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1、一、质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比一、质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比 (1)质点运动质点运动刚体定轴转动刚体定轴转动速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度质量质量 m , 力力 F转动惯量转动惯量 J , , 力矩力矩 MM力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能势能势能转动势能转动势能trvdd tdd tvadd tdd 221mvEk 221 JEk barFAd baMA dmghEp cpmghE 质点和刚体力学习题课质点和刚体力学习题课质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(2)质点运动质点运动刚体定轴转动

2、刚体定轴转动牛顿定律牛顿定律转动定律转动定律动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒动量守恒角动量守恒角动量守恒动能定理动能定理转动动能定理转动动能定理机械能守恒机械能守恒机械能守恒机械能守恒amF JM 00diiitivmvmtF const pkEE2022121mvmvA iiiiiivmvm02022121 JJA const pkEE tJJtM000d 00 JJ 参量参量运动运动规律规律动因动因时间时间规律规律空间空间规律规律能量能量关系关系速度：速度：dtrdV 角速度：角速度：dtd 加速度：加速度：22dtrda 角加速度：角加速度：22dtd 匀直：匀直：Vtss

3、0匀角速转动：匀角速转动：t 0匀变直：匀变直：atVV 02021attVs asVV2202 匀变速转动：匀变速转动：t 02021tt 2202 牛二律：牛二律：amF 转动定律：转动定律： JM 动量定理：动量定理：PdtFItt 21动量守恒：动量守恒： 00PF外外角动量定理：角动量定理：0)(21 JJMdttt 角动量守恒：角动量守恒： 00LM外外平动动能：平动动能：221mVEk 力的功：力的功： bardFA动能定理：动能定理：kEA 外外转动动能：转动动能：221 JEk 力矩的功：力矩的功： 21 MdA动能定理：动能定理：kEA 外外功能原理：功能原理：0EEAA

4、非保内非保内外外机械能守恒：机械能守恒：00 EAA非保内非保内外外注意：注意：1. 对于刚体，做功的还应有外力矩的功对于刚体，做功的还应有外力矩的功2. 机械能应为势能机械能应为势能+平动动能平动动能+转动动能转动动能二、有关概念二、有关概念：rVaVmP 21ttdtFI bardFA JL 21ttMdt221 JEk J质点系质点系 2iirm质量连续分布刚体质量连续分布刚体 Vdmr2记忆：记忆：均匀直杆：均匀直杆：2121mlJc 231mlJl 均匀圆盘：均匀圆盘：221mRJc 均匀球体：均匀球体：252mRJc 注意：注意：定轴转动刚体的转动惯量具有可加性。定轴转动刚体的转动

5、惯量具有可加性。复习复习1. 质点和刚体（质点和刚体（mass point, particle and rigid body） 物体不形变，不作转动（此时物体上各点的速度及加速度物体不形变，不作转动（此时物体上各点的速度及加速度 都相同，其任一点的运动可以代表物体所有点的运动）。都相同，其任一点的运动可以代表物体所有点的运动）。 物体本身的线度和它活动的范围相比小得很多（此时物体物体本身的线度和它活动的范围相比小得很多（此时物体 的形变及转动显得并不重要）。的形变及转动显得并不重要）。 2. 参考系参考系(reference system)和坐标系（和坐标系（coordinate system

6、） 对物体运动的描写决定于参考系而不是坐标系。对物体运动的描写决定于参考系而不是坐标系。 参考系选定后，选用不同的坐标系对运动的描写是相同的。参考系选定后，选用不同的坐标系对运动的描写是相同的。 直角坐标系（直角坐标系（rectangular coordinates） 自然坐标系（自然坐标系（natural coordinates） 平面极坐标平面极坐标(planar polar coordinates) 柱坐标系柱坐标系(cylindrical polar coordinates) 坐标系坐标系(spherical polar coordinates) kzjyixr 222zyxrr ,c

