第12章线性控制系统的复频域分析

1、12.1 并联系统的能控性和能观测性并联系统的能控性和能观测性线性时不变子系统线性时不变子系统S1和和S2组成并联系统组成并联系统SP。子系统可由其传递函数矩阵子系统可由其传递函数矩阵G1(s)和和G2(s)完全表完全表征，即其相应的状态空间描述为完全能控和完全征，即其相应的状态空间描述为完全能控和完全能观测。能观测。子系统传递函数矩阵子系统传递函数矩阵G(s)为有理分式矩阵，且可为有理分式矩阵，且可表示为不可简约右和左表示为不可简约右和左MFD：并联系统的能控性和能观测性判据并联系统的能控性和能观测性判据（1）子系统以）子系统以MFD表征的能控性保持条件表征的能控性保持条件结论结论12.1

2、若取若取左互质完全能控则有不可简约右不可简约右) s (D),s (DS) s (D) s (NMFD) s (G) s (D) s (NMFD) s (G21P12221111（2）子系统以）子系统以MFD表征的能观测性保持条件表征的能观测性保持条件结论结论12.2 若取若取右互质完全能观测则有不可简约左不可简约左) s (D),s (DS) s (N) s (DMFD) s (G) s (N) s (DMFD) s (GL2L1PL21L22L11L11（3）子系统以）子系统以MFD表征的不可简约保持条件表征的不可简约保持条件结论结论12.3 若取若取) s (D) s (NMFD) s

3、(G) s (D) s (NMFD) s (G12221111不可简约右不可简约右右互质左互质，完全表征不可简约，即可用则有不可简约左不可简约左) s (D),s (D) s (D),s (D) s (G) s (GS) s (N) s (DMFD) s (G) s (N) s (DMFD) s (GL2L12121PL21L22L11L11（4）多输入多输出并联系统基于）多输入多输出并联系统基于“极点对极点对消消”的能控性和能观测性保持条件的能控性和能观测性保持条件结论结论12.4并联系统保持完全能控和完全能并联系统保持完全能控和完全能观测的一个观测的一个充分条件充分条件是是 传递函数矩传递

4、函数矩阵阵 不包含公共极点。不包含公共极点。) s (G) s (G21和pq（4）单输入单输出并联系统基于）单输入单输出并联系统基于“极点对极点对消消”的能控性和能观测性保持条件的能控性和能观测性保持条件结论结论12.6单输入单输出并联系统保持完全单输入单输出并联系统保持完全能控和完全能观测的一个能控和完全能观测的一个充分必要条件充分必要条件是是 标量传递函数矩阵标量传递函数矩阵 不包含公不包含公共极点。共极点。) s (g) s (g21和12.2 串联系统的能控性和能观测性串联系统的能控性和能观测性线性时不变子系统线性时不变子系统S1和和S2组成串联系统组成串联系统SP。子系统可由其传递

5、函数矩阵子系统可由其传递函数矩阵G1(s)和和G2(s)完全表完全表征，即其相应的状态空间描述为完全能控和完全征，即其相应的状态空间描述为完全能控和完全能观测。能观测。子系统传递函数矩阵子系统传递函数矩阵G(s)为有理分式矩阵，且可为有理分式矩阵，且可表示为不可简约右和左表示为不可简约右和左MFD：串联系统的能控性和能观测性判据串联系统的能控性和能观测性判据（1）子系统以）子系统以MFD表征的能控性保持条件表征的能控性保持条件结论结论12.7 若取若取左互质完全能控则有不可简约右不可简约右) s (N),s (DS) s (D) s (NMFD) s (G) s (D) s (NMFD) s

6、(G12T12221111（1）子系统以）子系统以MFD表征的能控性保持条件表征的能控性保持条件结论结论12.8 若取若取左互质完全能控则有不可简约左不可简约右) s (N) s (N),s (DS) s (N) s (DMFD) s (G) s (D) s (NMFD) s (G1L2L2TL21L221111（1）子系统以）子系统以MFD表征的能控性保持条件表征的能控性保持条件结论结论12.9 若取若取左互质完全能控则有不可简约左不可简约左) s (N),s (D) s (DS) s (D) s (NMFD) s (G) s (N) s (DMFD) s (GL12L1T1222L11L1

