北京理工大学工科数学分析1-1函数与极限

1、数数 学学 分分 析析教教 室：室： 1-3011-301 Mon.Mon. 第第3 3节节 10:10-12:00am10:10-12:00am Wed.Wed. 第第2 2节节 8:00-9:50am8:00-9:50am Fri.Fri. 第第3 3节节 10:10-12:00am10:10-12:00amSep. 24 Mon.n课程简介课程简介n教师姓名教师姓名n参考书参考书n交作业时间交作业时间n最后成绩最后成绩n答疑时间答疑时间教材：高等数学教程教材：高等数学教程( (毛京中编毛京中编) )本课程主要内容有极限论，微分学，积分学本课程主要内容有极限论，微分学，积分学和级数论等，它

2、包括：和级数论等，它包括：1.1.数学分析：一元函数微积分学数学分析：一元函数微积分学 多元函数微积分学多元函数微积分学 级数；级数；2. 2. 向量代数，空间解析几何；向量代数，空间解析几何；3. 3. 常微分方程。常微分方程。n第一册：函数，极限，连续，导数，微分，不第一册：函数，极限，连续，导数，微分，不 定积分，定积分及其应用，常微分方程；定积分，定积分及其应用，常微分方程；n第二册：向量代数和空间解析几何，多元函第二册：向量代数和空间解析几何，多元函 数微分学，重积分，线面积分和级数。数微分学，重积分，线面积分和级数。一、什么是高等数学一、什么是高等数学 ? 研究对象为研究对象为常量

3、常量, 以静止观点研究问题以静止观点研究问题. 研究对象为研究对象为变量变量, 运动运动和和辩证法辩证法进入了数学进入了数学.数学中的转折点转折点是笛卡儿的变数变数.有了变数 , 运动运动进入了数学,有了变数，辩证法辩证法进入了数学 ,有了变数 , 微分和积分微分和积分也就立刻成为必要的了,而它们也就立刻产生. 恩格斯恩格斯初等数学初等数学高等数学高等数学1. 认识高等数学的重要性认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣培养浓厚的学习兴趣.2. 学数学最好的方式是做数学学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习聪明在于学习 , 天才在于积累天才在于积累 .学而优则用学而优则用 , 学而优则创学而

4、优则创 .由薄到厚由薄到厚 , 由厚到薄由厚到薄 .马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然 ,就必须熟悉数学.一门科学, 只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步 .华罗庚华罗庚二、如何学习高等数学二、如何学习高等数学 ? ?给出了几何问题的统一给出了几何问题的统一笛卡儿笛卡儿 (1596(15961650)1650)法国哲学家法国哲学家, 数学家数学家, 物理学家物理学家, 他他 是解析几何奠基人之一是解析几何奠基人之一 . 1637年他发年他发表的表的几何学几何学论文分析了几何学与论文分析了几何学与 代数学的优缺点代数学的优缺点, 进而提出了进而提出了 “ 另外另外 一

5、种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题把几何问题化成代数问题 ,作图法作图法,华罗庚华罗庚(1910(19101985)1985)我国在国际上享有盛誉的数学家我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解析数论他在解析数论,自守函数论自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中高维数值积分等广泛的数学领域中,程程,都作出了卓越的贡献都作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近发表专著与学术论文近 300

6、篇篇.偏微分方偏微分方多复变函数论多复变函数论,矩阵几何学矩阵几何学, 典型群典型群,他对青年学生的成长非常关心他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是他提出治学之道是 “ 宽宽, 专专, 漫漫 ”, 即基础要宽即基础要宽, 专业要专专业要专, 要使自己的专业要使自己的专业知识漫到其它领域知识漫到其它领域. 1984年来中国矿业大学视察时给年来中国矿业大学视察时给给师生题词给师生题词: “ 学而优则用学而优则用, 学而优则创学而优则创 ”.教师姓名：姚教师姓名：姚 翠翠 珍珍 参考书：参考书： 分析中的反例分析中的反例 各种学习高数辅导书各种学习高数辅导书Email address:QQ

