材料力学 第四章.

1、1241 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例42 受弯杆件的简化受弯杆件的简化43 剪力和弯矩剪力和弯矩44 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系46 平面曲杆的内力图平面曲杆的内力图第四章第四章 弯曲内力弯曲内力3一、弯曲的概念一、弯曲的概念受力特点受力特点：杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。变形特点变形特点：轴线变成了曲线。梁：梁：以弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。41 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例P43. 3. 工程实例工程实例567纵向对称面纵向对称面轴线轴线CP1P2q4. 4

2、. 平面平面弯曲：弯曲：梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，杆发梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面曲线生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面曲线。8非对称弯曲 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种 弯曲则统称为非对称弯曲。 下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。对称弯曲对称弯曲9 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1. 构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。42 受弯杆件的简化受弯杆

3、件的简化PalABlPa10(1)固定铰支座固定铰支座 2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。(2)可动铰支座可动铰支座 1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。2. 支座简化支座简化11(3)固定端固定端 3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。XAYAMA3. 梁的三种基本形式梁的三种基本形式(1)简支梁简支梁M 集中力偶集中力偶(2)外伸梁外伸梁 集中力集中力Pq 均布力均布力124. 载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型： 集中力、集中力偶和分布

4、载荷。集中力、集中力偶和分布载荷。q(x) 分布力分布力(3)悬臂梁悬臂梁q 均布力均布力集中力集中力集中力偶集中力偶PM135. 静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。Mqq14弯曲内力弯曲内力已知：P，a，l。解：(1)求支座反力43 剪力和弯矩剪力和弯矩PalABPABRAyRAxRB0 , 0AxRXlPaRmBA , 0lalPRYAy)( , 0 x求：距A端x处截面上内力。1543 剪力和弯矩剪力和弯矩PalABx弯曲内力弯曲内力已知：P，a，l。 求：距A端x处

5、截面上内力。解：(1)求支座反力0 , 0AxRXlPaRmBA , 0lalPRYAy)( , 0ABPRBmmxRAy16（2）求内力截面法剪力Q弯矩MQMRBPMQCAyRQ 取左段：ABPRBmmxRAyACRAy0 , 0QRYAyxRMAy 0 , 0MxRmAyClalP)( 17内力的正负规定内力的正负规定: :剪力剪力Q: : 左上右下为正左上右下为正;反之为负。反之为负。QQ+左上右下为正左上右下为正QQQQ+QQQQQQ弯矩弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MM(+)左顺右逆为左顺右逆为正正可以装水为可以装水为正

6、正MMMM(+)MM()弯矩弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。MM(+)左顺右逆为左顺右逆为正正可以装水为可以装水为正正MMMM(+)MM()MM20 例例11求C截面上的内力。q0lABaC, 0Y解：解：, 0Am截面法求C截面内力：, 03220llqlRBlqRB031 , 020lqRRBA, 61 0lqRAlq021AaCRAQCMC取左段：, 021CAQalaqR, 0Cm Y, 03220alaqaRMAClaqRQAC220, 03220CAMalaqaRRARB21求D截面上的内力。, 0Y解：解：, 0BmA

7、qBDaCaaRARB截面法求D截面内力：, 0232qaaRAqaRA32 , 02qaRRBA, 34 qaRBRAaaqQDMD 例例2 取左段：22, 0DAQqaR, 0Om Y, 02212qaaRMADRAaaqQDMDqaRQADqaqa 32, 02122DAMqaaR221232qaaqa剪力剪力=截面左侧所有外力在截面左侧所有外力在y轴上投影代数之和，向上为正。轴上投影代数之和，向上为正。弯矩弯矩=截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。截面左侧所有外力对该截面之矩的代数和，顺时针为正。qa31265qa23 例例3 求1-1、2-2截面上的内力。ABaqa22

8、1C1P=qam=2qa2mqaaPM21121qaPQ11qaqaqa222221221qaqaqaaqaqQ1-1P=qam=2qa2M1-1解：Baqa221C1P=qam=2qa2maqaaPM23222qaPQ22qaqaqa2222232qaqaaqaqP=qam=2qa2Q2-2M2-2223 qa25BaqaCP=qam=qa2A 例例4 求A截面上的内力。maqaPMA2)2(212aqPQA2qaqaqa322223)2(212qaqaaqaqa解：BaqaCm=qa2AQAMA2644 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例例BxqlA求x截

