数学教育视野

1、数学教育研究起源数学教育研究起源 数学教育受到广泛的关注“新数学运动”的强大影响； （英国工程师培利、布尔巴基学派）3 学习心理学的促进； （皮亚杰）4 数学教育理论研究的发展； （克莱因、弗赖登塔尔、波利亚） 相关话题相关话题 数学和数学教育的特征 现代数学思想对中学数学教育的影响 社会文化的发展与数学教育的演变 东亚考试文化与数学教育 数学教学研究数学是什么？数学是什么？数学的通常定义: 字面解释“数学”是数的学问 数学是量的科学（亚里士德） 数学是关于现实社会的空间形式和数量关系的科学（恩格斯）（抽象结构、形式体系和一般关系）数学的归属数学的归属 数学不属于传统学科分类中自然科学或社会科

2、学中的任何一类。自然科学研究自然界的物质形态、结构、性质和运动规律的科学。 大不列颠百科全书将人类文化知识分为六类：逻辑学、数学、科学、历史、人文科学和哲学。数学是独立的、非常特殊的一门科学。 数学不属于文科也不属于理科。数学的解释数学的解释 数学是工具数学是研究自然的工具 数学是思维数学是一种思维方式 数学是艺术可看作人类一种思维的自由创造，一种发明 数学是语言数学是一种通用语言 数学是猜测数学研究的方式 数学是文化“每一种文化都有自己的数学”数学的特点数学的特点抽象性反思：强调的必要性是什么?严谨性“严谨的形式逻辑演绎体系”反思：数学哲学家拉卡托斯证明与反驳的交互过程，数学从来不是严谨的。

3、广泛应用性反思：能被多少人感觉到? 数学对象的特点数学对象的特点自然科学研究对象自然界的具体运动形态。 数学研究对象形式化形式化了的思想思想材料，不和某种物质运动形态相联系 人对自然界的概括和认识人对自然界的概括和认识摒弃一切现实内容成为纯粹的形式，布尔巴基派称之为摒弃一切现实内容成为纯粹的形式，布尔巴基派称之为“结构结构” 思想材料的形式化抽象思想材料的形式化抽象数学思维的特点数学思维的特点宏观 数学思维乃是生动活泼的策略创造微观 数学思维进行严谨的逻辑演绎。策略创造是主导（策略创造是主导（70%70%）逻辑演绎是基础（逻辑演绎是基础（30%30%）策略创造与逻辑演绎的结合策略创造与逻辑演绎

4、的结合数学知识的特点数学知识的特点 数学的真理如何被其它学科所使用？ 数学之所以重要，就在于它是精确简约通用的科学语言。通用精确简约的科学语言通用精确简约的科学语言数学美学的教学思考数学美学的教学思考境界一：美观 1/2+ 1/3 = 2/5 ？ （和谐的天性）境界二：美好 二次方程求根公式（ 丑陋但美好）境界三：美妙辅助线，代换，变形，妙！（对人的冲击）境界四：完美数学的体系，数学的发展！（ 人类的数学追求）参考：数学教育学报2004年第一期 张奠宙数学教学的特点数学教学的特点 现实材料模型化 解题过程的机巧性和程式化 简约的数学语言表达丰富的数学思想 数学教学的原则数学教学的原则 现实背景

5、与形式模型相统一的原则 解题机巧与程序训练相结合的原则 学生年龄特点与数学语言表达相适应的原则 现代数学思想对中学数学教育的影响现代数学思想对中学数学教育的影响 二十世纪数学发展史二十世纪数学发展史 一次世界大战以前（一次世界大战以前（1900-1916） 代表人物：希尔伯特（Hilbert 1867-1943 德国）在1900年国际数学家大会提出的23个数学问题， 几何基础 罗素（Russell）数理逻辑 闵可夫斯基（Minkowski）四维时空几何 韦尔（HWeyl）李群、黎曼面、数论等 康托（Canter）集合论 豪斯多夫（Hausdorff）点集拓朴学 庞加莱（Poincare）组合拓

6、朴学 勒贝格（Iebesgue）积分论两次大战之间（两次大战之间（1916-1940） 数学中心德国的格廷根 美国的普林顿 转移到格廷根学派格廷根学派 诺特（Noether）抽象代数 （1926年奠定） 冯诺意曼（Von Newmann）算术理论 柯朗（Courant）数学物理方法 韦尔（HWeyl）苏联学派苏联学派 柯尔莫戈洛夫（） 概率论 （1933年） 亚历山大洛夫（） 组合拓朴学与代数拓朴学 索波列夫（）微分方程广义解理论 波兰学派波兰学派 中国数学家中国数学家 巴拿赫（Banach）泛函分析 胡明复、姜立夫、曾炯之、熊庆来、陈建功、苏步青 二次大战开始至苏联卫星上二次大战开始至苏联卫

7、星上天（天（19401957）应用数学发展迅速： 计算机诞（冯诺意曼的计算机设计方案） 控制论、信息论、规划论等相继出现 喷气式飞机诞生 （柯朗的气体动力学） 数理统计学 （费歇尔）理论数学巨大发展：理论数学巨大发展： 结构主义风靡一时 （布尔巴基学派） 同伦论、同调论、范畴论、广义函数论相继问世 微分几何学 （陈省身） 不完备性定理论证 （哥德尔） 60年代至今年代至今信息时代计算机把数学渗入各门学科 （经济数学、生物数学） 参考今日数学及应用（自然辩证法 1994. Vol.10.NO.1） 数学观的变化数学观的变化数学发展的四个高峰数学发展的四个高峰第一高峰：欧氏几何的诞生 古希腊数学文