7、osrx ,cosry rz cos大小：大小：方向：方向： r3. 运动的绝对性和运动描述的相对性运动的绝对性和运动描述的相对性(absoluteness of motion and relativity of describing motion)4. 空间和时间（空间和时间（space and time） 空间：是与物体的体积和变化联系在一起的，是一切不同空间：是与物体的体积和变化联系在一起的，是一切不同位置的概括和抽象。反应了物体的广延性。位置的概括和抽象。反应了物体的广延性。 时间：是一切不同时刻的概括和总结。反应了物理世界的时间：是一切不同时刻的概括和总结。反应了物理世界的顺序性和持

8、续性顺序性和持续性5. 位置矢径和运动方程：位置矢径和运动方程：(position vector and motion equation)质点的空间位置可以用坐标系中的坐标来表示。质点的空间位置可以用坐标系中的坐标来表示。P 点坐标：点坐标： x , y , zP 点矢径：点矢径： r OP6. 运动方程和轨迹方程（运动方程和轨迹方程（motion equation and locus equation） 直角坐标系中：直角坐标系中： )( )()(jtyitxtr (2) 分量式分量式 )(txx )(tyy )(trr (1) 矢量式矢量式质点的质点的运动方程运动方程 位矢随时间的函数关系

9、。位矢随时间的函数关系。 只讨论平面运动的情况只讨论平面运动的情况 lim0 vvt (2) (2) 瞬时速度瞬时速度 (简称速度简称速度) 速度速度 = 位置矢量对时间的一阶导数。位置矢量对时间的一阶导数。 直角坐标系中：直角坐标系中： dd ddddjtyitxtrv 大小：大小： 22yxvvvv jvivyx v方向：方向：沿轨道的切线指向运动方向。沿轨道的切线指向运动方向。 tanxyvv lim0trt ddtr (1-7) (1-9) v yv xv Av 1B 2Br A B ABv lim0vvt 瞬时速率瞬时速率 = 平均速率的极限，平均速率的极限，或或 路程对时间的一阶导

10、数。路程对时间的一阶导数。(2) 瞬时速率瞬时速率 速度是速度是矢量矢量，速率是，速率是标量标量。 一般情况：一般情况： , rs 单向直线运动时：单向直线运动时： , rs ddtsv 10.平均速率和瞬时速率平均速率和瞬时速率 ( (average and instantaneous speed)(1) 平均速率平均速率 dd sr 瞬时速率瞬时速率 = 瞬时速度的大小。瞬时速度的大小。 tsv (1-6) vv vv (1-8) lim0tst ddts (1-8) ddtr ddtr v (2)(2) 瞬时加速度瞬时加速度 (简称加速度简称加速度) dd22tr 速度对时间的一阶导数速

11、度对时间的一阶导数直角坐标系中：直角坐标系中： 22yxaaaa jaiayx 方向：方向： 大小：大小： a tanxyaa (1-11) dd dd ddjtvitvtvyx dd dd dd222222jtyitxtr a(1-12) (1-13) lim0tvat ddtv 位矢对时间的二阶导数位矢对时间的二阶导数 1 1. 矢量性矢量性: :四个量都是矢量，有大小和方向，四个量都是矢量，有大小和方向，2 2. 瞬时性瞬时性: :3 3. 相对性：相对性：不同参照系中，同一质点运动描述不同；不同参照系中，同一质点运动描述不同； 注意：注意： 瞬时量瞬时量（不同时刻不同不同时刻不同）a,

12、 r, vr过程量过程量 arrv位矢位矢 、位移、位移 、速度、速度 、加速度、加速度 加减运算遵循平行四边形法则。加减运算遵循平行四边形法则。 不同坐标系中，具体表达形式不同。不同坐标系中，具体表达形式不同。 12.直角坐标系与自然坐标系直角坐标系与自然坐标系 （rectangular coordinates and natural coordinates ）13. 切向加速度和法向加速度（切向加速度和法向加速度（tangential acc. and normal acc.）14. 角量和线量角量和线量 (angular and linear)15. 匀变速直线运动和匀速圆周运动匀变速直

