概率密函数的性质PPT学习教案

1、会计学1概率密函数的性质概率密函数的性质2离散型随机变量的可能值可以一一列举出来，但另一类随机变量它们的可能取值不止有限个或可列个，其取值是充满某一个区间，即不能用分布列表示X 的取值及其概率。因此通过所谓概率密度概率密度来描述这类随机变量的统计规律性。本节将要用到由定积分变上限确定的函数及其导数，还要用到指数函数及图形特点等知识。一、概率密度函数的概念一、概率密度函数的概念第1页/共23页3对于随机变量X，若存在非负函数xdttpxXP)()(使对任意实数 ,xxp则称X为连续型随机变量连续型随机变量， p x为X的概率密度函数概率密度函数，简称密度密度函数函数或密度密度.都有,x的概率分布

2、规律就得到了全面描述.所以若已知密度函数，该连续型随机变量p (x)0 xx第2页/共23页4面积为1这两条性质是判定一个函数)(xp是否为某随机变量X的密度函数的充要条件。.1)(dxxp性质(1)、(2)是密度函数的充要性质； ,0 xxp(2) 归一性归一性(1) 非负性非负性p (x)0 x1第3页/共23页5 )(321xXxP21)(xxtdtp21xx 即X落在上的概率上曲线 xpy 之下的曲边梯形的面积。（4）若 xp在点x 处连续，则有 xpxxxXxPx0lim xxpxxXxP这表示X落在小区间x,x+x上的概率近似地等于 . xxp若不计高阶无穷小，有：p (x)x01

3、x2x,21xx,21xx第4页/共23页6若xxxXxPx )(lim00( )limxxxxp t dtx 的进一步理解:对)(xp的连续点，则：)(xp是x)(xp如果把概率理解为质量， x ,(xxx 故X 的密度)(xp在x这一点的值，恰好是X 落在的概率与区间长度之比的极限.这里，相当于线密度.)(xp区间)(xp不是概率不是概率.xdxp)(所起的作用与kkpxXP)(理论中所起的作用相类似.在连续型随机变量理论中在离散型随机变量第5页/共23页7（5） 对任意实数a，则0 aXP称A 为几乎不可能事件，B 为几乎必然事件.可见，由P(A )=0, 不能推出 A由P(B )=1,

4、 不能推出 B = S这是因为)(lim)(0aXxaPaXPxaxaxdxxp)(lim00第6页/共23页8的高度反映了概率集中在该点附近的程度.要注意注意的是:密度函数)(xp)(ap并不是aX 的概率.但是这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；p (x)0 x1由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们所关心的是它在某一区间上取值的问题在某点处 的高度a第7页/共23页9)()(bXaPbXaP)(bXaP 对连续型随机变量X, 有)(bXaP ，的密度函数为若已知连续型随机变量xpX取值的概率为，也可以是无穷区间

5、）上间；可以是有限区间，闭区间，或半开半闭区也可以是可以是开区间（在任意区间则,DDX DdxxpDXP第8页/共23页10某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度 otherxxkxp01002求 1、常数 k .2、 该晶体管不能工作150 h 的概率。3、一台仪器中装有4只此种晶体管，至少有1只失效的概率。工作150h后，解解 1、100kxdxk100211001xk100k150. 2XPxdx150100210031)15011001(1003、设Ai “第 i只晶体管150h 失效” . 4, 3, 2, 1i第9页/共23页11150XPAPi314321AAAA相互独立，则

6、所求的概率为1234()P AAAA)()()()(14321APAPAPAP42651 ( )381 12341()P AAAA 第10页/共23页12 对于连续性随机变量X，存在密度函数xdttpxXPxF)()()(使对任意实数 ,xxp则称F(x) 为连续型随机变量X的分布函数分布函数，都有,x分布规律就得到了全面描述。由于连续型随机变量的分布确定.所以若已知密度函数，该连续型随机变量的概率函数唯一被它的密度函数所p (x)0 xx)(xF第11页/共23页13 ,10 xxFp (x)0 xx)(xF(1) 是连续的单增函数 xFxdttpxF)()( 0 xpx)(xF01第12页

7、/共23页14（2）若 xp在点x 处连续，则有 xpxF)( 0limxF xxF xp xx 0limxP xXxxx 面积为1.0)(lim)(xFFx(3)p(x)0 x1()lim( )xFF x .1)(dxxp第13页/共23页15试说明设有函数其它00sin)(xxxF不满足性质(1)，故,2可见F(x)也不能是随机变量的分布函数.或者0)(lim)(xFFx能否是某个随机变量的分布函数. xF解解： 注意到函数 xF在上下降，不能是分布函数. xF不满足性质(2)，第14页/共23页16的分布函数为设连续型随机变量X xxxFarctan121的密度函数试求X ，则的密度函数

8、为设xpX xFxpxx2111解解第15页/共23页17 BxAxFarctan求 A、 B.解解02BAF12BAF211BA 21arctan1xxF第16页/共23页18设随机变量 X 的密度函数为其它0,10,12)(2xxxp求解：解：对 x 0，2021( )1xF xdtt01,x对 .xF xtdtpxXPxF 0 xFxarcsin2对 1xF002( )arcsin0111xF xxxx即1,x 第17页/共23页19xdttpxF)()(求 F(x).其它, 021,210,)(xxxxxpX设=01000 xdxtdt101(2)xxdxt dt0 x10 x21 x2x F(x)解解22x2122xx第18页/共23页20也可求出2, 121,21210,20, 0)(22xxxxxxxxF即对连续型随机变量，若已知 xF，我们通过求导 .xp第19页/共23页21设X是连续性随机变量，其分布密度为 otherxxxAxp020382（1）确定常数A的值;（2） 求 F(x)；(3)13 ;PX (4)1 .P X 解解 (1)1p x d x2200 xdxxA)38(202AxxA802)4(3281A0)2(x xXPxF00 xxd20 x 00 xdxXPxF)4(8132xx