,beR+，且ab-a-bl,则有() Aa+b三

13、 2(+1)Ba+bW+1Ca+b三(+1)2Da+bW2(+1) 答案:A 2 用分析法证明: 3(1+02+34)三(1+a+a22 证明:要证 3(1+a2+a4)三(1+a+a2)2 只需证 3(1+a2)2-a2】(1+a+a2)2 即证 3(1+a2+a)(1+a2a)三(1+a+a2)2 *.*1+a+a2=(a+)2+0 只需证 3(1+a2-a)三 1+a+a2 展开得 2-4a+2a20 即 2(1a)20 成立 故 3(1+a2+a4)三(1+a+a2)2成立 3 用分析法证明: ab+cdW 证明：当ab+cd0 时， ab+cd成立 当ab+cdO 时， 欲证ab+c

14、dW 只需证(ab+cd)2W()2 展开得a2b2+2abcd+c2d2W(a2+c2)(b2+d2) 即a2b2+2abcd+c2d2Wa2b2+a2d2+b2c2+c2d2 即 2abcdWa2d2+b2c2 只需证a2d2+b2C2-2abcd0 即(ad-bc)20 因为(ad-bc)20 成立 所以当ab+cdO 时,ab+cdW 成立 综合可知:ab+cdW 成立 4 用分析法证明下列不等式: (1) 求证: (2) 求证：ix1一fx2lg(a+b) 23 证明:(1)欲证 只需证 展开得 12+216+2 即 24+2 只需证(2)2(4+2)2 即 4这显然成立 故成立 (

15、2)欲证px1一*x2yx3一丫x-4(x4) 只需证：x1+fx4、：x3+i：x2(x三4) 即证(.x1+、：x4)2(订x3+*x2)2(x4) 展开得 2x5+2、：x1yx42x一5+2七x3片x2 艮卩j(x1)(x4)(x3)(x2) 只需证22 即证x25x+4x25x+6 即 46 这显然成立 故fx1*x2、.：x3*：x4(x4)成立 (3)欲证 2()0,2ca+b,求证: (1)c2ab (2)cac+ 证明：(l)abW()2C2 abc2 (2)欲证cac+ 只需证-a-c 即|ac| 即a22ac+c2c2ab 只需证a(a+b)0,只要证a+b2c(已知) 故原不等式成立 6已知关于x的实系数二次方程X2+ax+b=0,有两个实数根a,0,证明： 如果|a|2,|0