高等数学级数习题课.

1、第十一章第十一章 级数级数习题课习题课无无穷穷级级数数的的收收敛敛与与发发散散一一、 收收敛敛，则则称称级级数数，若若 1 limnnnnuSS. 1SuSnn 记记为为称称为为该该级级数数的的和和，且且.1发散发散则称级数则称级数 nnu级数收敛：级数收敛：、 1级数发散：级数发散：、 2不不存存在在，若若极极限限nnS lim两个特殊级数的敛散性两个特殊级数的敛散性、 3.1 1)1(11时发散时发散当当时收敛，时收敛，当当等比级数等比级数 qqaqnn.lim 1存在存在收敛收敛级数级数说明：说明：nnnnSu .lim1不不存存在在发发散散级级数数nnnnSu .1 11)2(1时发散

2、时发散当当时收敛，时收敛，当当级数级数 ppnpnp级数的基本性质级数的基本性质二、二、 . )( 2111 SvuSvunnnnnnn且且其其和和为为也也收收敛敛，则则级级数数，、分分别别收收敛敛于于、设设级级数数、. 111kSkuSunnnn且且和和为为收收敛敛，则则级级数数，收收敛敛于于设设级级数数、 . 0 11的敛散性相同的敛散性相同与与级数级数时，时，当当说明：说明： nnnnkuuk. 3其其和和一一般般是是改改变变的的但但在在收收敛敛时时，的的敛敛散散性性，不不改改变变级级数数项项，增增加加或或改改变变级级数数的的有有限限去去掉掉、. , 4且且其其和和不不变变级级数数仍仍收

3、收敛敛收收敛敛级级数数加加括括弧弧后后所所得得、. 级级数数未未必必收收敛敛收收敛敛级级数数去去括括弧弧后后所所得得说说明明：. 则则原原级级数数发发散散发发散散，若若加加括括弧弧后后所所得得的的级级数数推推论论：级级数数收收敛敛的的必必要要条条件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu则则收收敛敛，设设级级数数必必要要条条件件：、. 0lim 21发散发散则级数则级数，设设推论：推论：、 nnnnuau两两点点说说明明：、 3.0lim)2(1收收敛敛级级数数由由 nnnnuu.(1)断级数发散的方法断级数发散的方法上述推论给出了一个判上述推论给出了一个判有有界界部部分分和和数数列列收收敛

4、敛正正项项级级数数1nnnSu 正项级数的审敛法正项级数的审敛法四、四、 要条件要条件正项级数收敛的充分必正项级数收敛的充分必、 1，且且均均为为正正项项级级数数，和和设设nnnnnnvuvu 11也收敛；也收敛；则则收敛，收敛，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也发散也发散则则发散，发散，若若 nnnnvu比较判别法比较判别法、 2收收敛敛收收敛敛 11nnnnvu发发散散发发散散 11nnnnuv，且且均均为为正正项项级级数数，和和设设lvuvunnnnnnn lim 11敛散性相同；敛散性相同；与与则则时，时，当当 11 0(1)nnnnvul收收敛敛；则则收收敛敛，且且时时，

5、当当 11 0)2(nnnnuvl. )3(11发发散散则则发发散散，且且时时，当当 nnnnuvl比较判别法的极限形式比较判别法的极限形式、 3. 级级数数等等比比级级数数或或参参考考级级数数：p收收敛敛；时时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能确确定定其其敛敛散散性性时时，当当 l发散；发散；时，时，或或当当 1 )( 1 )2(nnull)( 4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法比值判别法比值判别法、则则，且且为为正正项项级级数数，设设 lim 11luuunnnnn 收收敛敛；时时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不不能能确确定定其其敛敛散散性性时时，当当 l发散；

6、发散；时，时，或或当当 1 )( 1 )2(nnull根值判别法根值判别法、 5则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 1luunnnnn 的几点说明：的几点说明：关于比值与根值判别法关于比值与根值判别法. )1(不不必必找找参参考考级级数数判判别别法法优优点点：.1 )2(时无法判断其敛散性时无法判断其敛散性当当判别法缺点：判别法缺点： l. 1)3(1 lunn收敛收敛由由. )()4(采用根值判别法简单采用根值判别法简单时，时，当当nnnfu )( 莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法交交错错级级数数收收敛敛判判别别法法五五、，0lim )2( ) 2 1( )1(1 nnnnunuu.

