二次函数的对称性在解题中的运用

1、二次函数图象对称性在解题中的应用二次函数图象对称性在解题中的应用基础知识点回顾基础知识点回顾二次函数二次函数y=ax+bx+c(a,b,c为常数且为常数且a0)此函数的对称轴为直线此函数的对称轴为直线_（用（用a、b表示）表示）abx2 221xxx 若函数图象与若函数图象与x轴相交于点轴相交于点A（1，0）、）、B( 5，0)，则对称轴可表示为直线则对称轴可表示为直线 ；x=3若函数图象与若函数图象与x轴相交于点轴相交于点A（x1，0），）， B（ x2，0），则对称轴可表示为直线），则对称轴可表示为直线 ；若点若点(x1, n),( x2 ,n)在抛物线上，则抛物线在抛物线上，则抛物线 的

2、对称轴可表示为的对称轴可表示为_221xxx 温故知新温故知新 探究总结探究总结 1、抛物线的顶点坐标为（、抛物线的顶点坐标为（0，4），与），与x轴的一个轴的一个交点坐标为交点坐标为M（2，0），请写出抛物线与），请写出抛物线与x轴的轴的另一个交点坐标另一个交点坐标N( )2,0 若抛物线上有一点若抛物线上有一点A的坐标为的坐标为( -1 ，3)，在抛物线，在抛物线上与上与A关于对称轴对称的点关于对称轴对称的点B的坐标是的坐标是( ).1,3 如果有一点如果有一点C的横坐标为的横坐标为x，则，则C点坐标怎么表示？点坐标怎么表示？C（ ）.y=-x2+4x,-x2+4 在抛物线上与在抛物线上与

3、C点关于对称轴对称的点点关于对称轴对称的点D的坐的坐标是标是D（ ）-x,-x2+x总结：总结：在抛物线上，关于对称轴对称的两个点的特征在抛物线上，关于对称轴对称的两个点的特征纵坐标相等纵坐标相等 2.如图，抛物线顶点坐标为（如图，抛物线顶点坐标为（3，4），它的图象），它的图象与与x轴的一个交点坐标为轴的一个交点坐标为M（1，0），请写出抛物线），请写出抛物线与与x轴的另一个交点坐标轴的另一个交点坐标N( )5, 0若抛物线上有一点若抛物线上有一点A的横坐标为的横坐标为2，则则A点坐标为点坐标为( ).y=-(x-3)2+42, 3在抛物线上与点在抛物线上与点A关于对称轴关于对称轴对称的点对

4、称的点B的坐标是的坐标是 ( )4, 3如果有一点如果有一点C在抛物线上在抛物线上,横横坐标为坐标为x(x3)，则，则C点坐标为点坐标为C（ ）x, -(x-3)2+4在抛物线上，点在抛物线上，点D与点与点C关于对称轴关于对称轴对称，点对称，点D的坐标是的坐标是( ）6-x, -(x-3)2+4321 xx明察秋毫明察秋毫 快速反应快速反应 如图是二次函数如图是二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的的 函数值函数值y与自变量与自变量x的对应值的对应值. x-5-3-20356. y2770-8-5716找出抛物线上关于对称轴对称的两点找出抛物线上关于对称轴对称的两点 。 写出抛物线的对称轴写

5、出抛物线的对称轴 。 抛物线与抛物线与x轴的交点坐标是轴的交点坐标是 。(-3,7)、(5,7)x=1(-2,0)、(4,0)抛物线上一点抛物线上一点 (m,n) 关于对称轴对称的点为：关于对称轴对称的点为： 。(2-m, n)几个重要结论几个重要结论：1、抛物线、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线：的对称轴是直线： aby2 3、抛物线上两个不同点、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有若有y1=y2，则，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线： 221xxx 2、若抛物

6、线与轴的两个交点是、若抛物线与轴的两个交点是A(x1,0)，B(x2,0)，则抛物线的对称轴是：则抛物线的对称轴是： 221xxx 4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A(x1,0)，且其对称轴是，且其对称轴是x=m，则另一个交点，则另一个交点B的坐的坐标可以用标可以用x1、m表示出来（注：应由表示出来（注：应由A、B两点处两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要画出图象）在对称轴的左右情况而定，在应用时要画出图象） x2=2m-x1x2=2m-x1mxx 221 5、抛物线上两个不同点、抛物线上两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，若有若