13、线运动和匀速圆周运动 （uniformly acceleration rectilinear motion and uniformly circular motion motion ） 二、二、 一维直线运动一维直线运动 沿直线取沿直线取 轴坐标轴坐标 x2. 2. 运动方程运动方程 1. 1. 位置坐标位置坐标 x3. 3. 位位 移移 12xxx 4. 4. 速速 度度 0 , i0 , i ddtxv 5. 5. 加速度加速度 dddd22txtva 1x2xx = x (t) ox x三、圆周运动三、圆周运动（circular motion）1. 1. 圆周运动的线量描述圆周运动的线量

14、描述 , )(tss , ddtvat (曲率半径曲率半径 R 是恒量是恒量)2. 2. 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 角坐标角坐标 Oxv sRP 单位：单位： rad , ddtsv , 22ntaaa 2Rvan 运动方程运动方程 )(t 0t 2 1 20tt 3. 3. 匀变速圆周运动匀变速圆周运动 tdd 常量常量 ， Rat常量常量 0tavvt 2 1 20tatvst (1-28) (1-27) 四、平面曲线运动四、平面曲线运动（plane curvilinear motion）一个任意的平面曲线运动，可以视为由一系一个任意的平面曲线运动，可以视为由一系 加速度：加速

15、度： nteeta 2ddvv 曲率半径曲率半径列小段圆周运动所组成。列小段圆周运动所组成。O2 2 1O1P1曲率圆曲率圆1曲率圆曲率圆2P21te1ne2ne2te运动轨迹运动轨迹质点运动学问题举例质点运动学问题举例运动学问题的基本类型：运动学问题的基本类型：1. 1. 已知运动方程，求质点的速度和加速度。已知运动方程，求质点的速度和加速度。运用微分方法运用微分方法 2. 2. 已知质点的速度已知质点的速度( 或加速度或加速度 ) 和初始条件，和初始条件， 求质点的运动方程及其它未知量。求质点的运动方程及其它未知量。 运用积分方法运用积分方法 运动学计算举例运动学计算举例 2R Oxyt

16、0 t P 例例1. 已知：质点运动方程：已知：质点运动方程： ) cos21 (tRx sintRy 求：求： (1) 轨迹；轨迹； (2) 速度；速度； (3) 加速度；加速度； (4) at ，an 。 解：解： (1) 将运动方程改写为：将运动方程改写为： , cos2tRRx sintRy 消去参数消去参数 t 得轨迹方程：得轨迹方程： )2(2 22 RyRx (圆周运动圆周运动) v xv yvt 2R Oxyt P (2) 求求 。 v由运动方程由运动方程 sinddtRtxvx cos ddtRtyvy jvivvyx cos sin jtRitR 大小：大小： 22Rvvv

17、yx 方向：方向： , cot tantvvxy 2t 得：得： ) cos21 (tRx sintRy v xv yvt 2R Oxyt P (3) 求求 a , cos dd 2tRtvaxx sin dd 2tRtvayy jaiaayx ) sin cos ( 2jti tR 大小：大小： 222Raaayx 方向：方向： , tan tantaaxy t (4) 求求 , , ntaav , 0dd tvat 22RRvan , Rvv a 例例 2.2. 已知已知: : , 0byvvvxy 求求: : 位矢方程位矢方程(运动方程运动方程)； 轨迹方程；轨迹方程； , yyat r

18、 0tv 2021tbvOxyP 解：解： (1) 0byvvvxy dddd 0bytxvty 由由 得：得： 0tvy 代入代入 得：得： , dd0tbvtx , d d0ttbvx x0 t0 2021 tbvx 位矢方程为：位矢方程为： jyixr 2 1 020jtvitbv (2) 由由 0tvy , 021tbvx 消去消去 t 得：得： 202vbyx OxyP r 0tv 2021tbv 220yvbx (3) 22yxvvv )(202vby )(2020vtbv ddtvat )( 2 2 1 202000vtbvbvtbv 202202vybyvb 22tnaaa )

19、(222tyxaaa tvaxxdd d)(dtby 0bv tvayydd 0dd0 tv )(222tyxnaaaa 202222044022204vybyvbvbyvb 202220vybbv 20222020222vybbvvybavn , 2 van )(20232022bvvyb , 0bvax , 0 ya 202202vybyvbat 例例 3. 3. 一质点沿一质点沿 x 轴运动轴运动，已知已知 a = 3 + 6 x2 ，当当 x = 0 时时 v = 0， 求：质点在任意位置时的速度。求：质点在任意位置时的速度。 解：解： ddtva d d tv dx dx ddxvv