7、 )1(1111 nnnnnuruSu余余项项，且且其其和和收收敛敛，则则:)0()1(11满满足足若若交交错错级级数数 nnnnuu绝绝对对收收敛敛和和条条件件收收敛敛六六、 1 绝绝对对收收敛敛：、. 11绝绝对对收收敛敛则则称称收收敛敛，若若 nnnnuu 2 条条件件收收敛敛：、. 111条条件件收收敛敛则则称称发发散散，但但收收敛敛，若若 nnnnnnuuu绝对收敛的性质绝对收敛的性质、 3. )1(11收敛收敛则则收敛，收敛，若若 nnnnuu. )2(1且且其其和和不不变变的的新新级级数数也也绝绝对对收收敛敛，序序所所得得则则任任意意改改变变其其各各项项的的次次绝绝对对收收敛敛，

8、设设 nnu.)2( 1不不成成立立条条件件收收敛敛时时，性性质质当当说说明明： nnu.)( )( 11100的收敛点的收敛点项级数项级数函数函数为为则称则称收敛，收敛，若数项级数若数项级数收敛点：收敛点：、 nnnnxuxxu.)( )( 21100的的发发散散点点项项级级数数函函数数为为则则称称发发散散，若若数数项项级级数数发发散散点点：、 nnnnxuxxu函数项级数函数项级数七、七、 .)( 41为收敛域为收敛域的全体收敛点的集合称的全体收敛点的集合称收敛域：收敛域：、 nnxu.)( 51为发散域为发散域的全体发散点的集合称的全体发散点的集合称发散域：发散域：、 nnxu).()(

9、 61xSxunn的的和和为为函函数数在在收收敛敛域域上上，和和函函数数：、 ).()(lim xSxSnn 有有在收敛域上，在收敛域上，幂幂级级数数及及其其收收敛敛半半径径八八、 )( 1阿阿贝贝尔尔定定理理幂幂级级数数的的敛敛散散性性、.0 nnnxa设有幂级数设有幂级数. )0()1(00000绝绝对对收收敛敛时时则则当当收收敛敛，若若 nnnnnnxaxxxxa. )2(0101发发散散时时则则当当发发散散，若若 nnnnnnxaxxxa幂级数收敛半径求法幂级数收敛半径求法、 2则则，且且，设有幂级数设有幂级数 lim 10 nnnnnnaaxa；时，时，当当 1 0)1( R；时时，

10、当当 R 0)2( . 0 )3( R时时，当当 . min 21RRR，令令 ，和和的的收收敛敛半半径径分分别别为为和和设设2100RRxbxannnnnn 幂级数的运算幂级数的运算九、九、 代数运算代数运算、 1， 000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa). (RRx， )(1 加减法：加减法：， 0000)()()(nnnkknknnnnnnxbaxbxa). (RRx， )2(乘法：乘法： 00nxnndxxa.110 nnnxna xnnnxdxxadxxS000)()(即即.) ()()1(单侧连续单侧连续内连续且在端点收敛时内连续且在端点收敛时，在在RRxS . ) ()(

11、)2(且且可可逐逐项项可可积积内内可可积积，在在区区间间RRxS 分析运算分析运算和函数和函数、)( 2xS 00nxnndxxa.110 nnnxna xnnnxdxxadxxS000)()(即即.) ()()1(单侧连续单侧连续内连续且在端点收敛时内连续且在端点收敛时，在在RRxS . ) ()()2(且且可可逐逐项项可可积积内内可可积积，在在区区间间RRxS .)3( )2()( 可可求求幂幂级级数数的的和和函函数数、的的性性质质利利用用说说明明：xS分析运算分析运算和函数和函数、)( 2xS. R为为即即所所得得级级数数的的收收敛敛半半径径且且收收敛敛半半径径不不变变， 0)(nnnx

