第6章 曲线与曲面

1、第六章第六章 曲线和曲面曲线和曲面6.1 6.1 曲线曲线1. 1. 曲线的形成与分类曲线的形成与分类 曲线可分成两类：所有的点都位于同一平面上的曲线称曲线可分成两类：所有的点都位于同一平面上的曲线称为为平面曲线平面曲线；连续四点不在同一平面上的曲线称为；连续四点不在同一平面上的曲线称为空间曲线空间曲线。平面曲线平面曲线空间曲线空间曲线2.2.曲线的投影曲线的投影 曲线的投影，在一般情况下仍为曲线。曲线的投影，在一般情况下仍为曲线。 当平面曲线所在的平面垂直于投影面时，则曲当平面曲线所在的平面垂直于投影面时，则曲线的投影积聚为一直线；线的投影积聚为一直线； 当平面曲线所在的平面平行于投影面时，

2、那当平面曲线所在的平面平行于投影面时，那么它的投影反映曲线的实形。么它的投影反映曲线的实形。 6.1 曲线曲线 例题例题1 如图如图6.1所示，已知所示，已知三角形三角形PQR平面内的平面曲线平面内的平面曲线AE的水平投影，求作这条平的水平投影，求作这条平面曲线的正面投影。面曲线的正面投影。作平面内的平面曲线作平面内的平面曲线AEAE的正面投影的正面投影(a)(a)已知条件已知条件作图过程和作图结果作图过程和作图结果解解在曲线在曲线AE的水平投影的水平投影ae上取上取点点b、c、d，过，过a、b、c、d、e作作正平线，分别与正平线，分别与qr交得交得1、2、3、4、5。将。将a1 1延伸，与延

3、伸，与pq交得交得f。过过1、2、3、4、5引正面投影引正面投影的连线，分别与的连线，分别与qr交得交得1、2、3、4、5；由；由f引正面投影的连引正面投影的连线，与线，与pq交得交得f，连，连1和和f；过；过2、3、4、5分别作分别作1f的平行的平行线。从线。从a、b、c、d、e分别引正分别引正面投影的连线，顺次与面投影的连线，顺次与1f及其及其平行线交得平行线交得a、b、c、d、e。用曲线板将用曲线板将a、b、c、d、e顺序连成光滑曲线，即为所求顺序连成光滑曲线，即为所求的曲线的曲线AE的正面投影。的正面投影。6.1.2 曲线的投影曲线的投影6.1.3 6.1.3 圆的投影圆的投影 当平面

4、上圆与投影面的相对位置不同，其投影也不相当平面上圆与投影面的相对位置不同，其投影也不相同。平行于投影面的圆在该投影面上的投影反映圆的实形，同。平行于投影面的圆在该投影面上的投影反映圆的实形，而倾斜于投影面的圆在该投影面上的投影为椭圆。而倾斜于投影面的圆在该投影面上的投影为椭圆。 例题例题2 如图如图6.2所示，所示，已知直径为已知直径为24mm24mm的铅垂圆的圆心的铅垂圆的圆心C的两面投影，的两面投影，圆平面与圆平面与V V面的倾角为面的倾角为30，水平直径，水平直径的方向是从左后往右前，作出这个铅的方向是从左后往右前，作出这个铅垂圆的水平投影和正面投影。垂圆的水平投影和正面投影。解解按给定

5、条件作出铅垂圆的两面投影按给定条件作出铅垂圆的两面投影(a)(a)已知条件已知条件作图过程和作图结果作图过程和作图结果以以c为中点、按从左后往右为中点、按从左后往右前的方向作与前的方向作与OX轴成轴成30角角的直线，由的直线，由c向两侧量取向两侧量取12，得得a和和b，即为这个铅垂圆的，即为这个铅垂圆的有积聚性的水平投影。有积聚性的水平投影。作作O1X1ab，换面，由，换面，由c和和c作出作出c1。以以c1为圆心作直径为圆心作直径24的圆，的圆，即为该圆的真形。过即为该圆的真形。过c1分别分别作作O1X1轴的平行线轴的平行线a1b1和垂和垂直线直线d1e1 ，就是这个圆的水，就是这个圆的水平直