7、1（2）子系统以）子系统以MFD表征的能观测性保持条件表征的能观测性保持条件结论结论12.10 若取若取右互质完全能观测则有不可简约左不可简约左) s (N),s (DS) s (N) s (DMFD) s (G) s (N) s (DMFD) s (GL2L1TL21L22L11L11（2）子系统以）子系统以MFD表征的能观测性保持条件表征的能观测性保持条件结论结论12.11 若取若取右互质完全能观测则有不可简约右不可简约左) s (N),s (D) s (DS) s (D) s (NMFD) s (G) s (N) s (DMFD) s (G22L1T1222L11L11（2）子系统以）子

8、系统以MFD表征的能观测性保持条件表征的能观测性保持条件结论结论12.12 若取若取右互质完全能观测则有不可简约左不可简约右) s (N) s (N),s (DS) s (N) s (DMFD) s (G) s (D) s (NMFD) s (G1L21TL21L221111（3）多输入多输出串联系统基于）多输入多输出串联系统基于“零点极零点极点对消点对消”的能控性保持条件的能控性保持条件结论结论12.13 串联系统串联系统 保持完全能控的一个保持完全能控的一个充分条件充分条件是是传输零点。的极点等同于没有) s (G) s (G12为满秩，) s (G) s (G,S2121221Tqqq,

9、pppp（4）多输入多输出串联系统基于）多输入多输出串联系统基于“零点极零点极点对消点对消”的能观测性保持条件的能观测性保持条件结论结论12.15 串联系统串联系统 保持完全能观测的一个保持完全能观测的一个充分条件充分条件是是传输零点。的极点等同于没有) s (G) s (G21为满秩，) s (G) s (G,S2121221Tqqq,pppp（5）单输入单输出串联系统基于）单输入单输出串联系统基于“零点极零点极点对消点对消”的能控性和能观测性保持条件的能控性和能观测性保持条件结论结论12.17单输入单输出串联系统保持完单输入单输出串联系统保持完全能控的一个全能控的一个充分必要条件充分必要条

10、件是是 没有没有零点所对消的极点为) s (g) s (g12结论结论12.18单输入单输出串联系统保持完单输入单输出串联系统保持完全能观测的一个全能观测的一个充分必要条件充分必要条件是是 没有没有零点所对消的极点为) s (g) s (g21结论结论12.19 单输入单输出串联系统单输入单输出串联系统ST，ST可用可用 完全表征的完全表征的充分必要条件充分必要条件是是 。没有极点零点对消现象和) s (g) s (g21) s (g) s (g211s101s2s1-s1(s)G,1s2s002s1s(s)G(s)-G-(s)G2121串联系统例：按试判断（试判断（1）串联系统是否完全能控；

11、）串联系统是否完全能控； （2）串联系统是否完全能观测；）串联系统是否完全能观测； （3）系统是否可由传递函数矩阵）系统是否可由传递函数矩阵G2(s)G1(s)完全表征。完全表征。串联系统完全能控。左互质。均为不可简约右和的右和,) s (N),s (D2, 1 , 1s, 22s001s1s001srank)s (N) s (rankD2) s (dimDMFD) s (D) s (N) s (D) s (N) s (D) s (N1s001s102s11s2s002s1s) s (G) s (D) s (N1s002s2s001s1s2s002s1s) s (GMFD) s (G) s (

12、G12122122111122121111121串联系统完全能观测。右互质），（。均为不可简约右，为不可简约左的右和的左,) s (N),s (DD2, 1 , 1s, 2102s1) 1s (00)2s)(1s (rank) s (N) s (D) s (Drank2) s (D) s (DdimMFD) s (D) s (NMFD) s (N) s (D) s (D) s (N1s001s102s11s2s002s1s) s (G) s (N) s (D2s001s1s002s1s2s002s1s) s (GMFD) s (GMFD) s (G22L1222L12L1122L11L1122

