重庆中考复习重庆中考几何题分类汇编

1、word . 重庆中考几何题分类汇编含答案 类型 1 线段的倍分：要证线段倍与半，延长缩短去实验 例 1 如图 Z31，在 ABC 中，ABAC，CM 平分ACB 交 AB 于 M，在 AC 的延长线上截取 CNBM，连接 MN 交 BC 于 P，在 CB 的延长线截取 BQCP，连接 MQ. (1)求证：MQNP； (2)求证：CN2CP. 针对训练： 1如图 Z32，在 ABCD 中，ACBC，点 E、点 F 分别在 AB、BC 上，且满足 ACAECF，连接 CE、AF、EF. (1)假设ABC35，求EAF 的度数； (2)假设 CEEF，求证：CE2EF. word . 2 ，在 A

2、BC 中，ABAC，BAC90，E 为边 AC 任意一点，连接 BE. (1)如图，假设ABE15，O 为 BE 中点，连接 AO，且 AO1，求 BC 的长； (2)如图，F 也为 AC 上一点，且满足 AECF，过 A作 ADBE 交 BE 于点 H，交 BC于点 D，连接 DF交 BE 于点 G，连接 AG.假设 AG平分CAD，求证：AH12AC. 3在 ACB 中，ABAC，BAC90，点 D 是 AC 上一点，连接 BD，过点 A作 AEBD 于 E，交BC 于 F. (1)如图，假设 AB4，CD1，求 AE 的长； (2)如图，点 G是 AE 上一点，连接 CG，假设 BEAE

3、AG，求证：CG 2AE. word . 4在等腰直角三角形 ABC 中，BAC90，ABAC，D 是斜边 BC 的中点，连接 AD. (1)如图，E 是 AC 的中点，连接 DE，将 CDE 沿 CD 翻折到 CDE，连接 AE，当 AD 6时，求AE的值 (2)如图，在 AC 上取一点 E，使得 CE13AC，连接 DE，将 CDE 沿 CD 翻折到 CDE，连接 AE交 BC 于点 F，求证：DFCF. word . 类型 2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验 例 2 如图，在 ABC 中，BAC90，在 BC 上截取 BDBA，连接 AD，在 AD 左侧作EAD45交 BD

4、于 E. (1)假设 AC3，那么 CE_(直接写答案)； (2)如图，M、N 分别为 AB 和 AC 上的点，且 AMAN，连接 EM、DN，假设AMEAND180，求证：DEDNME； (3)如图，过 E 作 EFAE，交 AD 的延长线于 F，在 EC 上选取一点 H，使得 EHBE，连接 FH，在 AC上选取一点 G，使得 AGAB，连接 BG、FG，求证：FHFG. 针对训练： 1如图 Z37，在 ABCD 中，AEBC 于 E，AEAD，EGAB 于 G，延长 GE、DC 交于点 F，连接 AF. (1)假设 BE2EC，AB 13，求 AD 的长； (2)求证：EGBGFC. w

5、ord . 2如图，在正方形 ABCD 中，点 P 为 AD 延长线上一点，连接 AC、CP，过点 C作 CFCP 于点 C，交 AB 于点 F，过点 B 作 BMCF 于点 N，交 AC 于点 M. (1)假设 AP78AC，BC4，求 SACP； (2)假设 CPBM2FN，求证：BCMC. 3如图，在 ABC 中，ABBC，以 AB 为一边向外作菱形 ABDE，连接 DC，EB 并延长 EB 交 AC于 F，且 CBAE 于 G. (1)假设EBG20，求AFE； (2)试问线段 AE，AF，CF 之间的数量关系并证明 word . 类型 3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线 例

6、 3 如图 Z310，在 RtABC 中，ABC90，D、E 分别为斜边 AC 上两点，且 ADAB，CECB，连接 BD、BE. (1)求EBD 的度数； (2)如图 Z310，过点 D 作 FDBD 于点 D，交 BE 的延长线于点 F，在 AB 上选取一点 H，使得 BHBC，连接 CH，在 AC 上选取一点 G，使得 GDCD，连接 FH、FG，求证：FHFG. 针对训练： 1如图，在 ABCD 中，G为 BC 的中点，点 E 在 AD 边上，且12. (1)求证：E 是 AD 中点； (2)假设 F 为 CD 延长线上一点，连接 BF，且满足32，求证：CDBFDF. word .

