直线平面的相对位置ppt课件

1、 第三章 直线、平面的相对位置南昌理工学院南昌理工学院 机械制图教研室机械制图教研室 概述概述 本章小结本章小结终了放映目 录 3.1 3.1 平行关系平行关系 3.1.1 3.1.1 直线与平面平行直线与平面平行 3.1.2 3.1.2 平面与平面平行平面与平面平行 3.2 3.2 相交关系相交关系 3.2.1 3.2.1 直线与平面相交直线与平面相交 3.2.2 3.2.2 普通位置直线与普通位置平面相交普通位置直线与普通位置平面相交 3.2.3 3.2.3 两平面相交两平面相交 3.3 3.3 综合举例综合举例 举例一举例一 举例二举例二 举例三举例三 举例四举例四 本章讨论直线与平面、

2、平面与平面的本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影，包括以下内容：相对位置关系及其投影，包括以下内容： 1 1平行关系：直线与平面平行，平行关系：直线与平面平行， 两平面平行。两平面平行。 2 2相交关系：直线与平面相交，相交关系：直线与平面相交， 两平面相交。两平面相交。 概 述 本章主要学习直线与平面和两平面间的相本章主要学习直线与平面和两平面间的相对位置的投影特点及作图，是学习后续内容的对位置的投影特点及作图，是学习后续内容的根底。本章总的要求是：掌握特殊位置的直线根底。本章总的要求是：掌握特殊位置的直线于平面之间和两平面之间各种相对位置的投影于平面之间和两平面之间各种相对

3、位置的投影特点及其作图方法特点及其作图方法3.1.1 3.1.1 直线与平面平行直线与平面平行定理定理: : 假设不断线平行于平面上的某不断线，假设不断线平行于平面上的某不断线，那么该直线与此平面必相互平行。那么该直线与此平面必相互平行。3.1 3.1 平行关系平行关系 由于由于efad，e f a d ，即即EFAD，且，且AD是是ABC平面上的不时平面上的不时线，所以，直线线，所以，直线EF平行于平行于ABC平面。平面。 例例11过点过点k k，作一条程度线平行于，作一条程度线平行于ABCABC平面。平面。 步骤：步骤：1 1在在ABCABC平面内平面内作一程度线作一程度线ADAD；2 2

4、过点过点K K作作 KLAD KLAD；3 3直线直线KLKL 即为所求。即为所求。ddllkkaabebcX 例例2 2 试判别试判别: :直线直线ABAB能否平行于四棱锥的侧外表能否平行于四棱锥的侧外表SCFSCF。作图步骤：作图步骤：1 1作作c cm maab b ；2 2根据根据CMCM在平面在平面SCFSCF内，作出内，作出cmcm；3 3由于由于cmcm不平不平行于行于abab，即在该，即在该平面内作不出与平面内作不出与ABAB平行的直线，平行的直线，所以，直线所以，直线ABAB不不平行于四棱锥侧平行于四棱锥侧外表外表SCFSCF。3.1.2 3.1.2 平面与平面平行平面与平面

5、平行 两平面相平行的条件是：假设一平面上的两两平面相平行的条件是：假设一平面上的两条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线，那么此两平面平行。线，那么此两平面平行。 由于：由于：ABDEABDE，BCEF BCEF ，所以：平面所以：平面ABC ABC 和平面和平面DEF DEF 相平行。相平行。例例3过点过点K作一平面，是其与平面作一平面，是其与平面ABC平行。平行。解：只需过解：只需过K点作两条相交直线分别平行于点作两条相交直线分别平行于ABC的两的两条边，那么这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。条边，那么这两条相交直线所确定的平面就是所求