20、 632x d)6(3 d 2xxvv v0 x0 )2(3 2132xxv 0v 0 x , 4632xxv 46 3xxv 例例4.4. 一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为 a0 0 ，以后加速以后加速 度均匀增加度均匀增加，每经过每经过 秒增加秒增加 a0 0 ，求：经过求：经过 t 秒后质点的速秒后质点的速 度和运动的距离。度和运动的距离。 , 00taaa 解：据题意知，加速度和时间的关系为：解：据题意知，加速度和时间的关系为： , dd tva d d tav d ) (000ttaavt 2 200tata v0 t0 , 2 200

21、tata ddtxv d)2( d200ttatax t0 x0 62 3020tatax 例例5.5. 一质点在一质点在 Oxy 平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。平面内作曲线运动，其加速度是时间的函数。 已知已知 ax= 2, , ay= 36 t 2。设质点设质点 t0 时时 r0 0 = 0，v0 0 = 0。 d 36 d , d 2 d2ttvtvyx , d 2 d00 tvxtvx 12 3 tvy 12 2 3jtitv dd , ddtvatvayyxx 解：解：(1) d 36 d020 tvyttvy , 2 tvx 求：求：(1) 此质点的运动方程；此质点的运动

22、方程；(2) 此质点的轨道方程，此质点的轨道方程，(3) 此质此质点的切向加速度。点的切向加速度。 dd , ddtyvtxvyx 所以质点的运动方程为：所以质点的运动方程为： , d 2dttx d12d 030 tytty , 2tx (2) 上式中消去上式中消去 t 得得 y = 3 x 2 即为轨道方程。可知是即为轨道方程。可知是抛物线抛物线。 d12d3tty , d2d00 txttx 34ty 2tx 34ty 3 42jtitr 12 , 2 3tvtvyx ddtvat 1444 6222ttvvvyx (3) 1444 8648 21 626tttt 361 2162 42

23、tt 例题例题6 6：一长一长L=4mL=4m，质量，质量M=150kgM=150kg的船，静止在湖面上。今有一的船，静止在湖面上。今有一质量为质量为m=50kgm=50kg的人，从船头走向船尾。求人和船相对于湖面的的人，从船头走向船尾。求人和船相对于湖面的移动距离。移动距离。解：解：设设t=0t=0时，人在船头，时，人在船头，t t时刻，时刻，人到达船尾。人到达船尾。船移动的距离：船移动的距离：dtVSt0tvdts0人移动的距离：人移动的距离：Ss例题例题7 7 质量为质量为m m的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，的小球系在绳子的一端，绳穿过铅直套管，使小球限制在一光滑水平面上运动。先

24、使小球一速度使小球限制在一光滑水平面上运动。先使小球一速度v v0 0绕绕管心作半径为管心作半径为r r0 0的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运的圆周运动，然后向下拉绳子，使小球运动半径变为动半径变为r r1 1。求小球的速度以及外力所作的功。求小球的速度以及外力所作的功。v0F r0 r1 角动量守恒角动量守恒动能定理：动能定理：例题例题8 8 由角动量守恒定律证明开普勒第二定律：由角动量守恒定律证明开普勒第二定律：rrd有心力作用角动量守恒有心力作用角动量守恒 证毕证毕力矩的计算举例力矩的计算举例例例 1 1：水平桌面上匀质细杆长：水平桌面上匀质细杆长 l ，质量，质量 m，绕一端垂直轴