7、：1420978569交作业时间交作业时间 ：周一。：周一。 作业要求全交。作业要求全交。最后成绩：最后成绩：平时平时( (作业作业+ +小测验小测验)20% +)20% +期中期中20%+20%+期末期末60%60% 高数集体答疑安排：n答疑时间：从第六周开始集体答疑，n 单周时间为周一下午：1：00-3：00； 双周为周三下午：1：00-3：00；n答疑地点：单周为良乡1-204 preview + review + exercise要求：要求：不迟到不早退，不中途退场。不迟到不早退，不中途退场。周次答疑时间答疑地点(良乡)答疑教师第六周10月10日（周三）1:00-3:001-204温海

8、瑞第七周10月15日（周一）1:00-3:001-204温海瑞第八周10月24日（周三）1:00-3:001-204温海瑞第九周10月29日（周一）1:00-3:001-204钟漫如第十周11月7日（周三）1:00-3:001-204钟漫如第十一周11月12日（周一）1:00-3:001-204张伟第十二周11月21日（周三）1:00-3:001-204张伟第十三周11月26日（周一）1:00-3:001-204徐厚宝第十四周12月5日（周三）1:00-3:001-204徐厚宝第十五周12月10日（周一）1:00-3:001-204张文娟第十六周12月19日（周三）1:00-3:001-204

9、张文娟第十七周12月24日（周一）1:00-3:001-204朱国庆第十八周1月2日（周三）1:00-3:001-204朱国庆第十九周1月7日（周一）1:00-3:001-204朱国庆2012-2013学年第一学期高等数学课程集体答疑安排表几个常用符号几个常用符号等价；等价；与与21SS:21SS : : : ：21SS 存在存在(exist)(exist)；任意任意(arbitary)(arbitary)；属于。属于。成立；成立；成立推出成立推出由命题由命题21SS 第一章第一章 函数与极限函数与极限(function & limit)(function & limit)1

10、1 映射与函数映射与函数2 2 数列的极限数列的极限3 3 函数的极限函数的极限4 4 无穷大与无穷小无穷大与无穷小5 5 极限运算法则极限运算法则6 6 极限存在准则与两个重要极限极限存在准则与两个重要极限7 7 无穷小比较无穷小比较 8 8 函数的连续性函数的连续性9 9 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质映射，函数，极限和函数的连续性等基本概念，映射，函数，极限和函数的连续性等基本概念，其内容是研究微积分的最必需的基础知识。其内容是研究微积分的最必需的基础知识。本章讨论：本章讨论：分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥

11、梁1 1 映射与函数映射与函数n集合集合n映射映射n函数函数一一. . 集合集合(set)(set)概念，集合运算，区间与邻域。概念，集合运算，区间与邻域。区间：区间：(interval)|),(bxaxba 开区间开区间|,bxaxba 闭区间闭区间|),bxaxba 半开半闭区间半开半闭区间|,(bxaxba . 0, 且且是两个实数是两个实数与与设设 a).(0aU 记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径 . )( axaxaUxa a a ,邻邻域域的的去去心心的的点点 a. 0)( axxaU,邻域邻域的的称为点称为点数集数集 aaxx 邻

12、域邻域: : 二二. . 映射映射(mapping)(mapping)1. 1. 概念概念定义定义1 1YXfmappingYXfyYfXxfYX :).(,记做：记做：的映射的映射到到为从为从与之对应，则称与之对应，则称中有唯一确定的元素中有唯一确定的元素，在，在，按法则，按法则，使对，使对个法则个法则为非空集合，若存在一为非空集合，若存在一设设)()(xfyxffxy ，即，即下的像，记作：下的像，记作：在映射在映射称为元素称为元素其中其中fD)(XfRf或或XYffDfR，记作：，记作：义域义域的定的定称为映射称为映射的一个原像，的一个原像，称为称为元素元素)domain(fXyx记作：