7、有y1=y2，则，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴两点是关于抛物线对称轴对称的点，对称的点，0与与x1+x2关于关于 对称对称对称轴对称轴20)(221 xxabx如图：如图：巧用巧用“对称性对称性” 化繁为简化繁为简抛物线抛物线y=a(x+1)2+2的一部分如图所示的一部分如图所示,该抛物线该抛物线在在y轴右侧部分与轴右侧部分与x轴交点的坐标是轴交点的坐标是 _(1,0)(一一)求点的坐标求点的坐标(函数值函数值)1、如图、如图,抛物线的对称轴是抛物线的对称轴是x=1,与与x轴交于轴交于A、B两点，两点，B的坐标为（的坐标为（ ，0），则点），则点A的坐标是的坐标是_3)0 ,32( 2、

8、已知关于、已知关于x的方程的方程ax2+bx+c=3的一个根为的一个根为x1=2，且二次函数，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴直线是的对称轴直线是x=2，则抛物线的顶点坐标是（则抛物线的顶点坐标是（ ）A(2，-3 ) B(2，1) C(2，3) D(3，2)C 3、抛物线、抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示，的一部分如图所示，那么该抛物线在那么该抛物线在y轴右侧与轴右侧与x轴交点的坐标是轴交点的坐标是( )A(0.5，0) B(1，0) C(2，0) D(3，0)1222 aaabxB 4、已知、已知A(x1,2013),B(x2,2013)是二次函数是二次函数y=ax

9、2+bx+5(a0)的图象上两点的图象上两点,则当则当x=x1+x2时时,二次函数的值是二次函数的值是( )A. 5 B、5+ C. 2013 D. 5ab42ab22AB)0 ,2(22xxA B(x1+x2,0)点点O与点与点B关于点关于点A对称对称即：即：0与与x1+x2关于关于 对称。对称。ab2 D 5、若二次函数、若二次函数y=ax2+c ，当，当 x 取取x1 ，x2 （x1 x2 ）时，函数值相等，则当）时，函数值相等，则当x取取 x1 +x2 时，函数值为（时，函数值为（ ） A、a+c B、ac C、c D、cD0与与x1+x2关于关于 对称。对称。ab2 6、抛物线、抛物

10、线y=ax+bx+c经过点经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为则该抛物线上纵坐标为-8的另一点坐标是的另一点坐标是_(1，-8) 1、已知二次函数、已知二次函数y=ax+bx+c(a0)的顶点的顶点坐标为（坐标为（-1，-3.2）及部分图象如图，由图象）及部分图象如图，由图象可知关于可知关于x的一元二次方程的一元二次方程ax+bx+c=0的两根的两根分别为分别为x1=1.3，x2=_(二二)求方程的根求方程的根-3.3 2、已知抛物线、已知抛物线 y= a(x-1)2+h(a0)与与x 轴轴交于交于A(x1,0)、B(3,0) 两点，则线段两点，则线段AB的

11、长度的长度为（为（ ）A 1B 2C 3D 4D1, 12311 xx(三三)求代数式的值求代数式的值(函数值函数值) 1、抛物线、抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的对称轴是的对称轴是直线直线 x=1 ，且经过点，且经过点 P（3，0），则），则ab+c 的值为的值为 ( ) A. 0 B. 1 C. 1 D. 2 A若将对称轴改为若将对称轴改为直线直线x=2，其余条件不变，其余条件不变， 则则 a+b+c= .02、若、若y=ax2+5 与与x轴两交点分别为（轴两交点分别为（x1 ,0),(x2 ,0) ，则当，则当x=x1 +x2时，时，y值为值为_5(四四)求函数解析式求函数解析式

12、1、已知抛物线、已知抛物线y=ax+bx+c的对称轴为直线的对称轴为直线x=2，且经过点（，且经过点（1，4）和点（）和点（5，0），则该），则该抛物线与抛物线与x轴相交的另一个交点坐标为轴相交的另一个交点坐标为_;函数解析式为函数解析式为 。(-1,0)252212 xxy 2、已知二次函数的图像经过、已知二次函数的图像经过A（-1,0）、）、 B（3,0），且函数有最小值），且函数有最小值-8，试求，试求 二次函数解析式二次函数解析式.对称轴对称轴x=1设解析式为设解析式为y=a(x+1)(x-3)或或y=a(x-1)2-8y=2x2-4x-6(五五)比较函数值的大小比较函数值的大小 1、

13、小颖在二次函数小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，的图象上，依横坐标找到三点依横坐标找到三点(-1，y1),(0.5，y2 ),(-3.5，y3)则你认为则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（）的大小关系应为（） A、y1y2y3 B、y2y3y1 C、y3y1y2 D、y3y2y1离对称轴越近离对称轴越近函数值越小函数值越小D 2、设、设A(2, y1)、B(1, y2)、C(2, y3)是抛物线是抛物线 y= (x+1)2+m上的三点，则上的三点，则 y1、y2、y3的大小的大小关系为关系为( ) A.y1y2y3 B. y1y3 y2 C. y3y2y1 D. y3y1y2离对