7、2如图 Z312，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 上的点，连接 AE，AF，DE、EF，DAEBAF. (1)求证：CECF； (2)假设ABC120，点 G是线段 AF 的中点，连接 DG，EG.求证：DGGE. 3在 RtABC 中，ACB90，点 D 与点 B在 AC 同侧，ADCBAC，且 DADC，过点 B 作BEDA交 DC 于点 E，M 为 AB 的中点，连接 MD，ME. (1)如图，当ADC90时，线段 MD 与 ME 的数量关系是_； (2)如图，当ADC60时，试探究线段 MD 与 ME 的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，当ADC 时，求ME

8、MD的值 word . 4如图，等边三角形 ABC 中，CE 平分ACB，D 为 BC 边上一点，且 DECD，连接 BE. (1)假设 CE4，BC6 3，求线段 BE 的长； (2)如图，取 BE 中点 P，连接 AP，PD，AD，求证：APPD 且 AP 3PD； (3)如图，把图 Z314中的 CDE 绕点 C 顺时针旋转任意角度，然后连接 BE，点 P 为 BE 中点，连接AP，PD，AD，问第(2)问中的结论还成立吗假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由 5在 ABC 中，以 AB 为斜边，作直角三角形 ABD，使点 D 落在 ABC 内，ADB90. (1)如图，假设 ABAC

9、，BAD30，AD6 3，点 P、M 分别为 BC、AB 边的中点，连接 PM，求线段 PM 的长； (2)如图，假设 ABAC，把 ABD 绕点 A逆时针旋转一定角度，得到 ACE，连接 ED 并延长交 BC 于点 P，求证：BPCP； (3)如图，假设 ADBD，过点 D 的直线交 AC 于点 E，交 BC 于点 F，EFAC，且 AEEC，请直接写出线段 BF、FC、AD 之间的关系(不需要证明) word . 类型 4 中位线：三角形中两中点，连接那么成中位线 例 4 2022 河南如图，在 RtABC 中，A90，ABAC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，ADAE，连接 DC，

10、点 M，P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点 (1)观察猜测：图中，线段 PM 与 PN 的数量关系是_，位置关系是_； (2)探究证明：把 ADE 绕点 A 按逆时针方向旋转到图的位置，连接 MN，BD，CE，判断 PMN 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸：把 ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，假设 AD4，AB10，请直接写出 PMN 面积的最大值 针对训练： 1如图，在任意的三角形 ABC 中，分别以 AB 和 AC 为一边作等腰三角形 ABE 和等腰三角形 ACD，ABAE，ACAD，且BAECAD180，连接 DE，延长 CA交 DE 于 F. (1)求证：CABAEDAD

11、E； (2)假设ACBBAECAD90，如图，求证：BC2AF； (3)假设在 ABC 中，如图所示，作等腰三角形 ABE 和等腰三角形 ACD，AB 与 DE 交于点 F，F 为 DE的中点，请问(2)中的结论还成立吗假设成立，请给出证明，假设不成立，请说明理由 word . 2如图，在 ABC 和 ADE 中，ABAC，ADAE，BACEAD180，ABC 不动，ADE绕点 A旋转，连接 BE、CD，F 为 BE 的中点，连接 AF. (1)如图，当BAE90时，求证：CD2AF； (2)当BAE90时，(1)的结论是否成立请结合图说明理由 3如图，在等腰三角形 ABC 中，ABAC，在底

12、边 BC 上取一点 D，在边 AC 上取一点 E，使 AEAD，连接 DE，在ABD 的内部作ABF2EDC，交 AD 于点 F. (1)求证： ABF 是等腰三角形； (2)如图，BF 的延长交 AC 于点 G.假设DACCBG，延长 AC 至点 M，使 GMAB，连接 BM，点 N 是 BG的中点，连接 AN，试判断线段 AN、BM 之间的数量关系，并证明你的结论 word . 类型 5 角的和差倍分 图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现 角平分线平行线，等腰三角形来添角平分线加垂线，三线合一试试看 例 5如图，把 EFP 放置在菱形 ABCD 中，使得顶点 E，

