高中复习专题：数学命题及其关系、充分条件与必要条件

1、1命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系3充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp知识拓展从集合的角度理解充分条件与必要条件若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即Ax|p(x)，Bx|q(

2、x)，则关于充分条件、必要条件又可以叙述为：(1)若AB，则p是q的充分条件；(2)若AB，则p是q的必要条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，则p是q的充分不必要条件；(5)若AB，则p是q的必要不充分条件；(6)若AB且AB，则p是q的既不充分也不必要条件题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)“对顶角相等”是命题()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”(×)(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件()(4)当p是q的充要条件时，也可说成q成立当且仅当p成立()(5)若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的

3、必要不充分条件()题组二教材改编2P8T3下列命题是真命题的是()A矩形的对角线相等B若ab，cd，则acbdC若整数a是素数，则a是奇数D命题“若x20，则x1”的逆否命题答案A3P12T2(2)“x30”是“(x3)(x4)0”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要题组三易错自纠4命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A若x<y，则x2<y2 B若xy，则x2y2C若x>y，则x2>y2 D若xy，则x2y2答案B解析根据原命题和其逆否命题的条件和结论的关系，得命题“若x2>y2，则x>y

4、”的逆否命题是“若xy，则x2y2”5“sin >0”是“是第一象限角”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由sin >0，可得是第一或第二象限角及终边在y轴正半轴上；若是第一象限角，则sin >0，所以“sin >0”是“是第一象限角”的必要不充分条件故选B.6已知集合A，Bx|1<x<m1，xR，若xB成立的一个充分不必要条件是xA，则实数m的取值范围是_答案(2，)解析Ax|1<x<3，xB成立的一个充分不必要条件是xA，AB，m1>3，即m>2.题型一命题及其关系1下列命题是真命

5、题的是()A若，则xyB若x21，则x1C若xy，则D若xy，则x2y2答案A2某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是()A不拥有的人们会幸福 B幸福的人们不都拥有C拥有的人们不幸福 D不拥有的人们不幸福答案D3(2018·青岛调研)下列命题：“若a2<b2，则a<b”的否命题；“全等三角形的面积相等”的逆命题；“若a>1，则ax22axa3>0的解集为R”的逆否命题；“若x(x0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题其中正确的命题是()A B C D答案A解析对于，否命题为“若a2b2，则ab”，为假命题；对于，逆命题为“面积相等的三角形是全

6、等三角形”，为假命题；对于，当a>1时，12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故正确；对于，原命题正确，从而其逆否命题正确，故正确故选A.4设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是_答案若方程x2xm0没有实根，则m0思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时，需注意：对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提(2)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可(3)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题

7、的真假题型二充分必要条件的判定典例 (1)已知等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，则“d0”是“S4S62S5”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析方法一数列an是公差为d的等差数列，S44a16d，S55a110d，S66a115d，S4S610a121d,2S510a120d.若d0，则21d20d,10a121d10a120d，即S4S62S5.若S4S62S5，则10a121d10a120d，即21d20d，d0.“d0”是“S4S62S5”的充要条件故选C.方法二S4S62S5S4S4a5a62(S4a5)a6a5a5da5d0，“

8、d0”是“S4S62S5”的充要条件故选C.(2)已知条件p：x>1或x<3，条件q：5x6>x2，则綈p是綈q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析由5x6>x2，得2<x<3，即q：2<x<3.所以qp，pq，所以綈p綈q，綈q綈p，所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.思维升华 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题(3)等价转化法：根据一个

9、命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题跟踪训练 (1)(2017·赣中南五校联考)已知，均为第一象限角，那么“”是“sin sin ”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案D解析取，成立，而sin sin ，sin >sin 不成立充分性不成立；取，sin sin ，但，必要性不成立故“”是“sin sin ”的既不充分也不必要条件(2)设向量a(sin 2，cos )，b(cos ，1)，则“ab”是“tan 成立”的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案必要不充分解

10、析absin 2cos2cos 0或2sin cos cos 0或tan ，所以“ab”是“tan 成立”的必要不充分条件题型三充分必要条件的应用典例 已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m若xP是xS的必要条件，求m的取值范围解由x28x200，得2x10，Px|2x10由xP是xS的必要条件，知SP.则当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,3引申探究若本例条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件解若xP是xS的充要条件，则PS，方程组无解，即不存在实数m，使xP是xS的充要条件思维升华 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上解题时需注