25、转动，绕一端垂直轴转动， 已知摩擦系数为已知摩擦系数为 ，求：细杆受的摩擦力矩，求：细杆受的摩擦力矩 Mf 。 rrdmdfdO解：解： ddrlmm rglmgmfd d d frfrMd 2sind df 方向：方向： fM d d d 0 f f lrrglmfrMM 21lgm 例例 2 2：水平桌面上匀质薄圆盘半径：水平桌面上匀质薄圆盘半径 R ，质量，质量 m ，绕中心垂直轴，绕中心垂直轴 转动，已知摩擦系数为转动，已知摩擦系数为 ，求：圆盘受的摩擦力矩，求：圆盘受的摩擦力矩 MMf f 。解：解： 选细圆环，半径选细圆环，半径 r ，宽，宽 dr rrRmm d 2 d2 , d

26、 2 drrS rgmrfM d ddf 方向：方向： d 2 d02 ffrgrrRmMMR R 3 2 Rgm d 2 022 RrrRgm rdr(1) 转轴过中心与杆垂直转轴过中心与杆垂直 取质元：取质元： xlmmdd d d2222 llxlmxmrJ(2) 转轴过棒一端与棒垂直转轴过棒一端与棒垂直 31d d2022lmxlmxmrJl 转动惯量转动惯量J J 的计算举例的计算举例 例例1: 1: 匀质细杆的匀质细杆的 J 。 OxxOxdmxdxdmxd 1212lm 取质元：取质元： d dlm d d22lRmRJ 2 Rm RmO其中：其中： RlR 202 d 2 Rm

27、 例例 2 2: 均匀细圆环的均匀细圆环的 J (质量质量 m，半径，半径 R，轴过圆心垂直环面轴过圆心垂直环面)。 2 2RR dm取细圆环取细圆环 d 2 d0 322 RrrRmmrJ dd2mrJ 例例3: 3: 匀质薄圆盘的匀质薄圆盘的 J (质量质量 m ，半径半径 R ，轴过圆心垂直盘面，轴过圆心垂直盘面)。 2 Rm d 2 drrm 其中：其中： 212mR Rrdr d 2 2 2rrRmr 例例 1 1 :一匀质细杆长为一匀质细杆长为 L ，质量为，质量为M， 可绕通过可绕通过OO点的水平轴转动，点的水平轴转动，当杆从水平位置自由释放后当杆从水平位置自由释放后, , 它在

28、竖直位置上与放在光滑水平面的它在竖直位置上与放在光滑水平面的质量为质量为 m 的小滑块相撞的小滑块相撞 。求。求: : 相撞前后杆的角速度。相撞前后杆的角速度。解解: : 除重力外除重力外, , 其余内力与外力都不作功，其余内力与外力都不作功， 故故机械能守恒机械能守恒： 杆自由摆落的过程。杆自由摆落的过程。 21221 JLMg 功能关系功能关系计算举例计算举例有两个物理过程：有两个物理过程： 得：得： 31Lg COMLm )31 (21212 ML 碰撞时间极短碰撞时间极短, , 冲力极大冲力极大, , 系统对系统对 OO 轴的轴的角动量守恒角动量守恒，设顺时针为正：，设顺时针为正： )

29、31()31(2212 MLmvLML 碰撞过程碰撞过程 v得：得： 31 12LMvm 杆以角速度杆以角速度 与滑块与滑块 相碰，相碰，碰后杆的角速度变为碰后杆的角速度变为 ，滑块获得，滑块获得水平向左的速度水平向左的速度 。1 m2 v 0 0，顺时针顺时针； 2 0 0，逆时针逆时针 2 3 3 MLvmLg COMLm 例例 3 3 质量为质量为MM ，长，长 l 的匀质细杆一端悬挂于光滑的的匀质细杆一端悬挂于光滑的O点，质点，质量为量为 m 的子弹以水平速度的子弹以水平速度 v 从从 A 点射入杆并陷入其中，使杆转动点射入杆并陷入其中，使杆转动的最大角度为的最大角度为 30。已知。已

30、知 OA = l，求：子弹入射速度。，求：子弹入射速度。解：解： 两个物理过程两个物理过程 子弹以子弹以 v 射入杆内与杆获得共同角速度射入杆内与杆获得共同角速度 的过程，系统的过程，系统角动量守恒角动量守恒： )31(22lmMllmv 杆摆动过程仅重力矩做功，杆摆动过程仅重力矩做功，系统机械能守恒系统机械能守恒：)30cos1)(2()31(21222 lmglMglmMl 联立联立 解得：解得： )3)(2)(32(6122lmMllmMlglmv ov30Al Mgmg 例例4: 4: 定轴转动圆盘质量定轴转动圆盘质量 MM，半径，半径 R ，初角速，初角速 0 0 。一个质量。一个质