13、F，P 分别在线段 AB，AD，AC 上，EPFP6，EF6 3，BAD60，且 AB6 3. (1)求EPF 的大小； (2)假设 AP10，求 AEAF 的值 针对训练： 1 ：如图，AD 平分BAC，BC180，B90，易知：DBDC. 探究：如图，AD 平分BAC，ABDACD180，ABD90，求证：DBDC. word . 2在 ACB 中，ABAC，BAC90，点 D 是 AC 上一点，连接 BD，过点 A作 AEBD 于 E，交 BC 于 F. (1)如图，假设 AB4，CD1，求 AE 的长； (2)如图，点 P 是 AC 上一点，连接 FP，假设 APCD，求证：ADBCP

14、F. 3 ， 在 ABCD 中， BAD45， ABBD， E 为 BC 上一点， 连接 AE 交 BD 于 F， 过点 D 作 DGAE于 G，延长 DG交 BC 于 H. (1)如图，假设点 E 与点 C 重合，且 AF 5，求 AD 的长； (2)如图，连接 FH，求证：AFBHFB. word . 4如图，将正方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上)，使点 B 落在 AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与 CD 交于点 P，连接 EP.当点 M 在边 AD 上移动时，连接 BM、BP. (1)求证：BM 是AMP 的平分线； (2)P

15、DM 的周长是否发生变化证明你的结论 word . 类型 6 旋转型全等问题：图中假设有边相等，可用旋转做实验 例 6 ABC 中，BAC90，ABAC，点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与 B，C 重合)，以 AD 为边在 AD 右侧作正方形 ADEF，连接 CF. (1)观察猜测：如图，当点 D 在线段 BC 上时，BC 与 CF 的位置关系为：_ BC，CD，CF 之间的数量关系为：_；(将结论直接写在横线上) (2)数学思考：如图 Z325，当点 D 在线段 CB 的延长线上时，结论，是否仍然成立假设成立，请给予证明；假设不成立，请你写出正确结论再给予证明 (3)拓展延伸：如图

16、 Z325，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，延长 BA交 CF 于点 G，连接 GE.假设 AB2 2，CD14BC，请求出 GE 的长 针对训练： 1在四边形 ABCD 中，BD180，对角线 AC 平分BAD. (1)如图，假设DAB120，且B90，试探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由 (2)如图，假设将(1)中的条件“B90去掉，(1)中的结论是否成立请说明理由 (3)如图，假设DAB90 ，探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由 word . 2如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为边 BC 上一点，将 ABE 沿 AE 翻折得 AHE

17、，延长 EH交边CD 于 F，连接 AF. (1)求证：EAF45； (2)延长 AB，AD，如图，射线 AE、AF 分别交正方形两个外角的平分线于 M、N，连接 MN，假设以 BM、DN、MN 为三边围成三角形，试猜测三角形的形状，并证明你的结论 3如图，在正方形 ABCD 内有一点 P，PA 5，PB 2，PC1，求BPC 的度数 【分析问题】根据条件比拟分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的条件集中在一起，于是将 BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到了 BPA(如图 Z328)，然后连接 PP. (1)请你通过计算求出图 Z328中BPC 的度数； (2)如图，假设在正六边形 AB

18、CDEF 内有一点 P，且 PA2 13，PB4，PC2.请求出BPC 的度数 word . 重庆中考几何题分类汇编答案 例 1. 证明：(1)ABAC，ABCACB.MBQABC180， ACBPCN180，MBQPCN.在 QBM 和 PCN 中， QBPC，MBQPCN，BMCN，QBMPCN(SAS)MQNP. (2)过 M 作 MGAC 交 BC 于 G， MGAC，MGBACB，MGCPCN，由(1)知，ABCACB，ABCMGB，MBMG，MBCN， MGCN.在 MGP 和 NCP 中， MPGCPN，MGCPCN，MGNC，MGPNCP(AAS) PGCP，CGCPPG，即