13、12L11L11121给定串联系统系统为完全能控和完全能观测，给定串联系统系统为完全能控和完全能观测，所以串联系统可由传递函数矩阵完全表征。所以串联系统可由传递函数矩阵完全表征。12.3状态反馈系统的能控性和能观测性状态反馈系统的能控性和能观测性状态反馈系统的复频域形式状态反馈系统的复频域形式变换。为输入输出的拉普拉斯变换，为广义状态的拉普拉斯为对应的导出其列既约不可简约右)s (y ),s (u )s ()s ()s (N)s (y )s (u )s ()s (DPMD)s (D),s (D)s (MFDN)s (G-1构图器形式状态空间实现结的控制即对应右PMD) s (D) s (MFD

14、N-1其其中中表表示示为为列列次次表表达达式式和和将将(s)NN(s)(s)DSDD(s)cLccLchc) s (N(s)D(s)cnk0det1ss1ss,ss) s (p1ici1k1kkkccpc1cpc1的的低低次次系系数数阵阵为为的的低低次次系系数数阵阵为为的的列列次次系系数数阵阵，且且为为N(s)ND(s)DDD(s)D(s)SLcLchchcc构图器形式状态空间实现结的控制即对应右PMD) s (D) s (MFDN-1取状态取状态 为反馈量，通过反馈阵为反馈量，通过反馈阵K，得到，得到状态反馈系统时间域形式结构图。状态反馈系统时间域形式结构图。(p)(s)NN(s)(s)DS

15、DD(s)cLccLchc) s (c根据下列关系：根据下列关系：复频域结构图简化，等价的导出状态反馈系统复频域结构图复频域结构图简化，等价的导出状态反馈系统复频域结构图作为复频域法分析和综合的基本模型。作为复频域法分析和综合的基本模型。状态反馈系统的能控性和能观测性判据状态反馈系统的能控性和能观测性判据（1）状态反馈系统的）状态反馈系统的MFD结论结论12.22 对复频域结构图所示的线性时不变状对复频域结构图所示的线性时不变状态反馈系统，闭环传递函数矩阵的右态反馈系统，闭环传递函数矩阵的右MFD为为(s)K)(DS(s)D(s)D(s)D) s (D) s (N(s)GLchcKK-1KK为

16、闭环分母矩阵（2）状态反馈系统的能控性）状态反馈系统的能控性结论结论12.23 对复频域结构图所示的线性时不变状对复频域结构图所示的线性时不变状态反馈系统态反馈系统 和开环系统和开环系统 ，有，有K0完全能控完全能控0K（3）状态反馈系统的能观测性）状态反馈系统的能观测性结论结论12.24 对复频域结构图所示的线性时对复频域结构图所示的线性时不变状态反馈系统不变状态反馈系统 和开环系统和开环系统 ， 完全能观测不能保证完全能观测不能保证 必为完全能观测。必为完全能观测。K0K0（4）受控系统的强能观测性）受控系统的强能观测性结论结论12.25 对由满秩对由满秩 完全表征完全表征的线性时不变受控

17、系统的线性时不变受控系统 ，称，称 为清能观为清能观测，当且仅当不存在使测，当且仅当不存在使N(s)降秩的降秩的s值。值。0) s (D) s (N) s (G-10（5）状态反馈系统的能观测性）状态反馈系统的能观测性结论结论12.26 对复频域结构图所示的线性时不变状对复频域结构图所示的线性时不变状态反馈系统态反馈系统 和开环系统和开环系统 ，有，有K0完全能观测完全能观测0K12.4 输出反馈系统的能控性和能观测性输出反馈系统的能控性和能观测性输出反馈系统：如下约定输出反馈系统：如下约定（1）子系统）子系统S1和和S2为真或严真，且可由传递为真或严真，且可由传递函数矩阵函数矩阵G1(s)G