31、量 为为 m 的子弹以速度的子弹以速度 v 水平射入盘边缘并嵌入盘中，求：水平射入盘边缘并嵌入盘中，求：(1) 盘获盘获得的角速度；得的角速度；(2) 系统动能的改变；系统动能的改变；(3) 盘获得的冲量矩。盘获得的冲量矩。(1) 系统系统角动量守恒角动量守恒，设逆时针为正：，设逆时针为正： )21( )21(2202 mRMRmvRMR (2) )21(2121 )21 (212022222 MRmvmRMREk (3) 022)21()21( MRMRL 解：解： RMvm0 o三、三、应用应用-牛二律及转动定律：牛二律及转动定律：二者解决问题的方法相类：二者解决问题的方法相类：取研究对象

32、；取研究对象； 作受力分析；作受力分析； 列方程求解。列方程求解。常见的情况为两者的结合，主要形式有：常见的情况为两者的结合，主要形式有：（绳的一端（绳的一端固定于滑轮）固定于滑轮）1G1T1N0 f2G2T3G3N1T2Ta1G1T1N0 af2G2T3G1T3N2T1G1T2G2TG1TN2T1G1TGN1T 阶梯轮阶梯轮1R2R1Tgm1gm22T2T1TmgN 1a2a 分析受力后，应设定各分析受力后，应设定各物的加速度方向。物的加速度方向。物块：物块：2222amTgm 1111amgmT 滑轮：滑轮： JRTRT 1122连带条件：连带条件：111 Ra 222 Ra 21:且且1

33、Tgm1gm22TgM1N1T3TgM2N2T3T 1 2 1a2a连带条件：连带条件：111 Ra 222 Ra 21:aa 且且例例 1.1.求长链条从静止开始刚刚离开粗糙桌边时的速度。求长链条从静止开始刚刚离开粗糙桌边时的速度。 解：解：(1) 建坐标系如图建坐标系如图 注意：摩擦力作负功！注意：摩擦力作负功！f )( gxLLmNf drfALaf )21( 2LaxLxLmg )(2 2aLLmg d )( xxLLmgLa xOx xL 动力学计算举例动力学计算举例(2) 对链条应用动能定理：对链条应用动能定理： 2)( 2LaLmgAf 前面已得出：前面已得出： 2121202m

34、vmvAAAfp 212mv drPALap d xxLmgLa )(222aLLmg 21)(2 )(2 2222mvaLLmgaLLmg )()(222aLaLLgv 得：得： 例例 2. 2. 质量为质量为 2 kg 的质点在变力的质点在变力 (SI) 作用下，作用下， 12 i tF 从静止出发，沿从静止出发，沿 x 轴正向作直线运动。轴正向作直线运动。解：解：一维运动：一维运动： , d d 00 vvttav d00 ttavv d 00tmFt d 212 0ttt 32t d312 302tttA d 36330tt 94t J 729 求：前三秒内该力所作的功。求：前三秒内该

35、力所作的功。 d 00 ttavv , dd tva d30rFA d30tvF d 12 30 tvt例例3 ：如图，一质量为：如图，一质量为m 长为长为L 的匀质细杆，在水平面上绕其端的匀质细杆，在水平面上绕其端 点点 o 转动。若初始角速度为转动。若初始角速度为 0 ，细杆与水平面的滑动摩，细杆与水平面的滑动摩 擦系数为擦系数为 。 求：求： 细杆所受摩擦力矩；细杆所受摩擦力矩； 若细杆只受此摩擦力矩作用，它转动多少圈停止？若细杆只受此摩擦力矩作用，它转动多少圈停止？ O解：解： 在距轴为在距轴为l 处取一微元处取一微元dl dll则其质量为：则其质量为： dm = m/L dl分析此微

