二阶线性微分方程

1、一一. 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程一般形式一般形式:) 1 (, 0 qyypyp,q为常数为常数第五节第五节 高阶常系数线性微分方程高阶常系数线性微分方程分析分析由方程特点可看出由方程特点可看出:为同一类型函数为同一类型函数,yyy ,之间相差常数因子之间相差常数因子.因此假设因此假设rxey rxey 将将 代入代入(1)得得:,0)(2rxeqprr)2(, 02qprr当当 满足满足(2)时时, 是是(1)的一个特解的一个特解.rrxe特征方程特征方程特征根特征根根据特征根的三种不同情形根据特征根的三种不同情形,方程方程(1)的通解有三种情形的通解有三种情形.

2、0 u0)()2(1211 uqprrupru21rr 1. 特征根为相异实根特征根为相异实根 :xrxreyey2121,是是(1)的两个线性无关的特解的两个线性无关的特解,xrxreCeCy2121则则(1)的通解为的通解为21rr 2. 特征根为二重根特征根为二重根 :xrey11是是(1)的一个特解的一个特解, 求另一个线性无关的特解求另一个线性无关的特解.xrexuy1)(2设设 代入方程代入方程(1):取取, xu xrxey12得到另一个线性无关的特解得到另一个线性无关的特解xrxrxrexCCxeCeCy111)(2121则则(1)的通解为的通解为线性无关特解线性无关特解)0(

3、,21irir3. 特征根为共轭复根特征根为共轭复根:xixieyey)(2)(1,是是(1)的两个特解的两个特解,)sin(cos)(1xixeeyxxi)sin(cos)(2xixeeyxxixeyyyxcos)(21211xeyyiyxsin)(21212)sincos(21xCxCeyx则则(1)的通解为的通解为例例1:023 yyy, 0232 rr, 2, 121rr则通解为则通解为xxeCeCy221例例2: 2|, 4| , 0200 xxyyyyy, 0122 rr, 121 rr则通解为则通解为xexCCy)(2144|10CyxxexCCCy)(21222|20Cyx则特

4、解为则特解为xexy)24(例例3:032 yyy, 0322 rr,212, 1ir则通解为则通解为)2sin2cos(21xCxCeyx)3(, 0)2(2)1(1)( ypypypynnnn02211 nnnnprprpr注注:上述解法可推广到上述解法可推广到 n 阶常系数线性奇次方程阶常系数线性奇次方程:特征方程特征方程例例3:0)3()4()5( yyyy, 02345rrrr, 1 ,0 ,0iir则通解为则通解为xCxCeCxCCyxsincos54321二二. 二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程一般形式一般形式:)4(),(xfqyypy yYy由解的结构

5、可知由解的结构可知, (4)的通解是的通解是:故只要求出故只要求出(4)的一个特解的一个特解 即可即可. y待定系数法待定系数法p, q为常数。为常数。xexQy)(* 是非齐是非齐次方程次方程(4)的特解，的特解，Q(x)为待定多项式，将为待定多项式，将 因为多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式因为多项式与指数函数乘积的导数仍然是多项式与指数函数的乘积与指数函数的乘积, 不妨设不妨设 xexQy)(*)()(*xQxQeyx)()(2)(2*xQxQxQeyx 代入代入(4)式，并消去式，并消去ex 整理后，得整理后，得 )()()()()2(2xPxQqpxQpQm (5) 1. ，其中

6、，其中是常数，是常数， 是是x的一的一个个m次多项式；次多项式； xmexPxf)()( )mP x代入代入 (5) 式，比较等式两端式，比较等式两端 x 同次幂的系数，同次幂的系数， 就可确定就可确定 b0, b1, , bm 值值. .如果如果不是特征方程不是特征方程 r2+pr+q=0 的根，的根， 即即 2+p+q 0，那么由那么由(5)式可以看出式可以看出Q(x)必须是必须是m次多项式次多项式, ,令令 Qm(x)=b0 xm+b1xm-1+bm-1x+bm从而所求特解为从而所求特解为: : y*= Qm(x)ex如果如果是特征方程是特征方程r2+pr+q=0单根，即单根，即 20,