6、平面。作图步骤：作图步骤：2 2作作KDACKDACk kd daac c,kdac,kdac; ;acacbbkkllddX1 1作作KLBCKLBCk kl lbbc c, , klbcklbc; ;3 3平面平面KDLKDL即为所求。即为所求。3.2.1 3.2.1 直线与平面相交直线与平面相交 3.2 3.2 相交关系相交关系 1 1 利用积聚性求交点利用积聚性求交点 当平面或直线的投影有积聚性时，当平面或直线的投影有积聚性时，交点的两个投影中有一个可直接确定，交点的两个投影中有一个可直接确定，另一个投影可用在直线上或平面上取点另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。的方法求出。

7、 平面为特殊位置平面为特殊位置 例例 求直线求直线MNMN与平面与平面ABCABC的交点的交点K K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC ABC 是一正垂面，是一正垂面，其其V V 投影积聚成一条直线，投影积聚成一条直线，该直线与该直线与m mn n 的交点即的交点即为为K K点的点的V V 投影。投影。1 1求交点。求交点。2 2判别可见性。判别可见性。由由V投影可知，投影可知，km 段段在平面上方，故在平面上方，故H投影上投影上km为可见。为可见。还可经过重影点判别可见性。还可经过重影点判别可见性。作作 图图直线直线EFEF为正垂线时为正垂线时例例1求直

8、线求直线MN 与铅垂面与铅垂面P 的交点。的交点。解解:平面平面P为铅为铅垂面，垂面，PH有积有积聚性，故聚性，故mn与与PH的交点的交点k 即即为交点为交点K 的的H 投影。投影。k由于交点由于交点K必在直必在直线线MN上，故可用上，故可用在直线上取点的方在直线上取点的方法，由法，由k求出求出k。规定：在求用迹线规定：在求用迹线表示的平面的交点表示的平面的交点和交线时，不用分和交线时，不用分辨可见性。辨可见性。k例例2求直线求直线MN与四棱柱外表与四棱柱外表ABCD和和ABEF的交点。的交点。解：解：ABCD为程度面，其为程度面，其V投影有积聚性；投影有积聚性；ABEF为铅为铅垂面，其垂面，

9、其H投影有积聚性，投影有积聚性，故此题可用平面的积聚性求故此题可用平面的积聚性求解。解。作图步骤：作图步骤：1 1求求m mn n 与与a ab bc cd d 的交点的交点k k ；2 2根据根据k k，在，在mnmn上求得点上求得点k k，那么点那么点K Kk,kk,k 就是就是MNMN与与ABCD ABCD 的交点；的交点；3 3求求mnmn与与abefabef的交点的交点l l ；4 4根据根据l l，在，在m mn n上求得点上求得点l l，那么点，那么点L Ll,ll,l 就是就是MNMN与与ABEFABEF的交点；的交点；5 5因直线因直线MNMN穿通四棱柱，所以穿通四棱柱，所以

10、线段线段KLKL之间部分的投影均为不之间部分的投影均为不可见。可见。 普通位置直线与普通位置平面相交，普通位置直线与普通位置平面相交，其投影都没积聚性，那么采用换面法：其投影都没积聚性，那么采用换面法： 将普通位置直线或平面变成投影面的将普通位置直线或平面变成投影面的垂直线或垂直面，在新的投影体系中利用垂直线或垂直面，在新的投影体系中利用积聚性直接求得交点的投影。然后利用所积聚性直接求得交点的投影。然后利用所得交点的投影前往到原体系当中，即可求得交点的投影前往到原体系当中，即可求的平面与直线的交点。的平面与直线的交点。3.2.2 3.2.2 普通位置直线与普通位置平面相交普通位置直线与普通位置

11、平面相交例例3求普通位置直线求普通位置直线MN与普通位置平面与普通位置平面ABC的交点。的交点。解：根据上述分析，应采解：根据上述分析，应采用换面法将平面用换面法将平面ABC变换变换成投影面垂直面，这样就成投影面垂直面，这样就可以在新的投影体系中直可以在新的投影体系中直接求得交点的投影。接求得交点的投影。作图步骤：作图步骤：1 1在平面在平面ABCABC上作程度线上作程度线ADADad,aad,a d d ; ;2 2作作X1X1轴垂直于轴垂直于ad;ad;3 3求出直线求出直线MNMN和平面和平面ABCABC在在V1V1投影面上的新投投影面上的新投影影m1m1 n1 n1和和a1a1 b1