13、记作：的值域的值域的集合称为的集合称为中的所有元素的像组成中的所有元素的像组成),range(fX注意：注意：；对应法则：；对应法则：；值域范围；值域范围三个要素：定义域三个要素：定义域fYRXDff . 1的原像不一定唯一。的原像不一定唯一。是唯一的；对是唯一的；对的像的像，对对yRyyxXxf,. 2 外，所有原像不唯一；外，所有原像不唯一；的原像的原像除除例例000|,)(. 12 xyyyRRDxxfff；轴的区间上轴的区间上的点投影到的点投影到心在原点的单位圆周上心在原点的单位圆周上与之对应，将平面上圆与之对应，将平面上圆有唯一确定的有唯一确定的例例1 , 1)0 ,(,),(,:,

14、1|)0 ,(,1| ),(. 222 xYxXyxYXfxxYyxyxX.1 , 1,2,2,sin)(,2,2,1 , 12,2 :. 3 ffRDxxfxf 对对例例定义定义2 21212()()fRYfXYxxf xf xfXYff 若若， 则则称称为为到到 上上的的映映射射为为满满射射；若若对对，则则称称为为到到的的单单射射；若若既既是是单单射射，又又是是满满射射，则则称称为为一一一一映映射射。2 . 2 . 逆映射与复合映射逆映射与复合映射定义定义3 3。，值域，值域其定义域其定义域的逆映射，记作：的逆映射，记作：为为则称映射则称映射，满足，满足，规定，规定若对每个若对每个，即，即

15、新映射新映射的的到到，定义一个从，定义一个从使使的的，有唯一，有唯一对每个对每个为单射，为单射，设设XRRDffgyxfxygRyXRggXRyxfXxRyYXffffffff 11.)()(:)(,:1定义定义4 41212:,:, ( ),:g XYfYZYYgfXZxXf g xZgffgfg XZ 设设有有两两个个映映射射其其中中则则由由与与可可以以确确定定一一个个从从到到的的法法则则，它它将将每每个个映映成成称称这这个个映映射射为为由由映映射射与与构构成成的的复复合合映映射射，记记作作：，即即X()g X2YZgf2()gfRg XYD注意：注意：例例21)(,1 , 1,1 , 0

16、1 , 1 :sin)(,1 , 1:uufufxxgRxRg |cos|sin1)()(,1 , 0:2xxxgfxgfRxRgf ，有，有对对初等数学：研究对象为常量，是初等数学：研究对象为常量，是常量常量的数学；的数学；高等数学：研究对象是事物的高等数学：研究对象是事物的运动规律运动规律和现象的和现象的 变化规律变化规律，是，是变量变量的数学。的数学。三三. . 函数函数(function)(function)1616世纪，机械学，航海学，物理学，力学提世纪，机械学，航海学，物理学，力学提出出许多新的问题：许多新的问题：运动物体的速度和它的运动规律的关系；运动物体的速度和它的运动规律的关

17、系；天体沿怎样的轨道运行；天体沿怎样的轨道运行；不规则图形的面积如何计算等等。不规则图形的面积如何计算等等。GallilloGallillo在在“两门新学科两门新学科”中，用文字和比例的语言表中，用文字和比例的语言表达函数；达函数；NewtonNewton于于16651665年开始微积分工作后，用年开始微积分工作后，用“fluentfluent”表示变量间关系；表示变量间关系；Leibnize 1673Leibnize 1673年后首次使用年后首次使用 function function 表示变量表示变量间的关系；间的关系；).(1734Eulerxf年引进函数符号年引进函数符号于于实例实例足

18、关系足关系满满与时间与时间程程落路落路下，不计空气阻力，下下，不计空气阻力，下米处自由落米处自由落离地面离地面在重力作用下，物体从在重力作用下，物体从例例tsh. 1。，其中，其中ghtgts20212 01224T-68t例例2. 2. 某气象站自动记录器画的当地某一天的气温变化。某气象站自动记录器画的当地某一天的气温变化。),(|)()range()domain()(:,DxxfyyDfRDDDyxDxxfyDRDfRDff 值域值域，定义域定义域称为称为称为因变量，称为因变量，称为自变量，称为自变量，其中其中，函数，记为：函数，记为：上的上的为定义在为定义在则称映射则称映射设数集设数集函