19、CG2CP.CM 平分ACB， BCMMCA，MGAC，MCAGMC，BCMGMC， MGCG，MGCN，CNCG，CN2CP. 针对训练 1. 解：(1)ACBC，ACB90，又ACCF，AFC45，ABC35，EAF10； (2)证明：方法 1：取 CF 的中点 M，连接 EM、AM， CEEF，EMCMFM12CF， 又ACAE，AM 为 EC 的中垂线，CAMACE90， 又ECFACE90，CAMFCE， 又CEFACM90，ACMCEF，ACCMCEEF， 又CFAC2CM，ACCMCEEF21，即 CE2EF； 方法 2：延长 FE 至 M，使 EFEM，连接 CM， CEEF，

20、CMF 为等腰三角形， 又ACAECF，且ACECFE(易证)， CMFCEA，FMCE2EF. 2. 解：(1)如图，在 AB 上取一点 M，使得 BMME，连接 ME. 在 RtABE 中，OBOE，BE2OA2， MBME，MBEMEB15， AMEMBEMEB30， 设 AEx，那么 MEBM2x，AM 3x， AB2AE2BE2，(2x 3x)2x222， x6 22(负根舍弃)， ABAC(2 3)6 22， BC 2AB 31. word . (2)证明：如图，作 CPAC，交 AD 的延长线于 P，GMAC 于 M. BEAP，AHB90，ABHBAH90， BAHPAC90，

21、ABEPAC， 又ABAC，BAEACP90， ABECAP，AECPCF，AEBP， 在 DCF 和 DCP 中， CDCD，DCFDCP，CFCP， DCFDCP，DFCP，GFEGEF，GEGF， GMEF，FMME，AECF，AFCE，AMCM， 在 GAH和 GAM 中， GAHGAM，AHGAMG，AGAG，AGHAGM，AHAMCM12AC. 3. 解：(1)AB4，ACAB4. CD1，ADACCD3. 在 RtABD 中，BAC90， BDAB2AD25， SABD12AB AD12AE BD，AE. (2)证明：如图，在线段 EB 上截取 EHAE，并连接 AH. AEBD

22、，EHAE，AH 2AE. BEAEAG，BHBEHEAG. BADBEA90， ABEBAECAGBAE90， ABECAG. BAAC，ABHCAG， CGAH 2AE. 4. 解：(1)BAC90，ABAC，D 是斜边 BC 的中点， ADC90，ACD45. 在 RtADC 中，ACAD sin452 3. E 是 AC 的中点，CE12AC 3. 将 CDE 沿 CD 翻折到 CDE，CECE 3，ACE90. 由勾股定理，得 AECE2AC2 15. (2)证明：如图，过 B 作 AE的垂线交 AD 于点 G，交 AC 于点 H. ABHBAF90，CAFBAF90，ABHCAF.

23、 又ABAC，BAHACE90，ABHCAE. AHCECE，CE13AC，AHHECE. D 是 BC 中点，DEBH，G是 AD 中点 在 ABG和 CAF 中：ABAC，BADACD45，ABHCAF， ABGCAF.AGCF.AG12AD，CF12AD12CD.DFCF. 类型 2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验 word . 例 2：解： 13 2证明：延长 DN 到 K，使得 NKME，连接 AK，如图， 因为13180，12180，23. 在 AME 和 ANK中， AMAN，23，MENK，AMEANK(SAS)AEAK，45， 4EAC90，5EAC90，即EAK

24、90， EAD45，KADEAKEAD904545. EADKAD.在 EAD 和 KAD 中， EAKA，EADKAD，ADAD，EADKAD(SAS)， EDKD.DKDNKN，EDDNKN， 又 NKME，EDDNME. (3)证明：延长 AE 到 J，使得 EJAE，连接 JH，JF.如图， 在 ABE 和 JHE 中， AEJE，AEBJEH，BEHE，ABEJHE(SAS)， JHAB，12，ABAG，JHAG， AEEJ，EFAJ，AFJF，JAFAJF45， 即2345，BAC90，1EAD490， 1490EAD，904545， 12，34， 在 JHF 和 AGF 中， J

