(完整版)高中物理天体运动多星问题

1、双星模型、三星模型、四星模型天体物理中的双星， 三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用 遵循万有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、 三星系统的等效质量的计算， 运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的。 双 星系统的引力作用遵循牛顿第三定律： F F ，作用力的方向在双星间的连线上，角速度 相等，【例题 1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系 统在银河系中很普遍。 利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均

2、为T，两颗恒星之间的距离为 r ，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为 r 1、r 2，角速度分别为 1、 2 。根据题意有12r1 r2 r根据万有引力定律和牛顿定律，有Gm1m2 2 m1w12r1 r2m1m22G 2m1 w2 r1r联立以上各式解得m2rr12m1 m2根据解速度与周期的关系知123 2r T2G联立式解得m1 m2【例题 2】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX3 双星系统，它由可见星 A

3、和不可见的暗星 B 构成，两 星视为质点，不考虑其他天体的影响 .A、 B 围绕两者连线上的 O 点做匀速 圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图 4-2 所示 .引力常量为 G，由观 测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T.(1) 可见星 A所受暗星 B的引力 Fa可等效为位于 O点处质量为 m的星体(视为质点 )对它的引 力，设 A 和 B 的质量分别为 m1、m2，试求 m用( m1、 m2表示 ).(2) 求暗星 B 的质量 m2与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m1之间的关系式；(3) 恒星演化到末期， 如果其质量大于太阳质量 ms的 2倍，它将有可能成为黑洞

4、 .若可见星 A 的速率 v=2.7 ×105 m/s，运行周期 T=4.7 ×4 1s0，质量 m1=6ms，试通过估算来判断暗星 B 有 可能是黑洞吗？(G=6.67×10-11 N ·m2/kg 2， ms=2.0 ×1030 kg)解析：设 A、B 的圆轨道半径分别为由题意知， A、B 做匀速圆周运动的角速度相同，设其为 。由牛顿运动定律，有 FAm12r1，FB m2 r2 ， FA FB设 A、 B 间距离为 ，则 r r1由以上各式解得 r m1 m2m2由万有引力定律，有 FA G m1m2 2r2，代入 得 FA3 m1m2G

5、(m1 m2)2r12m1m令 FA G 12 ，通过比较得 mr123 m2(m1 m2 )22)由牛顿第二定律，有m1m2G2r2vm1r1而可见星 A 的轨道半径 r1vT2将 代入上式解得3 m2(m1 m2 )2v3T2G3)将 m1 6ms 代入上式得(6ms3m22m2)2v3T2G3 m2设 m2 nms(n 0) ，将其代入上式得m23(6ms m2nms 3.5ms62(1)2n代入数据得 2 2 3.5ms(6ms m2)2(6msm23m2n(6nnms 3.5ms1)2可见，3 m2(6ms2m2)的值随 的增大而增大，试令 n 2 ，得0.125ms 3.4msnm

6、s6 2 s(1)2n可见，若使以上等式成立，则必大于 2，即暗星 B 的质量 ms 必大于 2ms ，由此可得出结论：暗星 B 有可能是黑洞。【例题 3】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距 始终保持不变， 并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动， 设双星间距为 L，质量分别为 M1、 M2，试计算（ 1）双星的轨道半径（ 2）双星运动的周期。15.解析：双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动，即：M 1M 2L2M1 2L1 M 2 2 L2 .L1 L2 L由以上两式可得：L1M2L， L2M2 LM1 M 2 M1 M 2又由M1M2L2M1T2L1 .得：

7、 TM2)例题 4】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星. 某双星由质量不等的星体S1和 S2C 做匀速圆周运动 . 由构成 , 两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点r1,S1和 S2的距离为 r ,已知引力常量为天文观察测得其运动周期为 T, S1到C点的距离为G. 由此可求出 S2 的质量为A. 42r 2(r r1)A. GT 2234 r1B.21GT 2C.42r3GT2224 r r1D. 2 1GT 2答案 ： D解析 双星的运动周期是一样的 ,选 S1为研究对象 , 根据牛顿第二定律和万有引力定律得Gm1m24212 2 m1r1 42 , 则r2T 242r2

8、rm2=4 r r1 . 故正确选项 D 正确 . GT 2例题 5】如右图， 质量分别为m和M 的两个星球 A和B在引力作用下都绕 O点做匀速周运动，星球 A 和 B 两者中心之间距离为L。已知A 、 B 的中心和 O 三点始终共线， A 和 B 分别在 O 的两侧。引力常数为G。 求两星球做圆周运动的周期。 在地月系统中， 若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A 和 B ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处T2。已知地球和月球的质量分别为理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期 5.98 ×1024kg 和 7.35 1

9、5;022kg 。求 T2与 T 1两者平方之比。(结果保留 3 位小数)答案】 T2 G(ML3 m)G(M m)1.01解析】 A 和B绕 O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则A和B的向心力相等。且 A 和 B 和 O 始终共线，说明A和 B有相同的角速度和周期。因此有m 2r M 2R，r R L ，连立解得对 A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得mMR L ，rm M m MGMm2 2 M2 m( ) LL2T M mL3化简得 T 2G(M m)L3化简得2 GM24 225.98 1024 7.35 10225.98 10241.01将地月看成双星，由得 T1 21

10、 G(M m)将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得GM2m m(2 )2 LL2 T例题 6】【 2012?江西联考】如右图，三个质点 a、b、c 质量分别为 m1、m2、M(M>m1，M> m2)。在 c 的万有引力作用下， a、 b在同一平面内绕 c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，它们的周期之比 Ta Tb=1k；从图示位置开始，在 周的过程中，则 ( )A a、b 距离最近的次数为 k 次b 运动一Ba、b 距离最近的次数为 k+1 次C a、b、c 共线的次数为 2kD a、b、c 共线的次数为 2k-2答案】 D解析】 在 b 转动一周过程中， a、

11、b 距离最远的次数为 k-1 次，a、b距离最近的次数为 k-1次，故 a、b、c 共线的次数为 2k-2 ，选项 D正确。例题 7】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统, 通常可忽略其他星体对它们的引力作用. 已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式一种是三颗星位于同一直线上 , 两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行 ; 另 一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上 , 并沿外接于等边三角形的圆形轨道运 行. 设每个星体的质量均为 m.(1) 试求第一种形式下 , 星体运动的线速度和周期 .(2) 假设两种形式下星体的运动周期相同 , 第二种形式

12、下星体之间的距离应为多少 ?答案 (1)5GmR2R4 R35Gm12(2) (152)3R解析 (1) 对于第一种运动情况 , 以某个运动星体为研究对象 , 根据牛顿第二定律和万有 引力定律有 :F1=Gm2R2F2Gm22(2R)2v2F1+F2=mv / R运动星体的线速度:v5GmR2R周期为 T, 则有 T=2RT=45Gm(2) 设第二种形式星体之间的距离为r , 则三个星体做圆周运动的半径为Rr /2cos30, 由力的合由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供 成和牛顿运动定律有：F 合 =2Gm2cos30F 合=m42T2R所以 r=(12)31R5例题 8】( 2012?湖北百校联考)宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用 . 已观测到稳定的四星系统存在两种基本的构成形式 : 一种是四颗星稳定地分布在边长为 a 的正方形的四个顶点上， 均围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为 ；另一种形式是有三颗星位 于边长为 a 的等边三角形的三个项点上， 并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行， 其运动周 期为 ，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动 . 试求两种形式下，星体运动的周期之比T1T2 .【答案】 T1 =