8、明（公元前300年）第二高峰：微积分的发现和进展（17-18世纪）第三高峰：现代公理化数学的诞生（19世纪- 20世纪中叶）第四高峰：信息时代的数学（20世纪中叶以来）特点： 来源于实际问题。 广泛的实际应用。 与数学以外的科学分支紧密联系。数学技术改变人类社会进程数学技术改变人类社会进程 数学文化：欧几里得、牛顿、冯.诺依曼数学技术直接产生经济效益高清晰度电视的前前后后. 数字化生存. 小波技术. CT、滤波、金融、密码、计算模拟.物理学家Witten获费尔兹奖， 数学家获医学奖、生物学奖、经济学奖 金融数学异军突起数学语言的变化数学语言的变化数学符号的意义数学科学专用的特殊文字，是含义高度

9、概括形体高度浓缩的科学语言，是为了便于记录和阅读，以加速思维进程和高效传播思维的科学书面语言。数学符号的特点 简明性 直观性（图性直观 义性直观 唯义直观）数学语言变化标志康托集合语言的普遍采用 运动观点的深入运动观点的深入 静态静态 动态动态 （方程） （函数） 中学几何容纳了：平移、旋转、反射、轴对称、中心对称等等观念。运动观念的最强表现运动观念的最强表现微积分微积分 向量观点的普及向量观点的普及向量有序的数组 （n维线性空间）传统观念： 向量力 矩阵线性方程组日常生活中随处可见向量、矩阵之类的数量关系结构思想的传播结构思想的传播数学的母结构：代数结构数学的母结构：代数结构 序结构序结构

10、拓朴结构拓朴结构 整数整数 环环 全序全序 X 有理数有理数 域域 全序全序 (r1,r2)=|r1-r2| ）加法保序性：若ab, V c 有 a+cb+c. ）乘正数保序：若ab, co 有 acbc. ）阿基米德性质：若M,Q,0，则 NZ使NM. 实数实数 域域 全序全序 完备距离空间完备距离空间 复数复数 域域 半序半序 (z1,z2)=|z1-z2|复数的半序结构：复数的半序结构： z1(a1,b1), z2=(a2,b2) C，若a1a2，b1b2，记 z1z2 则满足(1) 自反性：zz, zC.(2) 对称性：若z1z2,且z2z1,则z1=z2.但不具可比性：即Z1,z2C

11、.没有Z1Z2,Z1=Z2,Z2Z1三者中有且只有一种成立。 如：集合包含关系、整除关系等 随机数学的兴起随机数学的兴起 确定性数学 随机数学培养起码的随机数学思想意识和必要的决策数学素质。 概率、统计、数理统计 表示数据集中程度的特证数：平均数、中位数、众数例：投资决策例：投资决策 某工程投产成功获利300万元。 方案一：一次中试投产 成功率 0.7 方案二：二次小试，一次中试 成功率 0.8 方案三：二次小试，二次中试 成功率 0.9 一次小试需投资2万元，中试一次需投资36万元，应何决策。 计算机热潮的影响计算机热潮的影响 计算机语言（二进制的引入） 逻辑框图（逻辑关系的描述） 计算数学

12、（算法得到重视） 计算复杂性（计算器进教室） 离散数学的渗入社会文化的发展 与数学教育的演变 中国数学教育的传统中国数学教育的传统 儒家文化背景与数学教育。 考试文化与考据文化 中国“双基”数学教学 “数学匠” 与“数学师” 21世纪初的数学教育改革影响数学教育的文化因素影响数学教育的文化因素 家庭高度期望与管束 善于“心算”的传统 熟能生巧的教育古训 强调背诵的学习理念 重视现世功业的儒家文化 “苦读+科举”的考试文化 回避“原始问题”的考据文化中国的中国的“双基双基”数学教育体数学教育体系系 一个统一的考试 两个基础基础知识， 基本技能 三大能力基本运算能力， 空间想象能力， 逻辑思维能力

13、 四大基本原则 科学性； 量力性；学生积极性； 理论联系实际 五个教学环节复习-导入-讲授-巩固-作业。“与时俱进与时俱进”的数学教育的数学教育 第一代：（1898-1919）长袍马褂中学为体， 西学为用 第二代：（1919-1949）西装/英美式两支粉笔进课堂，一讲到底/精英教育 第三代 （1950-1966）中山装/苏联式少而精/强调理论严谨 第四代 （1978 - 1995）茄克T恤考试第一/奥赛第一 第五代 （1995-）素质教育， 创新教育 9年义务教育/5天工作制/强调能力立意 2000 年前后的中国数学教育年前后的中国数学教育 数学课程改革正热火朝天进行 数学考试改革制度上：3+

14、X ， 增加入学渠道。命题上： 能力立意， 灵活多变。 教学模式形式多样化， 开放式教学 数学题型应用题，阅读题，开放题，情景题，数学作文 信息社会对数学教育的影响信息社会对数学教育的影响国际知名的工业应用数学家波拉克（Henry Pollark）1987年提出工业中对雇员的数学要求是：建立有适当运算的数学问题的能力；处理这些问题的各种技能的知识；了解一个问题的基本数学事实；用数学思想观察日常的或复杂的问题的能力；会提出与问题有关情景征求解答，因为大多数实际问题并无现成答案；具有运用和评价数学的信念。 东亚考试文化与数学教育东亚考试文化与数学教育 严格升学考试制度 金字塔式教育模式 形成考试文化 好的特征 存在缺陷体现公平竞争 测试评估受到限制接受严格训练 教学内容死板/方法单一学生基本素质高 学生负担过重 宜采取的措施宜采取的措施 提高大学入学率 改变评价制度 转变教育思想 改革考试方法我们任重而道