25、HAG，34，JFAF，JHFAGF(SAS)，FHFG. 针对训练： 1. 解：(1)四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC. BE2EC，设 CEx，BE2x，BCADAE3x. 又EGAB，AEB90，AB2AE2BE2， 即 139x24x2，x1，AD3x3. (2)证明：如图，过 C 作 CHAB 于 H，那么四边形 CHGF 为矩形 CFHG，CHB90，GFCH. AEBC，EGAB，AEBCHB90， BCHB90，BAEB90，BCHBAE. 又AEBC，AGECHB，GEBH，AGGF， GEBHBGGHBGCF. 2. 解：(1)四边形 ABCD 是正方形，BC4，

26、ABADCDBC4，ADCABC90. 在 RtABC 中，ACAB2BC24 2， AP78AC72 2， word . SACP12AP CD7 2. (2)证明：方法一：如图，在 NC 上截取 NKNF，连接 BK. 四边形 ABCD 是正方形， ABBCDC，ABCBCDADC90. BCD90，CFCP，1DCF2DCF90， 12，在 FBC 和 PDC 中，FBC3，BCDC，12， FBCPDC(ASA)，CFCP， CP2FNBM，CFFKBM，即 CKBM， FBC90，BMCF，1NBC4NBC90， 14，在 ABM 和 BCK中，ABBC，41，BMCK， ABMBC

27、K(SAS)，76. BMCF，NKNF，BFBK，BFBK，BMCF，45， 4756，847，8MBC，BCMC. 解：方法二：如图，延长 BM 交 AD 于点 G，过 A作 AEBG于 E 先证 AEBBNC(AAS)，AEBN， 又证 AEGBNF(AAS)，EGNF， 再证四边形 BCPG为平行四边形，BGCP， CPBM2FN，BGBM2EG，MG2EG，点 E 为 MG中点， AEMG，EMEG，AMAG，34， 23，14，12， BCMC. 3. 解：(1)EBG20，CBAE， BEG70o，CBFEBG20， 四边形 ABDE 是菱形，ABEBEG70， ABG50， A

28、BBC，FCB25， AFECBFFCB45； (2)AE，AF，CF 之间的数量关系是 AF2CF22AE2， 证明如下：连接 DF， 四边形 ABDE 是菱形，ABDB，DBEABE，DBFABF， BFBF，DBFABF(SAS)， DFAF，BDFBAF，BCFBAF，BCFBDF， CBAE，AEDB，DBCB， CBABBD，DBC 是等腰直角三角形， DC 2BD 2AE， DPBCPF，CFPDBP90，DF2CF2DC2， 即有：AF2CF22AE2. 类型 3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线 例 3 解：(1)设BEC，BDA，那么 word . C1802，A1

29、802. 在 RtABC 中，ABC90， AC90，即 1802180290， 135，EBD45. (2)证明：法一：如图，延长 BD 至点 B，使得 DBDB，连接 FB、GB. 在 GDB和 CDB 中，GDCD，GDBCDB，BDBD， GDBCDB.GBBCBH，GBDCBD. FDBD，BDDB，FBFB. FBG45GBD， HBF9045CBD45CBD， FBGHBF. 在 FHB 和 FGB中，HBGB，HBFGBF，BFBF， FHBFGB，HFGF. 法二：如图，延长 FD 至点 F，使得 DFDF，连接CF、BF. 先证 DGFDCF， 再证 BHFBCF， HFG

30、F. 针对训练 1. 证明：(1)四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ADBC，AC. 又12， ABECDG(ASA)，AECG. G 为 BC 中点，CG12BC， AECG12BC12AD， E 是 AD 中点 (2)如图，延长 BE，CD 交于点 H. 四边形 ABCD 是平行四边形， AB 綊 CD，AADH，14， 又12，32， 1234，FHFB. 由(1)，E 是 AD 中点，AEDE， ABEDHE(AAS)， ABDH， CDABDHDFFHDFBF， 即 CDBFDF. 2. 证明：(1)在菱形 ABCD 中，ABBCCDAD，ADFABE， DAEBAF， w