18、2(s)完全表征；完全表征；（2）为保证输出反馈系统）为保证输出反馈系统 传递函数矩阵传递函数矩阵的真性或严真性，令的真性或严真性，令0)s (G) s (GI det)s (G) s (GI dets12s21F（3）对输出反馈系统中包含的串联系统，表）对输出反馈系统中包含的串联系统，表串联系统顺序按串联系统顺序按pppp12212112SSSSSS) s (G)s (G) s (GI ) s (G)s (G) s (GI)s (G) s (G1112F1211F结论结论12.27 输出反馈系统的传递函数矩阵为输出反馈系统的传递函数矩阵为输出反馈系统的能控性和能观测性判据输出反馈系统的能控性

19、和能观测性判据结论结论12.28 对输出反馈系统对输出反馈系统 ，有，有F完全能控完全能控12FS结论结论12.29 对输出反馈系统对输出反馈系统 ，有，有F完全能观测完全能观测21FS结论结论12.30 对多输入多输出输出反馈系对多输入多输出输出反馈系统统 ，有，有F能观测条件能控条件2112SSF结论结论12.31 对单输入单输出输出反馈系对单输入单输出输出反馈系统统 ，有，有F零点间不存在对消极点和能观测条件能控条件(s)g) s (gSS122112结论结论12.32 对单输入单输出输出反馈系对单输入单输出输出反馈系统统 ，有，有零点间不存在对消极点和能控和完全能观测完全(s)g) s

20、 (g12F常数阵）时有(F) s (GS22结论结论12.33 对多输入多输出输出反馈系对多输入多输出输出反馈系统统 ，若对子系统，若对子系统F完全能观测完全能观测完全能控能控完全1F1FSS12.5 直接输出反馈系统的稳定性分析直接输出反馈系统的稳定性分析系统的稳定性分为系统的稳定性分为“内部稳定内部稳定系统渐近稳定系统渐近稳定”和和“外部稳定外部稳定输入有界输出有界输入有界输出有界BIBO稳定性稳定性”直接输出反馈系统的稳定性直接输出反馈系统的稳定性0)s (GdetI) s (GSs111完全表征，矩阵可由传递函数子系统则有，馈系统完全表征，直接输出反可由传递函数矩阵：子系统结论DF1

21、1) s (GS34.12（1）BIBO稳定和渐近稳定的等价性稳定和渐近稳定的等价性 渐近稳定稳定DFDFBIBO定。稳定必等价于其渐近稳的从而，测。，为完全能控和完全能观完全表征，则可由传递函数矩阵证明：子系统BIBO) s (GSDFDF11的特征多项式，则有为完全表征，可由传递函数矩阵子系统，：对直接输出反馈系统结论) s (Gs)() s (GS35.121111DF（2）特征多项式）特征多项式 )s (GI det) s (11DF的特征多项式则有以有理分式矩阵表征，：对直接输出反馈系统结论) s (G36.121DF，稳定条件的以有理分式矩阵表征时）（DF1) s (G3式，均具有

22、负实部特征多项的根”“稳定为渐近稳定和0)s (GI s)det(BIBO11DF表征，则有以不可简约右，：对直接输出反馈系统结论1111DFD) s (MFDN) s (G37.12，稳定条件征时的表以不可简约右）（DF1MFD) s (G4式，均具有负实部特征多项的根”“稳定为渐近稳定和0)s (N) s (DdetBIBO11DF表征，则有以不可简约左，：对直接输出反馈系统结论) s (N) s (MFDD) s (G37.12L11L11DF，稳定条件征时的表以不可简约左）（DF1MFD) s (G5式，均具有负实部特征多项的根”“稳定为渐近稳定和0)s (N) s (DdetBIBO