9、面上的内力。解：qxQ22xqM)(xQQ 剪力方程)(xMM 弯矩方程27剪力图和弯矩图：BxqlAqxQ22xqMQMx ql22qlx0QqlQ 0 x，lx，0M221 qlM 0 x，lx，281 qlM 2lx，28求梁的内力方程并画出内力图。PxQ)(解：PxxM)(写出内力方程Pl根据方程画内力图QMxxPPl 例例55xPlM 0M0 x，lx，29 例例4-2(4-2(P119)P119)求梁的内力方程并画出内力图。ABPaClbRARBx1x2解:(1)求支座反力PlbRAPlaRB(2)写出内力方程ARxQ)(111)(xRxMAPRxQA)(2)()(22xlRxMB

10、AC段：CB段：1PxlbPPlbPllb)(2xlPlaPla Plb30PlbxQ)(1QxMx+PlbPla(3)根据方程画内力图PlaxQ )(2ABClabPx1x231MxABClabPQx+PlbPla)(1xM1Pxlb)(2xM)(2xlPlalPab+0MlPabM, 01x, 1ax x1x20MlPabM, 2ax , 2lx 32(4)内力图特征：在集中力作用的地方，在集中力作用的地方，剪力图有突变，剪力图有突变，P力向下，力向下，Q图向下变，变化值图向下变，变化值= =P值值; ;弯矩图有折角弯矩图有折角。ABClabQxP+PlbPlaMx+lPabRARBQx+

11、PlbPla33 例例66求梁的内力方程并画出内力图。RARBx1x2解：(1)求支座反力lmRAlmRB(2)写出内力方程ARxQ)(111)(xRxMABRxQ)(2)()(22xlRxMBAC段：CB段：1xlmlm)( 2xllmABmaClblm34lmxQ)(1)(2xQlmxMxlm+QBClabAm(3)根据方程画内力图x1x235)(1xM1xlm)(2xM)( 2xllmmla+mlbMxxlm+QBClabAmx1x20MmlaM, 01x, 1ax 0MmlbM , 2ax , 2lx 36(4)内力图特征：在集中力偶作用的地方，在集中力偶作用的地方，剪力图无突变；弯矩

12、图有突剪力图无突变；弯矩图有突变，变，m逆时针转，逆时针转，M图向下图向下变，变化值变，变化值= =m值。值。mla+mlbMxxlm+QBClabAmx1x2RARB37ABqa 例例77求梁的内力方程并画出内力图。RARBx解：(1)求支座反力AR2qaRB(2)写出内力方程qxRxQA)(xRxMA)(qxqa222121qxqax221qx38ABaxRARBqxMx2qaQ)(xQqxqa2+2qa（3）根据方程画内力图2qaQ, 0 x2 qaQ, ax39Mxx2qaQ+2qaABaxRARBq82qa)(xM22121qxqax+2a0M0M, 0 x, ax8 2qaM, 2

13、ax40(4)内力图特征：在均布力作用的梁在均布力作用的梁段上，剪力图为斜直线；段上，剪力图为斜直线；弯矩图为二次抛物线，弯矩图为二次抛物线，均布力向下作用，抛物均布力向下作用，抛物线开口向下。线开口向下。抛物线的极值在剪抛物线的极值在剪力为零的截面上。力为零的截面上。Mxx2qaQ+2qaABaxRARBq82qa+2a41B2aaAqC2qaP 例例88求梁的内力方程并画出内力图。x1x2解：(1)写出内力方程2)(1qaPxQqaxPxxM21)(11222)(2121axqqax)()(22axqPxQ2222)(21)(axqPxxM)(22axqqa42B2aaAq2qaP x23

14、qaQ2qa(2)根据方程画内力图2)(1qaxQ)(2)(22axqqaxQ+x2x12, 2qaQax23 , 32qaQaxMx43Mxx23qaQ2qa+B2aaAq2qaP qaxxM21)(1222)(2121axqqax)(2xM22qa22qax2x10, 01Mx2 , 21qaMax2 , 22qaMax2 , 322qaMax二次抛物线的升降，开口方向，极值点44Mxx23qaQ2qa+B2aaAq2qaP 22qa22qax2x1222)(2121axqqax)(2xM22d)(dxxM)(22axqqa)(2xQ极值点：0)( 2xQ令0)(22axqqa即：得：ax