14、称轴越近离对称轴越近函数值越大函数值越大A离对称轴越近离对称轴越近函数值越小函数值越小 1、如图函数、如图函数 y=x2x+m(m为常数为常数)的图象的图象如图，如果如图，如果x= a 时，时，y0；那么；那么x= a1时，时，函数值（函数值（ ）Ay0 B0ym Cym Dy=m211a-1mCa(六六)判断命题的真伪判断命题的真伪2、老师出示了小黑板上的题后、老师出示了小黑板上的题后(如图如图)，小华小华说：说：过点过点(3，0)；小彬小彬 说：过点说：过点(4，3)；小明小明说：说：a=1；小颖小颖说：抛物线被说：抛物线被x轴截轴截 得的线段长为得的线段长为2你认为你认为四人的说法中，正

15、确的有四人的说法中，正确的有( )A1个个B2个个 C3个个 D4个个已知抛物线已知抛物线 y=ax2+bx+3与与x轴交于轴交于(1,0).试添加试添加一个条件，使它的对称一个条件，使它的对称轴为直线轴为直线x=2.C抛物线过抛物线过(1,0),(3,0)(1+3) 2=2.小华小华正确正确抛物线过抛物线过(0,3),(4,3)(0+4) 2=2.小彬正确小彬正确a=1时，时，0=1+b+3,b=-422 ab小明正确小明正确被被x轴截轴截 得的线段长为得的线段长为2抛物线过抛物线过(1,0)、(-1,0)或过或过(1,0)、(3,0)小颖错误小颖错误巧用巧用“对称性对称性” 化线为点化线为

16、点1、 求抛物线求抛物线y=2x2-4x-5关于关于x轴轴对称的抛物线。对称的抛物线。 方法一：方法一： 将一般形式化为顶点式将一般形式化为顶点式y=a(x-h)2+ky=2(x-1)2-7抛物线抛物线y=2x2-4x-5关于关于x轴轴对称的抛物线对称的抛物线 的解析式为：的解析式为：y=-2(x-1)2+7开口向上变为开口向下开口向上变为开口向下顶点（顶点（1，-7）变为（）变为（1,7）点点（x,y)关于关于x轴的对称点为轴的对称点为(x,-y)抛物线抛物线y=2x2-4x-5关于关于x轴轴对称的对称的 抛物线解析式为：抛物线解析式为：y=-2x2+4x+5 y=-ax2-bx-c1、 求

17、抛物线求抛物线y=2x2-4x-5关于关于x轴轴对称的抛物线。对称的抛物线。 方法二：方法二：在抛物线在抛物线 y=ax2+bx+c上任取一点上任取一点(x,y)抛物线抛物线 y=ax2+bx+c关于关于x轴轴对称的抛物线对称的抛物线 的解析式为：的解析式为：-y=ax2+bx+c若原抛物线是顶点形式：选用方法一简便若原抛物线是顶点形式：选用方法一简便若原抛物线是一般形式：选用方法二简便若原抛物线是一般形式：选用方法二简便2、求抛物线、求抛物线y=2x2-4x-5关于关于y轴对称的抛物线。轴对称的抛物线。在抛物线上任取一点在抛物线上任取一点(x,y)，(x,y)关于关于y轴对称的点为轴对称的点

18、为(-x,y)y=2x2-4x-5关于关于y轴对称的抛物线位轴对称的抛物线位y=2 (-x)2-4(-x)-5即：即：y=2 x2+4x-5在抛物线上任取一点在抛物线上任取一点(x,y)，(x,y)关于原点对称的点为关于原点对称的点为(-x,-y)3、求抛物线、求抛物线y=2x2-4x-5关于原点成关于原点成 中心对称的抛物线。中心对称的抛物线。y=2x2-4x-5关于原点对称的抛物线为关于原点对称的抛物线为-y=2 (-x)2-4(-x)-5即：即：y=-2 x2-4x+54、求抛物线、求抛物线 y=2x2-4x-5绕着绕着 顶点旋转顶点旋转180 得到的抛物线得到的抛物线y=2(x-1)2-7化为顶点式：化为顶点式：顶点坐标（顶点坐标（1，-7）开口相反，顶点不变开口相反，顶点不变y=2x2-4x-5绕着绕着 顶点旋转顶点旋转180得到的抛物线为得到的抛物线为y=-2(x-1)2-7“将军饮马将军饮马” 问题问题唐朝诗人李欣的诗唐朝诗人李欣的诗古从军行古从军行开头两