12、a.11 nnnxna 0)()(nnnxaxS即即. ) ()()3(且且可可逐逐项项求求导导内内可可导导，在在RRxS . R为为即即所所得得级级数数的的收收敛敛半半径径且且收收敛敛半半径径不不变变，.11)1( 01xxnnn 或或，xxnn 110 这时还需利用：这时还需利用：泰勒级数泰勒级数十、十、 .)( )()( )( 10000能展开成幂级数能展开成幂级数则称则称，使使，若存在幂级数若存在幂级数函数能展开成幂级数：函数能展开成幂级数：、xfxxaxfxxannnnnn 0)(lim)(!)()() ( ),()()1(000)(00 xRxxnxfxfxUxUxfnnnnn内内

13、，则则在在内内存存在在任任意意阶阶导导数数，在在设设 .)()!1()()(10)1( nnnxxnfxR 其其中中条件条件函数能开展成幂级数的函数能开展成幂级数的、 2即即为为泰泰勒勒级级数数，处处能能展展开开在在点点则则，有有，使使，若若存存在在内内存存在在任任意意阶阶导导数数，在在设设 )( )( ),(0 ),()()2(0)(00 xxfMxfxUxMxUxfn .)(!)()(000)(nnnxxnxfxf 几个常见函数的展开式几个常见函数的展开式、 3). ( !1! 211)1(02 ， xxnxxennx). ( )!12()1(! 31sin)2(1203 ， xxnxxx

14、nnn). ( )!2()1(! 41! 211cos(3)0242 ， xxnxxxnnn，nnnxnxxxx 1132)1(3121)1ln()4().1 1()1(111)5(032， xxxxxxnnn.1 1(， x. 的的展展开开式式求求函函数数见见函函数数的的展展开开式式得得到到所所逐逐项项积积分分等等方方法法利利用用常常逐逐项项求求导导、代代数数运运算算、通通过过变变量量代代换换、 4 间接展开法：间接展开法：、EX4(2) P177、的和的和求级数求级数 1)2(1nnn)2(1531421311 nnSn解解：)21151314121311(21 nn)2111211(21

15、 nn，43lim nnS.43)2(11 nnn故故.)1(1发散发散证明级数证明级数 nnnnnnnnnnn)11(1lim)1(lim 证：证：e1 . 0 .)1(1发散发散级数级数 nnnnEX5(3) P177、EX1(2) P188、.2sin1的的敛敛散散性性判判断断级级数数 nn 22sin ，解：解：nn ，收收敛敛又又级级数数 12nn .2sin1收敛收敛级数级数 nn EX2(2) P188、.312的敛散性的敛散性判断级数判断级数 nnnnnnnnnnnuul3/3/)1(limlim 2121 解解：22312limnnnn 31 ，1 EX2(6) P188、.

16、3)1(12的的敛敛散散性性判判断断级级数数 nnnnn3)11(limlim nnnnnuln 解解：3e .3)1(12收收敛敛级级数数 nnnnn，1 .312收敛收敛级数级数 nnnEX1(4) P194、.ln)1(11的的敛敛散散性性判判断断级级数数 nnnn，令令解解：xxxfln)( .ln1)(2xxxf 则则，时时，当当0)( xfex单调减少，单调减少，)(xf.ln1)1ln( 3nnnnn 有有时时，故故当当11limlnlim xxxxx 又又，0 . 0lnlim nnn所所以以.ln)1(11收收敛敛故故级级数数 nnnnEX2(8) P194、. sin)1(

17、1收收敛敛还还是是条条件件收收敛敛是是绝绝对对若若收收敛敛，是是否否收收敛敛？判判断断级级数数 nnnn 1sin)1( ，解：解：nnnn ，收收敛敛又又级级数数 1)1(n 收敛，收敛，故级数故级数 1sin)1(nnnn .且是绝对收敛且是绝对收敛.)11( )1( 111的敛散性的敛散性判别判别发散，发散，单减，单减，设正项数列设正项数列、例例 nnnnnnnaaa单单减减且且有有下下界界，因因为为正正项项数数列列解解： na存在，存在，故故nna lim发散，发散，又又nnna 1)1(，所以所以0 a，记记aann lim. 0 a故故aalnnnn 11)11(lim，1 1.)