19、数是从函数是从实数集实数集到到实数集实数集的映射。的映射。1. 1. 函数定义函数定义定义定义1 1 定义定义1.1.或函数是量与量之间的依赖关系。或函数是量与量之间的依赖关系。).(),function(,xfyxyyfxXXxyx 记作：记作：的函数的函数是是值与之对应，则称值与之对应，则称有唯一确定的有唯一确定的，变量，变量根据某种对应规则根据某种对应规则值，值，中的每一个中的每一个。假如。假如的变化域为的变化域为两个变量两个变量和和有有假定在某个变化过程中假定在某个变化过程中 两个要素：两个要素：定义域；定义域； 对应关系（即函数关系）对应关系（即函数关系）。 约定：定义域是自变量所能

20、取的使算式有意约定：定义域是自变量所能取的使算式有意 义的一切实数值。义的一切实数值。函数图形：全体这样的点函数图形：全体这样的点)(,(),(xfxyxM ),(|)(,(XxxfyxfxM )(xfy oxy),(yxxyX 构成的集合构成的集合 称为函数称为函数 的图形。的图形。求下列函数的定义域求下列函数的定义域 );10arcsin(log. 1xy 例例解：解：110log1 x2log0 x.1012 x的定义域的定义域，求，求设设例例)2()(22ln)(. 2xfxfxxxf 解：解：, 022)( xxxf满足满足2, 2 xx2, 2 xx或或 2| x2|2|)2( x

21、xf满足满足1| x.2|1|, 2|1 xxDxf即即定义域为定义域为；和和例例xxxyxysinsin. 321 ),(1 D), 0()0 ,(2 D . 0, 0,sin2xxxy无定义，无定义，的定义域。的定义域。求求设设例例)(, 80),7)(1()(. 4xffxxxxf 解：解： 8)(080 xfx710)( xxf8788)(2 xxxf0)5)(3( xx35 xx或或 357180 xxxx或或 3175xx0123456781). 1). 公式法，表格法，图形法；公式法，表格法，图形法；2. 2. 函数的表示法函数的表示法公式法：公式法：用分析表达法把函数表示出来的

22、方法称用分析表达法把函数表示出来的方法称为公式法或分析法；为公式法或分析法；列表法：列表法：将自变量的一系列值与对应的函数值排将自变量的一系列值与对应的函数值排列成表；列成表；图形法：图形法：用坐标平面上的曲线表示函数的方法。用坐标平面上的曲线表示函数的方法。2). 2). 分段函数：分段函数： 对于其定义域内自变量不同的值，不能用对于其定义域内自变量不同的值，不能用一个统一的数学表达式表示。一个统一的数学表达式表示。 . 0, 1, 0, 0, 0, 1sgn. 1xxxxy符号函数：符号函数：例例0 xy1-1 ., 0, 1:Dirichlet. 2为无理数为无理数为有理数，为有理数，函

23、数函数例例xxy0 xy的最大整数。的最大整数。表示不超过表示不超过取整函数：取整函数：例例xxy. 3 值域：值域：, 2, 1, 0 1 xxx0 xy 0, 10, 12)(. 42xxxxxf例例12 xy12 xy1). 1). 函数的有界性函数的有界性上的有界函数。上的有界函数。是是则称则称），都有：，都有：，若，若设函数设函数XxfMxfXxMXxxfy)(|(|, 0),( 定义定义2 2. .3. 3. 函数的几种特性函数的几种特性。的一个下界和一个上界的一个下界和一个上界分别是分别是或或上有界，称上有界，称在在则称则称都有都有使对使对或或)()(,)(,212121xfMM