31、ord . DAEEAFBAFEAF， 即DAFBAE. DAFBAE，BEDF. 又BCCD，CECF (2)如图，延长 DG交 AB 于 H，连接 EH， 在菱形 ABCD 中，ABCD，DFAGAH. G为 AF 中点，AGGF. 又DGFAGH，DGFHGA.DGGH，AHDF. 又ABCD，BHCF. 又ABCD，ABC120，C60. 又CECF，CEF 为等边三角形， CFEF，CFE60，EFBH，DFEABC120. 又BEDF，EFDHBE，HEED， 又HGDG，DGGE. 3. 解： 1MD=ME 2)MD 3ME. 理由如下：如图，延长 EM 交 DA于点 F. BE

32、DA，FAMEBM. 又AMBM，AMFBME， AMFBME，AFBE，MFME. DADC，ADC60，BEDADC60，ACD60. ACB90，ECB30， EBC30，CEBE，AFEC，DFDE，DMEF，DM 平分ADC，MDE30. 在 RtMDE 中，tanMDEMEMD33. MD 3ME. (3)如图，延长 EM 交 DA于点 F， BEDA，FAMEBM， 又AMBM，AMFBME， AMFBME，AFBE，MFME. 延长 BE 交 AC 于点 N，BNCDAC. DADC，DCADAC， BNCDCA， ACB90，ECBEBC， CEBE，AFCE. DFDE，D

33、MEF，DM 平分ADC， ADC，MDE2. 在 RtMDE 中，MEMDtanMDEtan2. 4. 解：(1)如图，作 EHBC 于点 H. ABC 是等边三角形，ACB60. CE 平分ACB，ECH12ACB30， EC4，ECH30，EH2，HC2 3. BC6 3，BH6 32 34 3. 在 RtBHE 中，BE2(4 3)22252， word . BE2 13. (2)如图，延长 DP至 M，使 DPPM，连接 BM、AM. 在 PDE 和 PMB 中，PDPM，EPDBPM，PEPB， PDEPMB(SAS)BMDE，12. BMDE.MBDBDE180. CE 平分AC

34、B，DECD，BDE303060. MBD120. ABC 是等边三角形，ABC60，360. BMDE，DECD，BMCD. 在 ABM 和 ACD 中，ABAC，3ACD，BMCD， ABMACD(SAS)ADAM，45. PDPM，APPD. 45，BAD560， 4BAD60，即MAD60. PAD12MAD30. 在 RtAPD 中，tan30PDAP，AP 3PD. (3)第(2)问中的结论成立，理由如下：如图，延长 DP 至 N， 使 DPPN，连接 BN、AN，取 BE、AC 交于点 O.在 PDE 和 PNB 中， PDPN，EPDBPN，PEPB，PDEPNB(SAS)BN

35、DE，12. DECD，BNCD.AOBEOC， 13BAO24DECDCE. BAO60，DECDCE30，1324， 34.在 ABN 和 ACD 中， ABAC，34，BNCD，ABNACD(SAS)56，ANAD. PDPN，APPD.NAC560， NAC660，即NAD60.PAD12NAD30， 在 RtAPD 中，tanPADPDAP，AP 3PD. 5. 解：(1)ADB90，BAD30，AD6 3， cosBADADAB，326 3AB，AB12. 又ABAC，AC12， PM 为 ABC 的中位线，PM12AC6. (2)证明：方法一：如图，在截取 ED 上截取 EQPD

36、， word . ADB90， 1290， 又ADAE，23， 又3490， 14. 在 BDP 和 CEQ 中，PDQE，14，BDCE， BDPCEQ. BPCQ，DBPQCE， 又51DBP，64QCE， 56， PCCQ， BPCP. 方法二：如图，过点 B 作 EP 的垂线交 EP 的延长线于点 M，过 C 点作 EP 的垂线交 EP 于点 N. ADB90，1290， 又ADAE，23， 又3490，14， 在 BMD 和 CNE 中， 14，BMDCNE90，BDCE， BMDCNE. BMCN. 在 BMP 和 CNP 中， 56，BMPCNP，BMCN， BMPCNP， BP