18、11( nnna收敛收敛故故.)!2() !() ! 2() ! 1( 21222 nnn的敛散性的敛散性判断级数判断级数、例例，解：解：)!2() !()!2() !() ! 2() ! 1( 2222nnnnn ，对级数对级数 12)!2() !(nnnn)!2() !()!1(2)!1)(1(lim22nnnnnnln )22)(12()1(lim3 nnnnn41 .)!2() !() ! 2() ! 1(1222 nnn收敛收敛故故，1 ，收收敛敛 12)!2() !(nnnn. 3111收收敛敛证证明明级级数数收收敛敛，、设设正正项项级级数数、例例 nnnnnnnvuvu收敛，收敛

19、，证明：证明： 1 nnu. 0lim nnunnnuu2lim ，0lim nnu .12收收敛敛故故 nnu.12收收敛敛同同理理 nnv，又又2 22nnnnvuvu .1收收敛敛故故 nnnvu. 4112收收敛敛证证明明级级数数收收敛敛，设设级级数数、例例 nnnnnuu，证：证：21 22nununn 收敛，收敛，又又 121 nn收敛，收敛， 1 nnnu.1收敛收敛故故 nnnu. 51收收敛敛域域求求幂幂级级数数、例例 nnnxnennnaa1lim 解解1lim nenn.1 eR nenennn1lim1 ，e ，级数为级数为时，时，当当 )1( 11 nnnex，级级数

20、数为为时时，当当 1 11 nnex).e1 1 ，故故收收敛敛域域为为e .该级数收敛该级数收敛.该级数发散该级数发散.1431)( 6的的幂幂级级数数展展开开为为将将、例例 xxxf)1(471)( xxf解解：，)1(741171 x，又又)1 1( )1(11 0 xxxnnn)1 1()1(74 )1(74)1(71)(0， xxxfnnn).411 43( )1(7)4(01， xxnnnn 12232)2( 1(1). 1nnnnnn，判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性、， 12(3)1 nnn).0(21)4(1 aann.)1(1 411的的和和的的和和函函数数，并并求

21、求求求幂幂级级数数、 nnnnnxn.)2(1 31的的收收敛敛域域求求、 nnxn.41 21的的收收敛敛半半径径及及收收敛敛域域求求幂幂级级数数、 nnnxn若若收收敛敛求求其其和和的的敛敛散散性性，判判断断，求求，的的部部分分和和设设级级数数、 )2( )1( 313 5111 nnnnnnnnuuSu，因因为为解解：nnn11 )1(3 发发散散，又又 21 nn.1 23发散发散所以所以 nnnnnnuul1lim (2) 因为因为nnnnn22)1(lim212 222)1(limnnn 21 ，1 .2 22收收敛敛所所以以 nnn 12232)2( 1(1). 1nnnnnn，

22、判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性、， 12(3)1 nnn).0(21)4(1 aann2112lim (3) nnn解解：，0 .12 1发发散散级级数数 nnn 12232)2( 1(1). 1nnnnnn，判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性、， 12(3)1 nnn).0(21)4(1 aann，有有时时，当当nnaaa)1(21 1 )4( 收收敛敛，又又 1)1(nna.211收收敛敛所所以以 nna2121lim 10 nnaa时时，当当，0 .211发发散散所所以以 nna3121lim 1 nnaa时时，当当，0 .211发发散散所所以以 nna级级数数收收敛敛；时时，故故当当 1 a. 10级数发散级数发散时，时，故当故当 annnaa1li