36、元受力情况。分析此微元受力情况。gdm Vdf此微元所受的摩擦力矩元为：此微元所受的摩擦力矩元为：dfldMf gdml ldlLmg 作用在细杆上的总摩擦力矩为：作用在细杆上的总摩擦力矩为： LffdMM0 LldlLmg0 mgL 21 方向：方向： 竖直向下。竖直向下。若设初始角速度方向为正，则若设初始角速度方向为正，则Mf 0dN 若细杆只受此摩擦力矩作用，它转动多少圈停止？若细杆只受此摩擦力矩作用，它转动多少圈停止？ LffdMM0 LldlLmg0 mgL 21 方向：方向： 0转动定律：转动定律： JM JM 23121mLmgL Lg23 匀变速转动规律：匀变速转动规律： 22

37、02当细杆停止转动时，角位移为：当细杆停止转动时，角位移为： 2020 gL 320 故：当细杆停止转动时，一共转过的圈数为：故：当细杆停止转动时，一共转过的圈数为： 2 ngL 620 Odllgdm VdfdN例例4：光滑水平面上放有一质量为：光滑水平面上放有一质量为M 的木块，木块与一劲度系数的木块，木块与一劲度系数 为为k 的弹簧相连，弹簧的另一端固定在的弹簧相连，弹簧的另一端固定在O 点。一质量为点。一质量为m 的的 子弹以初速子弹以初速V0 沿垂直于沿垂直于OA 的方向射向木块，并嵌在其内。的方向射向木块，并嵌在其内。 初始时弹簧原长为初始时弹簧原长为L0 ，撞击之后木块撞击之后木

38、块M 运动到运动到 B 点时，弹点时，弹 簧长度变为簧长度变为L ，此时此时 OBOA 。 求：在求：在B 点时木块点时木块M 运动速度的大小及方向。运动速度的大小及方向。oA0VB0LL解：解： 1. 子弹射入木块瞬间：子弹射入木块瞬间：以子弹、木块为研究对象以子弹、木块为研究对象, 0 xF则动量守恒：则动量守恒：1V10)(VMmmV 10()VmVmM2. 子弹与木块共同从子弹与木块共同从 A 至至B 的过程：的过程：oA0VB0LL1V)(01MmmVV 2. 子弹与木块共同从子弹与木块共同从 A 至至B 的过程：的过程：以子弹、木块、弹簧为对象以子弹、木块、弹簧为对象0 非保内非保

39、内外外AA则：机械能守恒。则：机械能守恒。V20221)(21)(21)(21LLkVMmVMm )()()(202202MmLLkMmVmV 0 外外M则：角动量守恒。则：角动量守恒。 LVMmLVMm )()(01LVMm sin)( )()(sin20202001MmLLkVmLLmV sinVV例例5：质量为：质量为m 的小圆环套在长为的小圆环套在长为l ，质量为质量为 M 的光滑均匀杆的光滑均匀杆AB 上。杆上。杆AB可以绕过其可以绕过其A 端的固定轴在水平面上自由旋转。开端的固定轴在水平面上自由旋转。开 始时，杆旋转的角速度为始时，杆旋转的角速度为 0 ，而小环位于，而小环位于A

40、点处；当小环受点处；当小环受 到一微小的扰动后，即沿杆向外滑行。到一微小的扰动后，即沿杆向外滑行。 求：当小环脱离杆时的速度（方向用与杆的夹角求：当小环脱离杆时的速度（方向用与杆的夹角 表示）表示）ABlmM0 解：解：全过程角动量守恒、机械能守恒。全过程角动量守恒、机械能守恒。1. 环自环自A运动至运动至B（脱离杆之前），脱离杆之前）， B 处两者具有相同的角速度处两者具有相同的角速度 1角动量守恒：角动量守恒：1100 JJ 031:20 MlJ其中其中22131mlMlJ )3(01mMM 2. 环脱离杆。环脱离杆。设：脱离后瞬间，杆具角速度设：脱离后瞬间，杆具角速度 2 ，环具速度，环