37、CP. 方法三：如图，过点 B 作 BMCE 交 EP的延长线于点 M. 略证 BMPCEP，BPCP. (3)BF2FC22AD2. 类型 4 中位线：三角形中两中点，连接那么成中位线 例 4: 解： 1PM=PN;PMPN (2) PMN 为等腰直角三角形，理由如下： 由题意知 ABC 和 ADE 均为等腰直角三角形， ABAC，ADAE，BACDAE90， BADDACCAEDAC，BADCAE， BADCAE，ABDACE，BDCE. 又M、P、N 分别是 DE、CD、BC 的中点，PM 是 CDE 的中位线， PMCE 且 PM12CE，MPDECDACDACE. 同理，PNBD 且

38、 PN12BD，DBCPNC， 又BDCE，ABDACE，PMPN， MPNMPDDPNECDDCNCNP ACDACEDCNCBD ACDDCNABDCBDACBABC90， PMPN，PMN 为等腰直角三角形； word . (3) PMN 面积的最大值为492.提示：在旋转的过程中，由(2)中的结论知 PMN 为等腰直角三角形，SPMN12PN218BD2，当 SPMN有最大值时，那么 BD 的值最大，由三角形三边关系可推断出当 B、A、D 三点共线时，BD 的值最大，其最大值为 14，此时 SPMN12PN218BD218 14 14492. 针对训练： 1. 解：(1)证明：延长 D

39、A 交 BE 于 G 点 BAECAD180， 即EAGGABCAD180， GABBACCAD180， EAGCAB. EAGAEDADE， CABAEDADE. (2)证明：如图，过 E 点作 DA 延长线的垂线，垂足为 H. AHEACB90， 由(1)可知，EAHBAC， 又AEAB， AHEACB， EHBC，AHAC. ACAD，AHAD. EHAFAD90，AFEH. A 为 DH 中点， AF为 DHE 中位线，EH2AF，BC2AF. (3)成立证明如下： 如图，延长 DA 至 M 点，使 AMDA，连接 EM， BAECAD180，CADCAM180， BAECAM， BA

40、ECACCAMEAC， 即BACCAM. AMAD，ADAC，AMAC. 又ABAE，BACEAM， BACEAM， BCEM. F、A 分别为 DE、DM 中点， AF为 DEM 中位线， EM2AF，BC2AF. 2. 解：(1)证明：BACEAD180，BAE90，DAC90， 在 ABE 与 ACD 中，AEAD，BAECAD90，ABAC，ABEACD(SAS)，CDBE， 在 RtABE 中，F 为 BE 的中点，BE2AF，CD2AF. (2)成立，证明：如图，延长 EA交 BC 于 G，在 AG上截取 AHAD， BACEAD180， EABDAC180， EABBAH180，

41、DACBAH， word . 在 ABH与 ACD 中，AHAD，BAHCAD，ABAC， ABHACD(SAS)， BHDC， ADAE，AHAD，AEAH， EFFB，BH2AF，CD2AF. 3. 解：(1)证明：ABAC， ABDACD， AEAD，ADEAED， BADABDADEEDC，EDCACDAED， BAD2EDC， ABF2EDC，BADABF， ABF 是等腰三角形； (2)方法一：如图，延长 CA至点 H，使 AGAH，连接 BH， 点 N 是 BG的中点，AN12BH， BADABF，DACCBG，CABCBA， ABC 是等边三角形ABBCAC，BACBCA60，

42、 GMAB，ABAC，CMAG，AHCM， 在 BAH和 BCM 中，ABBC，BAHBCM120，AHCM， BAHBCM(SAS)，BHBM， AN12BM， 方法二：如图，延长 AN 至 K，使 NKAN，连接 KB， 同方法一，先证 ABC 是等边三角形， 再证 ANGKNB(SAS)， 所以 BKAGCM， 然后可以证得ABKBCN120， 最后证 ABKBCN(SAS)， 所以 BMAK2AN. 类型 5 角的和差倍分 例 5：解：(1)如图，过点 P 作 PGEF 于 G. PEPF6，EF6 3， FGEG3 3，FPGEPG12EPF. 在 RtFPG中，sinFPGFGPF