23、L1L1DF12.6 具有补偿器的输出反馈系统的稳定性具有补偿器的输出反馈系统的稳定性分析分析具有补偿器的输出反馈系统具有补偿器的输出反馈系统测；为完全能控和完全能观和）子系统（引入三个基本约定；对21CFSS10)s (G) s (GdetI) s (G3(s)N) s (MFDD) s (s)DMFDN) s (GMFDSS2s21CFCFLi1Li1iii21设为真，的传递函数矩阵）为保证（不可简约左不可简约右描述和不可简约采用有理分式矩阵和）子系统（串联系统顺序按串联系统顺序按，统：具有补偿器的反馈系结论qqpp12212112CFSSSSSS39.12（1）BIBO稳定和渐近稳定的等

24、价性稳定和渐近稳定的等价性 渐近稳定稳定CFCFBIBO有完全能观测”条件，则完全能控，若满足“2112SS有完全能观测”条件，则完全能控，若不满足“2112SS稳定渐近稳定BIBOCFCF)AsI(det) s (Gs)()AsI(det) s (Gs)(EDBASEDBASEDBA40.12222211111111111111CFCFCFCFCFCF的特征多项式的特征多项式，状态空间描述，状态空间描述，状态空间描述馈系统：对具有补偿器输出反结论（2）特征多项式）特征多项式)s (G) s (GI s)det(s)()AsI(det2121CFCF的特征多项式则有则有以有理分式矩阵表征，和若

25、馈系统：对具有补偿器输出反结论) s (G) s (G41.1221CF渐近稳定条件表征时的以有理分式矩阵和）（CF21) s (G) s (G3式，均具有负实部特征多项的根”“为渐近稳定0)s (G) s (GI s)det(s)(2121CF表征，则有和右以不可简约左和若馈系统：对具有补偿器输出反结论122L11L121CFD) s (MFDN) s (NMFDD) s (G) s (G42.12渐近稳定条件表征时的右和以不可简约左和）（CF21MFDMFD) s (G) s (G4式均具有负实部特征多项的根”“为渐近稳定0)s (N) s (N) s (D) s (Ddet2L12L1C

26、F表征，则有和左以不可简约右和若馈系统：对具有补偿器输出反结论) s (NMFDDD) s (MFDN) s (G) s (G43.12L21L211121CF渐近稳定条件表征时的左和以不可简约右和）（CF21MFDMFD) s (G) s (G5式均具有负实部特征多项的根”“为渐近稳定0)s (N) s (N) s (D) s (Ddet1L21L2CF稳定的充分条件。件一般只是前面给出的渐近稳定条馈系统：对具有补偿器输出反结论BIBO44.12CFCF稳定条件的）（BIBO6CF稳定条件的）一类特殊（BIBO7CF稳定的充分必要条件。条件也是则前面给出的渐近稳定常阵的传递函数矩阵若子系统馈

27、系统：对具有补偿器输出反结论BIBO)(F) s (GS45.12CF22CF2s13s11s13s1(s)G,1s11s111s1(s)G(s)G(s)G22121反馈系统前向通道，输出反馈例：试判断（试判断（1）输出反馈系统是否完全能控；）输出反馈系统是否完全能控； （2）输出反馈系统是否完全能观测；）输出反馈系统是否完全能观测； （3）输出反馈系统是否为）输出反馈系统是否为BIBO稳定；稳定； （4）输出反馈系统是否为渐近稳定。）输出反馈系统是否为渐近稳定。系统完全能控。具有补偿器的输出反馈串联系统完全能控。左互质），（。均为不可简约右，为不可简约左的右和的左系统具有补偿器的输出反馈) s (G) s (G,) s (N),s (DD2,-3, 1 , 1s, 21s12)(s1)1)(s-(s0002)1)(s1)(s-(s-3srank) s (N) s (D) s (Drank2) s (D) s (DdimMFD) s (D) s (NMFD) s (N) s (D) s (D) s (N2)1)(s(s003s1s12s12s13s11s13s1) s (G) s (N) s (D1s1001)1)(s-(s01)-(s-11s11s111s1) s (GMFD) s