41、具速度V（与杆夹角与杆夹角 ）V ABlmM0 V )3(01mMM 2. 环脱离杆。环脱离杆。设：脱离后瞬间，杆具角速度设：脱离后瞬间，杆具角速度 2 ，环具速度，环具速度V（与杆夹角与杆夹角 ）角动量守恒：角动量守恒：lVmJJ sin22112231:MlJ 其中其中连带关系：连带关系： VV sin VV sinl2 21 机械能守恒：机械能守恒：2222200212121mVJJ )23(30MmMmMlV )23(sin1MmMM 例例6：有一轻绳跨过质量可略去不计的定滑轮。绳的一端系一重：有一轻绳跨过质量可略去不计的定滑轮。绳的一端系一重 物，另一端有一人抓住绳子。设此人由静止以

42、相对绳子的物，另一端有一人抓住绳子。设此人由静止以相对绳子的 速度速度u匀速向上爬。匀速向上爬。 求：重物相对地面的速度。设人与重物的质量相等。求：重物相对地面的速度。设人与重物的质量相等。mm解：解：由于人匀速运动且与木块质量相同，故由于人匀速运动且与木块质量相同，故：滑轮两端绳子的张力相等。滑轮两端绳子的张力相等。1T2T21TT 即：即：对滑轮轮轴的转动：对滑轮轮轴的转动：0)(12 RTTM外外则角动量守恒。则角动量守恒。设：竖直向上为正方向。设：竖直向上为正方向。正向正向人：人： 相对绳的速度为相对绳的速度为u ;设绳相对于地面的速度为设绳相对于地面的速度为-u; 则：人相对于地面的

43、速度为：则：人相对于地面的速度为：物：物： 相对绳的速度为相对绳的速度为; 绳相对于地面的速度为绳相对于地面的速度为u；则：物相对于地面的速度为：则：物相对于地面的速度为：1uuV 02 u22uuV u 人相对于地面的速度为：人相对于地面的速度为：V1=u-u物相对于地面的速度为：物相对于地面的速度为：mm1T2T正向正向V2=u角动量守恒：角动量守恒：RmVRmV210 ) (mRuuumR uu21 即：物块对地面的速度为：即：物块对地面的速度为：uuV212 且：人对地面的速度为：且：人对地面的速度为：uuuV211 相同相同 把演员视为质点把演员视为质点, a 、b 和跷和跷 板作为

44、一个系统板作为一个系统, 以通过点以通过点C 垂直平面的轴为转轴。垂直平面的轴为转轴。 由于作用在系统上的合外力由于作用在系统上的合外力 矩为零，故矩为零，故 系统角动量守恒系统角动量守恒：例例7. 演员演员a 从高从高 h 处自由下落至处自由下落至 A，求演员，求演员 b 被翘板弹起被翘板弹起所达到的高度所达到的高度 2 )(2 lvmJJlvmbaa 板板 演员演员a 从高从高 h 处自由下落至处自由下落至 A ，机械能守恒机械能守恒： 21 2avmhgm 解：解： 共有三个物理过程共有三个物理过程 bhaCABlMmm2/ l其中：其中： , 12 12 lMJ 板板 2 2 gvhb

45、 这样演员这样演员 b 将以速率将以速率 v b 跳起，跳起， 达到的高度达到的高度 h 为：为： 211212 22mlMllvma , ) 2 ( 2lmJa 2lvb 联立解联立解 得得 演员演员 b 向上运动达最大高度向上运动达最大高度 h，机械能守恒机械能守恒： 212 hgmvmb )6(26 lmMghm 8 22gl 632hmMm 例例8：图示系统中，已知斜面倾角：图示系统中，已知斜面倾角 、物块质量、物块质量m、滑轮的转动惯滑轮的转动惯 量量J、滑轮半径滑轮半径R、弹簧劲度系数弹簧劲度系数k 。设：斜面光滑；初始状设：斜面光滑；初始状 态时物块态时物块m静止，弹簧为原长。静止，弹簧为原长。 求求： 物块运动至何处时达到最大速度？最大速度是多少？物块运动至何处时达到最大速度？最大速度是多少？ 物块下落的最远位置在哪里？物块下落的