24、XxfMxfMXxMM |,| |,max|21MMM 取取Mxf | )(|)(xf 1M M2M M 无界定义：无界定义：.)(,| )(|, 01上无界上无界在在则称则称使得使得不论它有多大，不论它有多大，若对若对XxfMxfXxM 也即：也即：.| )(|,1MxfXxMyMy 使使外，即外，即总有一点落在两直线之总有一点落在两直线之间，间，曲线不全落在两直线之曲线不全落在两直线之与与任给直线任给直线M-Myxoy=f(x)XM-MyxoX0 x11.( )(0,)f xx例例 函函数数在在无无界界；0,M1(0,),2xM 取取()2.f xMM 则则22.( )4f xx例例讨讨论

25、论函函数数在在其其定定义义域域内内的的有有界界性性；Sep. 16 Fri. Reviewn区间，邻域的概念；区间，邻域的概念；n映射：满射，单射，一一映射，逆映射，复合映射：满射，单射，一一映射，逆映射，复合映射；映射；n函数概念；函数概念；n函数特性：有界性，单调性，奇偶性，周期性。函数特性：有界性，单调性，奇偶性，周期性。2). 函数的单调性函数的单调性称为严格单调性。称为严格单调性。区间。等式不成立时，区间。等式不成立时，的单调的单调称为称为，上单调递增或单调递减上单调递增或单调递减，则称在，则称在或或时，有时，有上有定义，且上有定义，且在在设函数设函数)()()()()()(2121

26、21xfXXxfxfxfxfxxXxfy )(xfy )(1xf)(2xfxyoX)(xfy )(1xf)(2xfxyoX定义定义3.3). 3). 函数的奇偶性函数的奇偶性内是奇函数或偶函数。内是奇函数或偶函数。在在则称则称或或都有都有内有定义，若对内有定义，若对在在设函数设函数XxfyxfxfxfxfXxXxfy)()()()()(,)( yx)( xf )(xfy ox-x)(xf偶函数偶函数 even)( xf yx)(xfox-x)(xfy 奇函数奇函数 odd定义定义4.4.的和之半。的和之半。与与唯一表示成唯一表示成可以可以是奇函数，且是奇函数，且是偶函数，是偶函数，证明：证明：

27、内的任意函数，且内的任意函数，且是定义在是定义在设设)()()()()()()()()()()()0)(,()(xGxFxfxGxFxfxfxGxfxfxFlllxf 例例. .证明：证明： 1. 1. 直接从定义证明直接从定义证明F F和和GG的奇偶性的奇偶性)()()(xfxfxF )(xF 偶函数偶函数)()()(xfxfxG )(xG 奇函数奇函数2.2.)()(21xGxF )()()()(21xfxfxfxf )(xf 可表示成可表示成使使，奇函数，奇函数设另有偶函数设另有偶函数)()()(11xfxGxF，则有，则有)()(2111xGxF )()(21)(11xGxFxf )1

28、()()(2111xGxF )(xf)2()()(2111xGxF )()()()()2()1(1xFxFxfxf 得：得：)()()()()2()1(1xGxGxfxf 得：得：唯一性得证。唯一性得证。4). 函数的周期性函数的周期性的周期。的周期。称为称为为周期函数，为周期函数，则称则称，都有，都有使对使对，常数常数，若，若，设函数设函数)()()()(),()0(),()(xfTxfxfTxfxTTxxfy 2l 2l23l 23l通常所说周期为最小周期通常所说周期为最小周期 定义定义5.5.不是每个周期函数都有最小周期不是每个周期函数都有最小周期. .例例 Dirichlet Diri