7、pq 02 p由由(5)式可以看出式可以看出Q(x)必须是必须是m次多项式，次多项式，Q(x)是是m+1次多项式，令次多项式，令可用同样方法确定系数可用同样方法确定系数 mbbb,10从而所求特解为从而所求特解为xmexxQy)(*( )( )mQ xxQx1011()mmmmx b xb xbxb如果如果是特征方程重根，即是特征方程重根，即 20,pq02 p分析分析(5)式两边可知，式两边可知，Q(x)应是应是m次多项式，次多项式，Q(x)是是m+2次多项式，即可设次多项式，即可设xmexQxy)(2*综上所述，我们将结果列于下表综上所述，我们将结果列于下表:(2) sin)(cos)()

8、(xxPxxPexfnlx型型 令令m=max(l, n),由欧拉公式由欧拉公式 ( )易知易知cossinixex ixxexRxexRxmxmsin)(,cos)(分别为分别为 的实部与虚部，其中的实部与虚部，其中Rm(x)为为x的的m次次多项式多项式.ximexR)()(其中其中 分别是分别是x的的l次、次、n次多项式次多项式.( ),( )lnP x P x 是是m次多项式，次多项式，m=maxl, n, 而而k按按 )不是特征方程的根或是特征不是特征方程的根或是特征方程的单根分别取为方程的单根分别取为0或或1 .ii(1)(2)( ),( )mmRx Rx(或或 类似于情形类似于情形

9、(1)中的讨论中的讨论. 可推得如下结论可推得如下结论: 方程方程 sin)(cos)(xxPxxPeqyypynlx 具有形如具有形如sin)(cos)()2()1(*xxRxxRexymmxk的特解，其中的特解，其中: 例例4 求求: xeyyy22 的通解的通解 . 解解: 方程对应的齐次线性方程的特征方程为方程对应的齐次线性方程的特征方程为: 0122 rr即即0) 1)(12(rr特征根特征根21, 121rr所以对应齐次方程的通解为所以对应齐次方程的通解为:2/21xxeCeCy自由项自由项2)(,2)(xPexfx是零次多项式是零次多项式 ，=1不是特征方程根不是特征方程根 .则

10、则 y*=Aex，y*=Aex代入原方程，得代入原方程，得:xxxxeAeAeAe22即即 2A=2比较两端比较两端x同次幂系数同次幂系数, 得得:A=1,所以特解为所以特解为:xey *所求通解所求通解为为:xxxeeCeCy2/21在在 xk中取中取 k=0，于是设特解，于是设特解 y*=Aex 例例5 求微分方程求微分方程 1332 xyyy的通解的通解 . 解解: 方程所对应的齐次方程为方程所对应的齐次方程为: 032 yyy它的特征方程为它的特征方程为:0322 rr解得解得:, 1, 321rr对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为:xxeCeCy231由于由于=0不是特征方程根

11、，所以设特解不是特征方程根，所以设特解10*bxby代入方程，得代入方程，得:13323100 xbbxb比较两端比较两端x同次幂系数，得同次幂系数，得:033,b13210bb由此求得由此求得 :31, 110bb因而得一个特解为因而得一个特解为: 31*xy故所求通解为故所求通解为:31231xeCeCyxx例例6 求求: xxyycos4 的通解的通解. 解得解得: r=2i . 齐次方程通解为齐次方程通解为:xCxCy2sin2cos21xdcxxbaxysin)(cos)(*计算计算y*, y*代入原方程，得代入原方程，得解解: 对应的齐次方程为对应的齐次方程为y+4y=0, 特征方

12、程为特征方程为:240r +i=+i不是特征方程根，不是特征方程根， , 故设故设1( )p xx2 sin()cos2 cossinsinaxax bxcx cxx dx4()cos4()sincosaxbxcxdxxx比较同类项系数得比较同类项系数得,92, 0, 0,31dcba所以所以 xxxysin92cos31*所求通解为所求通解为:xxxxCxCysin92cos312sin2cos21 例例7. 求求 xxeyyxcos4 的通解的通解.解解: 由例由例6知其对应齐次方程的通解为知其对应齐次方程的通解为:xCxCy2sin2cos21下面分别求二个非齐次方程的特解：下面分别求二

13、个非齐次方程的特解： xeyy 4 xxyycos4 对于对于，因为，因为r=1不是特征根，所以设特解不是特征根，所以设特解xAey *1由待定系数法知由待定系数法知51A故故xey51*1对于对于，由上例知，由上例知xxxysin92cos31*2故原方程的特解为故原方程的特解为xxxeyyyxsin92cos3151*2*1*所求通解为所求通解为xxxexCxCyxsin92cos31512sin2cos21 例例8 一质量为一质量为m的质点由静止开始沉入液体，当下的质点由静止开始沉入液体，当下沉时，液体的反作用力与下沉的速度成正比，求此沉时，液体的反作用力与下沉的速度成正比，求此质点运动