12、b1 c1c1 ；4 4求出求出m1m1 n1 n1和和a1a1 b1b1 c1 c1 的交点的交点k1k1 ；5 5根据根据k1k1求出求出k k，再由，再由k k求出求出k k，那么点，那么点K Kk,kk,k 就是直线就是直线MNMN与与平面平面ABCABC的交点；的交点；6 6取取H H面的重影点面的重影点1 1、2 2判别直线判别直线MN MN 的的H H 投影投影的可见性。的可见性。7 7取取V V面的重影点面的重影点3 3、4 4判别直线判别直线MN MN 的的V V 投影投影的可见性。的可见性。3.2.3 3.2.3 两平面相交两平面相交1 1 普通位置平面与特殊位置平面相交普

13、通位置平面与特殊位置平面相交 在两平面之一有积聚性的情况下，在两平面之一有积聚性的情况下，可以在没有积聚性的那个平面上取两可以在没有积聚性的那个平面上取两条直线，分别求这两条直线与有积聚条直线，分别求这两条直线与有积聚性的那个平面的交点，那么这两个交性的那个平面的交点，那么这两个交点的连线就是两平面的交线。点的连线就是两平面的交线。例例4求普通位置平面求普通位置平面ABC与铅垂面与铅垂面DEF的交线。的交线。解：由图可见，只需求出解：由图可见，只需求出ABC上的两条直线上的两条直线AB、AC和和DEF 的交点的交点M、N ，就可以求得两平面的交，就可以求得两平面的交线。线。作图步骤：作图步骤：

14、1 1利用积聚性求利用积聚性求ABAB与与DEFDEF的交点的交点M M m,mm,m ；2 2利用积聚性求利用积聚性求ACAC与与DEFDEF的交点的交点N N n,nn,n ；3 3衔接衔接MN MN mn,mmn,m n n 就可得到两平面的就可得到两平面的交线；交线；4 4取直线取直线ABAB和和DFDF在在V V面上的重影点面上的重影点1 1 2 2，分辨可见性：分辨可见性： 由图可见，点由图可见，点1 1在点在点2 2的前面，故的前面，故b b m m为为可见，为可见，为m m l l 不可见。由于过重影点的两线不可见。由于过重影点的两线段的投影之可见性必不一样，因此可以确定其段的

15、投影之可见性必不一样，因此可以确定其他各边的可见性。他各边的可见性。 例例55求普通位置直线求普通位置直线ABCABC与正垂面与正垂面P P 的交线。的交线。解：解：P 平面为正垂平面为正垂面，可以利用面，可以利用PV 的的积聚性，直接求出积聚性，直接求出交线的交线的V 投影投影m n，再由，再由m n 求得求得mn。由于由于P 平面是平面是用迹线表示的平面，用迹线表示的平面，故不需求判别其可故不需求判别其可见性。见性。例例6 6求证垂面求证垂面P P与三棱柱外表的交线。与三棱柱外表的交线。解解:求求P 平面与三棱平面与三棱柱外表的交线，只柱外表的交线，只需求利用积聚性求需求利用积聚性求出三条

16、棱边出三条棱边AA1、AB、AC 和和P 平面平面的交点的交点D、E、F，然后将交点依次衔然后将交点依次衔接即可。接即可。作图步骤：作图步骤：1 1利用积聚性求直线利用积聚性求直线AA1AA1与与P P 平面的交点平面的交点d,dd,d,d,d ；3 3用同样的方法用同样的方法求出求出F F f, ff, f, , f f ；4 4顺序衔接点顺序衔接点D D、E E、F F 的同面投影，的同面投影，就可求得就可求得P P 平面与平面与三棱柱外表的交线。三棱柱外表的交线。2 2利用积聚性求直线利用积聚性求直线ABAB与与P P 平面的交点平面的交点E E，其过，其过程为先求程为先求e e， 根据