43、3 3632. FPG60， EPF2FPG120. (2)如图，作 PMAB 于 M，PNAD 于 N. AC 为菱形 ABCD 的对角线， DACBAC，AMAN，PMPN. 在 RtPME 和 RtPNF中，PMPN，PEPF， RtPMERtPNF， NFME. word . 又AP10，PAM12DAB30， AMANAPcos3010325 3. AEAF(AMME)(ANNF)AMAN10 3. 针对训练： 1. 证明：如图，过 D 作 DEAB 于 E，过 D 作 DFAC 于 F， DA 平分BAC，DEAB，DFAC， DEDF， BACD180，ACDFCD180， BF

44、CD， 在 DFC 和 DEB 中， FDEB，FCDB，DFDB， DFCDEB，DCDB. 2. 解：(1)ACAB4，且 CD1， ADACCD3. 在 RtABD 中，BAD90， BDAB2AD25， SABD12AB AD12AE BD， AE. (2)证明：如图，取 BC 的中点 M，连接 AM 交 BD 于点 N. BAC90，ABAC，点 M 为 BC 的中点， AMBMCM，AMBC，NADFCP45， AMFBMN90. AEBD，MAFANEMBNBNM90， 又ANEBNM，MAFMBN， AMFBMN，MFMN， AMMNCMMF，即 ANCF. APCD， ACC

45、DACAP， 即 ADCP. ADNCPF， ADBCPF. 3. 解：(1)ABBD，BAD45， BDA45，即ABD90. 四边形 ABCD 是平行四边形， 当 E、C 重合时，BF12BD12AB. 在 RtABF中，AB2BF2AF2， (2BF)2BF2( 5)2， BF1，AB2. 在 RtABD 中，ADAB2BD2 2AB22 2. word . (2)证明：如图，在 AF 上截取 AKHD，连接 BK. AFDABF2FGD3 且ABFFGD90， 23.在 ABK与 DBH中，ABBD，23，AKHD， ABKDBH，BKBH，65. 四边形 ABCD 是平行四边形， A

46、DBC，5445，6545， 7ABD6455.在 BFK与 BFH中， BKBH，75，BFBF，BFKBFH. BFKBFH，即AFBHFB. 4. 解：(1)证明：由折叠知EMNABC90，BEEM，EMBEBM， EMNEMBABCEBM， 即BMPMBC. 在正方形 ABCD 中，ADBC， AMBMBC， AMBBMP， BM 是AMP 的平分线 (2) PDM 的周长没有发生变化证明如下：如图，过 B 作 BQMP 于Q. A90，且由(1)知 BM 是AMP的平分线，BABQ， AMQB90，AMBBMP，MBMB， AMBQMB(AAS)MAMQ. BABC，BQBC， 又B

47、QP90C，BPBP， RtBPCRtBPQ(HL)PCPQ， PDM 的周长MDMPDPMDMQQPPD MDMAPCPDADDC2AD. PDM 的周长没有发生变化 类型 6 旋转型全等问题：图中假设有边相等，可用旋转做实验 例 6：解：(1)四边形 ADEF 是正方形，ADAF，ABAC， BACDAF90，BADCAF， DABFAC，BACF， ACBACF90，即 CFBC； DABFAC，CFBD，BCBDCD，BCCFCD. (2)结论成立，结论不成立四边形 ADEF 是正方形，ADAF，ABAC. BACDAF90，BADCAF， DABFAC，ABDACF，CFBD， BCFACFACBABDACB90，即 CFBC；BCCDBD，BCCDCF. (3)如图，过 A 作 AHBC 于 H，过 E 作 EMBD 于 M，ENCF于 N， BAC90，ABAC，BC 2AB4，AHCH12BC2， CD14BC1，DH3，同(2)证得 BADCAF， ABDACF45，BCFACBACF90， word . BCCF，CFBD5. 四边形 AD