14、的规律质点运动的规律.解解 :设当时刻为设当时刻为t 时，物体在水面下时，物体在水面下s 处处(如图如图7.3.1), dtdskmgF图图7.3.1. 由牛顿第二定律，由牛顿第二定律，F=ma，得运动微分方程为：得运动微分方程为：,22dtdskmgdtsdm故所受作用力合力为：故所受作用力合力为： 即即gdtdsmkdtsd22初值条件为初值条件为, 0|0ts00tdtds此方程为二阶常系数非齐次方程此方程为二阶常系数非齐次方程. 其对应的齐次其对应的齐次微分方程的特征方程为：微分方程的特征方程为：02rmkr解得解得0,21rmkr原方程的右端为零次多项式，但原方程的右端为零次多项式，

15、但=0是特征根是特征根.可设可设非齐次的特解非齐次的特解S*为为S*=At ,其中其中A为待定常数，将为待定常数，将S*=A, S*=0代入原方程，易代入原方程，易求得：求得：gAmk所以所以,kmgA tkmgs*因此通解为因此通解为tkmgCeCStmk21解得解得,01kmgCmk212,mCgkgkmC222故质点运动规律为：故质点运动规律为：)1 (22tmkekgmtkmgs由初始条件由初始条件 S(0)=0, S(0)=0, 得得120,CC例例9: 求求 的一个特解的一个特解. xeyyyxcos22 由于由于 是特征根是特征根,ii1)sincos(xbxaxeyx则设则设将

16、将 代入方程得代入方程得:yxxaxbcos)sincos(221, 0baxexyxsin2则一个特解为则一个特解为, 0222 rr,12, 1ir例例10: 求求 的通解的通解. xxyy2sin4 , 042r则对应的齐次方程的通解为则对应的齐次方程的通解为xCxCY2sin2cos21,22, 1ir由于由于 是特征根是特征根,ii22sin)(2cos)(xdcxxbaxxy则设则设将将 代入方程得代入方程得:yxxxbcaxxdacx2sin2sin)428(2cos)428(xxxxy2sin162cos82则一个特解为则一个特解为042180420bcadac1610081d

17、cba因此通解为因此通解为:xCxCy2sin2cos21xxxx2sin162cos82题型解析题型解析通通解解求求xeyyxyx36)1 (241. ，则则解：令解：令uyuxuuyxyuxdd21dddddd,，uyuuyuxuxyuxydd41dd41dddddddd322222.e51ee3u2u231uCCyu其通解为：其通解为：，代入原方程可得：代入原方程可得：uyuyuy322e6dddd.e51ee32231xxxxCCyxu带回，得：带回，得：将将,e)(2)( 3)( :2xxxxxxQyP得得解解：由由)(,)( ,)()(2)(3 . 22xxdyxydxxexxLx

18、求求有有连连续续二二阶阶导导数数其其中中与与路路径径无无关关设设. 2 , 1:21rr程程的的特特征征根根为为其其所所对对应应的的齐齐次次微微分分方方非非齐齐次次微微分分方方程程，该该微微分分方方程程为为二二阶阶线线性性.ee)(:221xxCCx的的通通解解为为从从而而对对应应齐齐次次微微分分方方程程. 1,21:,e)()(*2babaxxxx解解得得设设一一个个特特解解为为.e) 12(ee)(2221xxxxxCCx故故微微分分方方程程的的通通解解为为：的的特特解解满满足足求求0)0()0(2sin4.3 yyxexyyx, 012r的的特特征征方方程程为为：解解：对对应应齐齐次次微

19、微分分方方程程,2, 1ir解解得得特特征征根根为为：.sincos21xCxCY为为：故故对对应应齐齐次次方方程程的的通通解解),sincos(*1xBxAxy解解为为：设设非非齐齐次次方方程程的的一一个个特特，则则xAxBxBxAycos)2(sin)2(* 1,sin4cos2sin2sin4 xxBxAxyy，并并整整理理得得：代代入入微微分分方方程程,020242BABA;cos2*1xxy：即即此此微微分分方方程程的的特特解解为为,e)(*2xDCxy一一个个特特解解为为：设设非非齐齐次次微微分分方方程程的的另另xxye ) 1(*2：即即此此微微分分方方程程的的特特解解为为，并并整整理理得得：代代入