17、根据e求出求出e，再跟据，再跟据e求出求出e； 例例77三棱锥三棱锥SABC SABC 被铅垂面被铅垂面Q Q 切去一角，试完切去一角，试完成其主、左视图。成其主、左视图。解：平面解：平面Q为铅垂面，为铅垂面，只需利用积聚性求得只需利用积聚性求得Q 平面与三棱锥三条平面与三棱锥三条棱边棱边SA 、AB、AC的交点的交点D、E、F，然，然后将其顺序衔接即可。后将其顺序衔接即可。作图步骤：作图步骤：1 1求求D D、E E、F F得得H H投影投影d d、e e、f f；2 2由由d d、e e、f f求出求出d d、e e、f f ；3 3由由e e、f f求出求出e e、f f ；4 4由由d

18、 d求出求出d d ；5 5顺序衔接顺序衔接D D、E E、F F的同面投影即可。的同面投影即可。2 2 两个普通位置平面相交两个普通位置平面相交 两普通位置平面的投影都没有积两普通位置平面的投影都没有积聚性，所以其交线不能直接求出。处聚性，所以其交线不能直接求出。处置此类问题的思绪是采用换面法，将置此类问题的思绪是采用换面法，将两相交平面之一变换为投影面垂直面，两相交平面之一变换为投影面垂直面，这样就可以利用积聚性在新的投影体这样就可以利用积聚性在新的投影体系中直接求得交线的一个投影，然后系中直接求得交线的一个投影，然后将其前往原投影体系中，即可求得两将其前往原投影体系中，即可求得两平面的交

19、线。平面的交线。 例例88求两普通位置平面求两普通位置平面ABC ABC 和和DEF DEF 的交线。的交线。解解: :将平面将平面ABCABC变换成投变换成投影面垂直面，即可求得影面垂直面，即可求得交线的一个投影。交线的一个投影。作图步骤：作图步骤：1 1在平面在平面ABCABC上作程上作程度线度线ANANan,aan,a n n ；2 2作作X1X1轴垂直于轴垂直于anan；3 3求出求出ABCABC和和DEFDEF在在V1V1面上的新投影面上的新投影 a1a1 b1 b1 c1 c1 和和 d1d1 e1 e1 f1 f1 ；6 6利用利用V1V1投影直接投影直接判别判别H H 投影的可

20、见性；投影的可见性；利用重影点利用重影点1 1 ,2 ,2 和和 3 3, 4, 4 判别投判别投影的可见性。影的可见性。4 4求出求出a1a1 b1 b1 c1 c1 和和d1d1 e1 e1 f1 f1 的交线的交线k1k1 l1 l1 ；5 5根据根据k 1k 1 l 1 l 1 求出求出klkl，再根据，再根据kl kl 求求出出k k l l ，那么直线，那么直线 KLKLkl, kkl, k l l 就是两平面的交线；就是两平面的交线；3.3 3.3 综合举例综合举例 本节给出了用换面法处置一些较复杂的本节给出了用换面法处置一些较复杂的相对位置问题的一些例子。相对位置问题的一些例子

21、。 例例11求点求点M M与直线与直线ABAB之间的间隔之间的间隔 。解：由图可见，求点解：由图可见，求点 M 与与直线直线AB 间的间隔间的间隔 ，应由，应由点向直线点向直线AB引垂线，交引垂线，交AB于于K点，那么线段点，那么线段MK 即为点即为点M与直线与直线AB 间的间间的间隔隔 。 当直线当直线AB垂直于某垂直于某一投影面时，那么线段一投影面时，那么线段MK必平行于该投影面，且在必平行于该投影面，且在该投影面上的投影反映实该投影面上的投影反映实长。长。m baabXm图所示直线图所示直线AB为程度线，假设求点为程度线，假设求点M到直线到直线AB的间隔的间隔 ，应进展一次投影换面，将直