15、23023a2085qaM 852qa+45一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系取一微段dx， 进行平衡分析。0dd0)x(Q)x(Qx)x( q)x(QY)x(Qx)x( qdd q(x)q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxA xqxxQdd剪力的导数等于该点处荷载剪力的导数等于该点处荷载集度的大小。集度的大小。 45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系载荷集度、剪力和弯矩间的关系dxx46q(x)M(x)+d M(x)Q(x)+d Q(x)Q(x)M(x)dxA0)(d)()()(d(21)d(, 02xMxMxMxxqxxQmA

16、)(d)(dxQxxM弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxM弯矩与荷载集度的关系是：弯矩与荷载集度的关系是：省略高阶微量47)(d)(dxQxxM)(d)(d22xqxxM xqxxQdd1、若q=0，则Q=常数，M是直线；2、若q=常数，则Q是斜直线，M为二次抛物线；3、M的极值发生在Q=0的截面上。48二、剪力、弯矩与外力间的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系外力外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0QQ0 x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1Q2=P向下突变xQC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xMxM有折角

17、向上突变 MxM1M2mMM1249)(d)(dxQxxM4、将微分关系转为积分关系：baabxxqQQ)d(xxQxMd)()(dbaMMxxQxMba)d()(dbaabxxQMM)d(的面积区间上Qab)(d)(dxqxxQxxqxQd)()(dbaQQxxqxQba)d()(d的面积区间上qab的面积区间上QabMMab的面积区间上qabQQab50简易作图法简易作图法: : 利用内力和外力的关系及特殊点特殊点的内力值来作 图的方法。 例例44 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解: 特殊点特殊点: :端点、分区点（外力变化点）和驻点等。aaqaqACB51Qx223qaqa2qax

18、MaaqaqACB根据及Q图和M图的特征作图。)(d)(dxQxxM)(d)(d22xqxxM xqxxQdd0CQ2qaMB2 2qaMMBC23 2qa52用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：求支反力2 ; 2 qaRqaRDAqM=qa2P=qaQxqa/2qa/2qa/2+ABCDqa2/2xMqa2/2qa2/23qa2/8+RARDaaa 例例99 qaqaQC22 qa2 2qaMB22212 20aqaqaM83 2qa2 2qaMC53例例10 P=3kNq=10kN/mB1.2m0.6mm=3.6kNmCRARBDA0.6mkN5kN10BARRQ(kN)x3M(kNm

19、)x2.45+M0= 1.251.21.8x0=0.7m7+070 xq27 . 072 . 10M7547a2aaRARBABqCDmxxq=3kN/m8.566.0462.83mkN5 . 3kN;5 .14BARR例例4-4 （P122)m=3kNm+Q(kN)M(kNm)3.5a=2m4+55Q(kN)x325例例4-6 (P126)画梁的剪力图画梁的剪力图和弯矩图和弯矩图+1.5mkN7kN3BARRM(kNm)x+462.25P2=2kNq=2kN/mB2m2mm=10kNmCDA4mRARB+456Q(kN)x723例例11 画梁的剪力图画梁的剪力图和弯矩图和弯矩图31+1mkN

20、5kN7BARRP1=2kNP2=2kNq=1kN/mB3m4m4mm=10kNmCRARBDAE4mM(kNm)x20.5+66162057改内力图之错。a2aaqqa2ABQxxM+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/447;4qaRqaRBARARBq例例12 58已知Q图，求外载及M图（梁上无集中力偶）。Q(kN)x1m1m2m2315kN1kNq=2kN/m+M(kNm)x+111.25例例13 59一、平面刚架一、平面刚架1. 平面刚架：平面刚架：同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相 互刚性连接刚性连接而组成的结构。46 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图P1P2alABC特点：特点：刚架各杆的内力有：Q、M、N。602. 内力图规定：内力图规定：剪力图及轴力图：剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一