6、径平直径AB和铅垂直径和铅垂直径DE的的V1面投影。面投影。过过c作水平线和铅垂线；作水平线和铅垂线；由由a、b作垂直于作垂直于OX轴的投影轴的投影连线，与过连线，与过c的水平线交得的水平线交得a、b；在过；在过c的铅垂线上，的铅垂线上，由由c向两侧各量取向两侧各量取12，得，得d、e。在反映圆的真形的在反映圆的真形的V1 1面投面投影上，任取一系列的点，将影上，任取一系列的点，将这些点返回，即得圆周上一这些点返回，即得圆周上一系列点的两面投影，顺次光系列点的两面投影，顺次光滑连接滑连接V V面投影中的点，即面投影中的点，即得所求的铅垂圆的正面投影得所求的铅垂圆的正面投影椭圆。椭圆。6.1.3

7、 6.1.3 圆的投影圆的投影 例题例题3 如图如图6.3所示，所示，在平行四边形在平行四边形IJKL内有一内有一个圆，已知圆心个圆，已知圆心C的正面的正面投影投影c，直径为，直径为28mm，求，求作这个圆的两面投影。作这个圆的两面投影。解解按给定条件作平行四边形上的圆的两面投影按给定条件作平行四边形上的圆的两面投影(a)(a)已知条件已知条件作图过程和作图结果作图过程和作图结果作圆心作圆心C C的水平投影的水平投影c c。作圆的水平投影椭圆作圆的水平投影椭圆。作圆的正面投影椭圆作圆的正面投影椭圆。6.1.3 圆的投影圆的投影6.2 6.2 曲面的形成和分类曲面的形成和分类1.1.曲面的形成曲

8、面的形成v 曲面可以看成是一动线运动的轨迹。运动的直线或曲面可以看成是一动线运动的轨迹。运动的直线或曲线称母线，母线在曲面上任一位置称为素线。当母线曲线称母线，母线在曲面上任一位置称为素线。当母线作规则运动而形成的曲面，称为规则曲面。控制母线运作规则运动而形成的曲面，称为规则曲面。控制母线运动的点、线、面分别称为定点，导线和导面。动的点、线、面分别称为定点，导线和导面。 2.2.曲面的分类曲面的分类曲面按母线形状的不同可分为：曲面按母线形状的不同可分为： （1）直线面）直线面 由直线运动而形成的曲面称为直线面，如圆柱面、由直线运动而形成的曲面称为直线面，如圆柱面、圆锥面、椭圆柱面、椭圆锥面、扭

9、面圆锥面、椭圆柱面、椭圆锥面、扭面(双曲抛物面双曲抛物面)、锥、锥状面和柱状面，其中圆柱面和圆锥面称为直线回转面。状面和柱状面，其中圆柱面和圆锥面称为直线回转面。 （2）曲线面）曲线面 由曲线运动形成的曲面称为曲线面，如球面、环由曲线运动形成的曲面称为曲线面，如球面、环面等，球面、环面又称为曲线回转面。面等，球面、环面又称为曲线回转面。6.2 曲面的形成和分类曲面的形成和分类圆柱面投影圆柱面投影1.1.圆柱面圆柱面(a)(a)立体图立体图(b)(b)投影图投影图6.3 6.3 回转曲面回转曲面如图如图6.5a所示，已知圆柱表面上的点所示，已知圆柱表面上的点A、B的水平投影的水平投影ab，以，以

10、及曲线及曲线CD的正面投影的正面投影cd，补全这些点和线的三面投影。，补全这些点和线的三面投影。补全圆柱表面上给定的点和线的三面投影补全圆柱表面上给定的点和线的三面投影(a)(a)已知条件已知条件(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果解解因为因为a(b)位于圆周内，所以点位于圆周内，所以点A和和B分别是圆柱的顶面和底面上。分别是圆柱的顶面和底面上。由于由于cdcd可见，所以可见，所以CDCD是前半圆柱面上的椭圆曲线。是前半圆柱面上的椭圆曲线。6.3.1.6.3.1.圆柱面的投影圆柱面的投影6.3.2 6.3.2 圆锥面圆锥面圆锥面投影圆锥面投影(a)(a)立体图立体图(b)(b)投影