22、线，应进展一次投影换面，将直线AB变换变换为投影面垂直线，那么在新的投影体系中，即可求为投影面垂直线，那么在新的投影体系中，即可求出点出点M与直线与直线AB 之间的间隔之间的间隔 的实长。将其前往原的实长。将其前往原投影体系中，就可求出间隔投影体系中，就可求出间隔 的投影。的投影。AKBA(b)(k)MmHmbaabXmkkmbaa bXmX1H V1(b1(b1) )a1k1m1作图步骤：作图步骤：1 1取新投影轴取新投影轴X1X1垂直于垂直于abab，求出点，求出点M M与直线与直线ABAB的新的新投影投影m1m1 和和a1a1 b1 b1 ; ;2 2由点由点M M向直线向直线ABAB作

23、垂作垂线，与直线线，与直线ABAB相交于点相交于点K K，点点K K在新投影体系中的投在新投影体系中的投影影k1k1 与与a1a1 b1 b1 重重合，衔接合，衔接m1m1 k1 k1 即即为所求间隔为所求间隔 的实长；的实长；3 3自自m m引直线平行于引直线平行于X1X1轴，与轴，与abab相交于相交于k k ；4 4由由k k求出求出k k ，那么，那么可求得点可求得点M M与直线与直线ABAB的的间隔间隔 MK MK mk, mmk, m k k 。 例例2 2 求点求点S S 到平面到平面ABC ABC 的间隔的间隔 。解：求点到平面的间隔解：求点到平面的间隔 ，需自该点向平面作垂，

24、需自该点向平面作垂线，求出该垂线与平面相交的的垂足，那么该线，求出该垂线与平面相交的的垂足，那么该点到垂足的间隔点到垂足的间隔 ，即为所求点到平面的间隔，即为所求点到平面的间隔 。如图如图a可见，当平面垂直于某一投影面时，可见，当平面垂直于某一投影面时，那么由点那么由点M向平面所作的垂线向平面所作的垂线MK为该投影面为该投影面的平行线，且在该投影面上的投影反映实长。的平行线，且在该投影面上的投影反映实长。图图b所示的平面所示的平面ABC为普通位置平面，为普通位置平面，求点求点S到平面的间隔到平面的间隔 时，应先把点时，应先把点S和和ABC平平面作一次换面，使平面面作一次换面，使平面ABC在新的

25、投影体系中在新的投影体系中为投影面垂直面，再由点为投影面垂直面，再由点S向平面向平面ABC作垂线，作垂线，那么垂足那么垂足L和点和点S的连线的连线SL即为所求点即为所求点S到平面到平面ABC的间隔的间隔 。作图步骤：作图步骤：1 1在在ABC ABC 平面上作程度线平面上作程度线CDCD cd , c cd , c d d ；2 2取取X1X1轴垂直于轴垂直于cdcd，在，在V1V1投影面上求出投影面上求出s1s1 和和 a1a1 b1 b1 c1 c1积聚为不时线；积聚为不时线；3 3自自s1s1引引a1a1 b1 b1 c1 c1 的垂线与之相交于的垂线与之相交于l1l1 ，那么，那么s1

26、s1 l1 l1 即为所求间隔即为所求间隔 的实长；的实长；4 4自自s s 作作X1X1的平行线，并在其上根据的平行线，并在其上根据l1l1 求出求出l l ；5 5用取面上点的方法求出用取面上点的方法求出l l ，那么线段，那么线段SLSLsl ,ssl ,s l l 即为所求点到平面的间隔即为所求点到平面的间隔 。例例3 3求平面求平面ABCABC和平面和平面ABDABD间的夹角。间的夹角。解解:由图由图a可见，当两平面同时垂直于可见，当两平面同时垂直于某投影面时，这两个平面在此投影面上某投影面时，这两个平面在此投影面上的投影反映两平面夹角的真实大小。要的投影反映两平面夹角的真实大小。要使两平面同时变换为投影面垂直面，只使两平面同时变换为投影面垂直面，只需将它们的交线变