29、chlet 函数，任何正有理数都是它的周期。函数，任何正有理数都是它的周期。,l设设 为为任任一一正正有有理理数数也为有理数也为有理数为有理数时，为有理数时，则当则当lxx 也为无理数也为无理数为无理数时，为无理数时，则当则当lxx 1,()0.xD xlx 为为有有理理数数，为为无无理理数数正有理数中无最小者，故没有最小周期正有理数中无最小者，故没有最小周期. .4. 复合函数与反函数函数运算：复合函数与反函数函数运算：上的函数上的函数也是也是上有定义，则上有定义，则在在设设XxgxgxfxgxfxgxfXxgxf)0)()()(, )()(, )()()(),( 函数的四则运算函数的四则运

30、算1). 复合函数复合函数 ffxfyXUXXxuXxxuUuufy的复合函数，记作的复合函数，记作与与称为称为上可以确定一个函数上可以确定一个函数则在则在，若，若的值域记为的值域记为函数函数及函数及函数设有函数设有函数)(,)()()(),(, )( ,自自变变量量x,中中间间变变量量u,因变量因变量y定义定义1.1.1.不是任何两个函数都可以复合成一个不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的复合函数的; ;2.2.复合函数可以由两个以上的函数经过复复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成合构成. .注意：注意：X)(X)(X)(Uf fU).(1)(1.2xffxxxf，求，求设设例例

31、解：解：2( )( ( )1( )f xf f xfx 222111xxxx .212xx 。求求，且，且，已知已知例例)(0)(1)()(. 22xgxgxxgfexfx 解：解：由题设和复合函数的定义可得由题设和复合函数的定义可得,1)()(2xexgfxg , 0)( xg且且从而有从而有)1ln()(xxg , 0)1ln( x它的定义域是它的定义域是. 0, 11 xx即即2). 反函数反函数(inverse function)上是一一对应的。上是一一对应的。在在则称函数则称函数或或若由若由，上有定义，上有定义，在在设函数设函数XfxxxfxfxfxfxxXxxXxf22212221

32、21)()()()(,)( 1( )()( )( )( )( ).yf xXYf XyYf xyxXxfyxyyf x 设设在在上上一一一一对对应应，值值域域为为，用用满满足足的的唯唯一一确确定定的的与与之之对对应应。由由这这样样对对应应关关系系所所确确定定的的函函数数或或就就称称为为原原来来函函数数的的反反函函数数定义定义3.3.定义定义2. 2). 2). 反函数反函数(inverse function)(inverse function)定义定义2 211:():(),fXf Xff XXff设设函函数数是是单单射射，则则它它存存在在逆逆映映射射称称此此逆逆映映射射为为函函数数的的逆逆函

33、函数数或或反反函函数数. .(),yf XxX 根根据据定定义义，对对，有有唯唯一一的的11( ),( ),( ).f xyfyxyfx 使使得得于于是是有有也也记记作作定义域定义域 值域值域( )f xX()f XX()f X1( )fx 0y0 x0yxyXW)(xfy 函数函数o0 xxyXW)(yx 反函数反函数o).(),(),(1XfxxfyXxxfyyx 的反函数写成：的反函数写成：表示因变量，故表示因变量，故表示自变量，表示自变量，习惯上，用习惯上，用定理定理. .内也严格上升或下降。内也严格上升或下降。且反函数在且反函数在，函数函数升或下降，则必存在反升或下降，则必存在反内严

34、格单调上内严格单调上在在，若，若，设函数设函数)()()()()(1XfXfyyfxXxfXxxfy 注意：注意：单调函数必存在反函数，但不单调函数不一定单调函数必存在反函数，但不单调函数不一定 没有反函数。没有反函数。的一一对应。的一一对应。到到是否为是否为取决于取决于)(XfXf 10, 1, 01,)(xxxxxf例例反函数反函数上不单调，但是它存在上不单调，但是它存在在在1 , 1 . 21, 1, 10,)(1xxxxxf定理证明：定理证明：,上的单调函数上的单调函数是定义在是定义在若若Xf是一一映射，是一一映射，则则)(:XfXf.1必存在必存在的反函数的反函数则则 ff,单调上升单调上升在上在上不妨设不妨设Xf,),(,2121yyXfyy 且且，使得，使得中存在唯一原像中存在唯一原像的定义，