11、图投影图 如图如图6.7a所示，已知一个圆锥的三面投影及其表面上的点所示，已知一个圆锥的三面投影及其表面上的点A的正面投影的正面投影a，求作点，求作点A的水平投影的水平投影a和侧面投影和侧面投影a。作圆锥表面上的点的投影作圆锥表面上的点的投影(a)(a)已知条件已知条件(d)(d)纬圆法纬圆法(b)(b)解题分析解题分析 (c) (c)素线法素线法素线素线素线素线纬圆纬圆用过圆锥面上的点取素线来求作这个点的投影的方法，称为用过圆锥面上的点取素线来求作这个点的投影的方法，称为素线法素线法。用过圆锥面上的点取纬圆来求作这个点的投影的方法，称为用过圆锥面上的点取纬圆来求作这个点的投影的方法，称为纬圆

12、法纬圆法。3 3 球面球面球面投影球面投影(a)(a)立体图立体图(b)(b)投影图投影图6.3 回转曲面回转曲面 如图如图6.9a所示，已知球的水平投影和正面投影，以及球所示，已知球的水平投影和正面投影，以及球面上的点面上的点A的正面投影，需求作球的侧面投影，以及点的正面投影，需求作球的侧面投影，以及点A的水的水平投影平投影a和侧面投影和侧面投影a。（a)a)已知条件已知条件解解作球体表面上的点的投影作球体表面上的点的投影(b)(b)作法一作法一 (c)(c)作法二作法二(d)(d)作法三作法三网格球面网格球面曲面造型曲面造型4 4 环面环面环面投影环面投影(a)(a)立体图立体图(b)(b

13、)投影图投影图6.3 回转曲面回转曲面 如图如图6.11a所示，已知环所示，已知环面上顺次向后的四个点面上顺次向后的四个点A、B、C、D的互相重合的正面投影的互相重合的正面投影abcd，作出这四个点的水，作出这四个点的水平投影，并表明可见性。平投影，并表明可见性。（a)a)已知条件已知条件解解作环面上的点的投影作环面上的点的投影作图过程和作图结果作图过程和作图结果6.3.4 6.3.4 环面环面6.3.5 6.3.5 单叶双曲面单叶双曲面(b)(b)曲面的形成曲面的形成(c)(c)投影图投影图 以一直母线绕与其相交叉的定轴运动旋以一直母线绕与其相交叉的定轴运动旋转一周而形成的曲面，称为转一周而

14、形成的曲面，称为单叶双曲面单叶双曲面。(a)(a)轴线与母线轴线与母线单叶双曲回转面的形成和投影单叶双曲回转面的形成和投影（双击）（双击）6.3.5 6.3.5 单叶双曲面单叶双曲面1 1 柱面柱面 直母线沿曲导线运动且始终平行于直导线时，所形成直母线沿曲导线运动且始终平行于直导线时，所形成的曲面称为的曲面称为柱面柱面。6.4 6.4 几种常见的非回转曲面几种常见的非回转曲面正圆柱面和斜圆柱面在工程上的应用正圆柱面和斜圆柱面在工程上的应用柱面柱面柱面柱面柱面柱面6.4 6.4 几种常见的非回转曲面几种常见的非回转曲面1 1 柱面柱面2 2 锥面锥面锥面及其投影锥面及其投影 一直母线一直母线SA