11、意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解(2)要注意区间端点值的检验跟踪训练 (1)设p：|2x1|<m(m>0)；q：>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为_答案(0,2解析由|2x1|<m(m>0)，得m<2x1<m，<x<.由>0，得x<或x>1.p是q的充分不必要条件，又m>0，0<m2.(2)设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_.答案3或4解析由164n0，得n4，又nN*，则n1,2

12、,3,4.当n1,2时，方程没有整数根；当n3时，方程有整数根1,3，当n4时，方程有整数根2.综上可知，n3或4.等价转化思想在充要条件中的应用典例 已知p：2，q：x22x1m20(m0)，綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_思想方法指导等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题本题中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化解析綈p是綈q的必要不充分条件，q是p的必要不充分条件即p是q的充分不必要条件，由x22x1m20(m0)，得1mx1m(m0)q对应的集合为x|1mx1m，m0设Mx|1mx1m，m0又由2，得2x10，p

13、对应的集合为x|2x10设Nx|2x10由p是q的充分不必要条件知，NM，或解得m9.实数m的取值范围为9，)答案9，)1命题“若函数f(x)exmx在0，)上是减函数，则m>1”的否命题是()A若函数f(x)exmx在0，)上不是减函数，则m1B若函数f(x)exmx在0，)上是减函数，则m1C若m>1，则函数f(x)exmx在0，)上是减函数D若m1，则函数f(x)exmx在0，)上不是减函数答案A解析“若p，则q”形式的命题的否命题是对条件和结论同时否定，故选A.2命题“若a3，则a6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案B解析原命题

14、正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a6，则a3”是假命题，从而其否命题也是假命题因此4个命题中有2个假命题3“(2x1)x0”是“x0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案B4已知命题p：若a<1，则a2<1，则下列说法正确的是()A命题p是真命题B命题p的逆命题是真命题C命题p的否命题是“若a<1，则a21”D命题p的逆否命题是“若a21，则a<1”答案B解析若a2，则(2)2>1，命题p为假命题，A不正确；命题p的逆命题是“若a2<1，则a<1”，为真命题，B正确；命题p的否命题是“若a1，则a21”，

15、C不正确；命题p的逆否命题是“若a21，则a1”，D不正确故选B.5“x1”是“”的()A充要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件答案B解析由x1，得x23，即，即x21，得x1，故“x1”是“”成立的充分不必要条件故选B.6(2017·北京海淀区一模)若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“aln a>bln b”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析设f(x)xln x，显然f(x)在(0，)上单调递增，a>b，f(a)>f(b)，aln a>bln b，故充

16、分性成立；aln a>bln b，f(a)>f(b)，a>b，故必要性成立，故“a>b”是“aln a>bln b”的充要条件，故选C.7已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.8(2017·江西红色七校二模)在ABC中，角A，B均为锐角，则“cos A>sin B”是“ABC为钝角三角形”的()A充分不必要条件 B必

17、要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析因为cos A>sin B，所以cos A>cos，因为角A，B均为锐角，所以B为锐角，又因为余弦函数ycos x在(0，)上单调递减，所以A<B，所以AB<，在ABC中，ABC，所以C>，所以ABC为钝角三角形；若ABC为钝角三角形，角A，B均为锐角，则C>，所以AB<，所以A<B，所以cos A>cos，即cos A>sin B.故“cos A>sin B”是“ABC为钝角三角形”的充要条件9“若ab，则ac2bc2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的

18、个数是_答案2解析其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题10设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足xy>2，则p是q的_条件(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析当x>1，y>1时，xy>2一定成立，即pq，当xy>2时，可令x1，y4，即qp，故p是q的充分不必要条件11已知命题p：axa1，命题q：x24x0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是_答案(0,3)解析令Mx|axa1，Nx|x24x0x|0x4p是q的充分不必要条件，MN，解得0a3.12有下列几个命题：“若ab，则a2b2”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2x2”的逆否命题其中真命题的序号是_答案解析原命题的否命题为“若ab，则a2b2”，错误；原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，正确；原命题的逆否命题为“若x2或x2，则x24”，正确13已知p：函数f(x)|xa|在(，1)上是单调函数，q：函数g(x)lo