BBD二阶常系数非齐次PPT课件

1、1二阶线性常系数第六节第六节二、二、 第四章 一、非齐次微分方程三、三、第1页/共23页2二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法第2页/共23页3一、一、特征方程令：令：令：其中是 x 的 m多项式第3页/共23页4例例1.的通解.解解: 先求Y特征方程为设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为对应齐次方程的通解为：再求 y*,通解为第4页/共23页5例例2：的通解解解: 先求Y特征方程为设所求特解为对应齐次方程的

2、通解为：再求 y*,代入方程整理得 :矛盾！问题是 y* 所设，本题与例1的区别在于题中缺 y 项。设第5页/共23页6将将代入原方程比较系数, 得于是所求特解为通解为若有初始条件求特解将初始条件代入整理得特解为第6页/共23页7例例3：的通解解解: 先求Y特征方程为设所求特解为代入方程 :于是所求特解为对应齐次方程的通解为：再求 y*,通解为第7页/共23页8二、二、 为实数 ,设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 (1) 若 不是特征方程的根, 则取从而得到特解形式为为 m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式第8页/共23页9(2) 若 是特征方程的单根 , 为

3、m 次多项式,故特解形式为(3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为小结小结对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解第9页/共23页10例例1：的通解。解解: 先求Y特征方程为设所求特解为代入方程 :比较系数, 得于是所求特解为对应齐次方程的通解为：再求 y*,通解为第10页/共23页11例例2. 的通解. 解解: 本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为特解为代入方程比较系数, 得所求通解为若设非齐次方程特解为代入方程比较系数, 得矛盾第11页/共23页12例例3. 求方程求方程的通解. 解解: 本题

4、特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数 , 得因此特解为代入方程得所求通解为第12页/共23页13例例4 求满足求满足且在原点处与直线相切的曲线表达式。解解: 先求Y特征方程为设所求特解为代入方程整理得 :比较系数, 得于是所求特解为再求 y*,通解为对应齐次方程的通解为第13页/共23页14由题意可得初始条件由题意可得初始条件：代入代入所求曲线方程为：例例4：求满足且在原点处与直线相切的曲线表达式。第14页/共23页15可以证明可以证明具有如下形式的特解其中 a , b 为待定系数。 k 的取法规则是： 取取对应齐次方程的特征方程的特征根上述结论也可推广到高阶方程的情

5、形. 三、三、其中均为常数。第15页/共23页16例例1 求微分方求微分方程程的通解此方程对应的齐次方程的特征方程特征根设将代入原方程，整理后并约去非零因式对应的齐次方程的通解解解第16页/共23页17比较两端的同类项系数，比较两端的同类项系数，得得方程的特解方程的通解得第17页/共23页18例例2. 的通解. 解解: 特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数, 得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的根 ,因此设非齐次方程特解为第18页/共23页19例例3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解特征根:齐次方程通解:令非齐次方程特解为代入方程可得原方程通解为解解特征方程第19页/共23页20例例4.且满足方程提示提示: 则问题化为解初值问题:最后求得第20页/共23页21例例5 求求的通解解：解：由由设代入上式整理得：通解：第21页/共23页22内容小结内容小结 为特征方程的 k (0, 1,