15、沿某一曲导线沿某一曲导线()运动，并始终通过运动，并始终通过某定点某定点(顶点顶点)而形成的曲面称为锥面。而形成的曲面称为锥面。 6.4 几种常见的非回转曲面几种常见的非回转曲面(a)(a)椭圆锥面椭圆锥面(b)(b)斜圆锥面斜圆锥面圆锥面投影圆锥面投影(c)(c)斜椭圆锥面斜椭圆锥面6.4 几种常见的非回转曲面几种常见的非回转曲面2 2 锥面锥面锥面的应用示例锥面的应用示例斜椭圆锥面圆心连线ACSSSSssssssssssssAAAA常用于大坝的进水口常用于大坝的进水口2 2 锥面锥面6.4 几种常见的非回转曲面几种常见的非回转曲面水工图中常出现的水工建筑物结构水工图中常出现的水工建筑物结构

16、拦污栅、闸门槽、喇叭口、拦污栅、闸门槽、喇叭口、渐变段、蜗壳、尾水管等。渐变段、蜗壳、尾水管等。6.4 几种常见的非回转曲面几种常见的非回转曲面渐变段渐变段喇叭口喇叭口尾水管尾水管6.4.3 6.4.3 双曲抛物面双曲抛物面双曲抛物面的形成及其投影图双曲抛物面的形成及其投影图(a)(a)立体图立体图(b)(b)投影图投影图 直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平直母线沿着两条交叉的直导线且平行于某一导平面运动而形成的曲面称为面运动而形成的曲面称为双曲抛物面双曲抛物面，也称为，也称为翘平面翘平面。3434双曲抛物面的应用示例双曲抛物面的应用示例双曲抛物面的应用示例双曲抛物面的应用示例(a)(

17、a)屋面屋面(b)(b)水渠的过渡曲面水渠的过渡曲面6.4.3 双曲抛物面双曲抛物面6.4.4 6.4.4 锥状面锥状面锥状面的形成、投影图和应用实例锥状面的形成、投影图和应用实例(a)(a)形成和投影图形成和投影图(b)(b)应用实例应用实例屋面屋面 直母线沿着一条直导线和一条曲导线且平行于一个导平直母线沿着一条直导线和一条曲导线且平行于一个导平面运动而形成的曲面称为面运动而形成的曲面称为锥状面锥状面。路堤边坡脚线锥状面护坡6.4.5 6.4.5 柱状面柱状面柱状面的形成、投影图和应用实例柱状面的形成、投影图和应用实例 直母线沿着两条曲导线且平行于一个导平面运动而形直母线沿着两条曲导线且平行

18、于一个导平面运动而形成的曲面称为成的曲面称为柱状面柱状面。(a)(a)形成和投影图形成和投影图(b)(b)应用实例应用实例闸墩闸墩6.5 6.5 圆柱螺旋面圆柱螺旋面1.1.圆柱螺旋线圆柱螺旋线 一动点沿着圆柱一动点沿着圆柱的直母线作等速直线的直母线作等速直线运动，同时该母线绕运动，同时该母线绕圆柱面的轴线作等角圆柱面的轴线作等角速度旋转运动，动点速度旋转运动，动点的这种复合运动的轨的这种复合运动的轨迹就是圆柱螺旋线迹就是圆柱螺旋线(简简称螺旋线称螺旋线) 。圆柱螺旋线有三个基本要素：圆柱螺旋线有三个基本要素： (1)(1)导圆柱直径导圆柱直径D D：即圆柱螺旋线所在的圆柱面的直径。：即圆柱螺旋线所在的圆柱面的直径。 (2)(2)导程导程s s：即动点随圆柱面上的直母线旋转一周时，沿直：即动点随圆柱面上的直母线旋转一周时，沿直母线所移动的轴向距离。母线所移动的轴向距离。(3)(3)旋向旋向( (左旋或右旋左旋或右旋) )：当动点沿直母线移动和绕圆柱面：当动点沿直母线移动和绕圆柱面的轴线旋转符合右手法则时，称为的轴线旋转符合右手法则时，称为右旋右旋；若符合左手法则；若符合左手法则时，称为时，称为左旋左旋。6.5 圆柱螺旋面圆柱螺旋面1.1.圆柱螺旋线圆柱螺旋线圆柱螺旋线的画法圆柱螺旋线的画