灰色预测模型※※

1、灰色预测模型灰色预测是就灰色系统所做的预测. 所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统. 一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统. 灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测. 尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测. 灰色预测模型只需要较少的观测数

2、据即可，这和时间序列分析，多元回归分析等需要较多数据的统计模型不一样. 因此，对于只有少量观测数据的项目来说，灰色预测是一种有用的工具. 一、GM(1,1)模型灰色系统理论是邓聚龙教授在1981年提出来的，是一种对含有不确定因素系统进行预测的方法. 通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，进行关联分析，并通过对原始数据进行生成处理来寻找系统的变化规律，生成较强规律性数据序列，然后建立相应微分方程模型，从而预测事物未来的发展趋势和未来状态. 目前使用最广泛的灰色预测模型是关于数列预测的一个变量、一阶微分的GM(1,1)模型. GM(1,1)模型是基于灰色系统的理论思想，将离散变量连续化，用微分方

3、程代替差分方程，按时间累加后所形成的新的时间序列呈现的规律可用一阶线性微分方程的解来逼近，用生成数序列代替原始时间序列，弱化原始时间序列的随机性，这样可以对变化过程作较长时间的描述，进而建立微分方程形式的模型. 其建模的实质是建立微分方程的系数，将时间序列转化为微分方程，通过灰色微分方程可以建立抽象系统的发展模型. 经证明，经一阶线性微分方程的解逼近所揭示的原始时间数列呈指数变化规律时，灰色预测GM(1,1)模型的预测将是非常成功的. 1.1 GM(1,1)模型的建立灰色理论认为一切随机量都是在一定范围内、一定时间段上变化的灰色量及灰色过程. 数据处理不去寻找其统计规律和概率分布, 而是对原始

4、数据作一定处理后, 使其成为有规律的时间序列数据, 在此基础上建立数学模型. GM(1,1)模型是指一阶，一个变量的微分方案预测模型，是一阶单序列的线性动态模型，用于时间序列预测的离散形式的微分方程模型.设时间序列有个观察值，为了使其成为有规律的时间序列数据，对其作一次累加生成运算，即令从而得到新的生成数列，新的生成数列一般近似地服从指数规律. 则生成的离散形式的微分方程具体的形式为即表示变量对于时间的一阶微分方程是连续的. 求解上述微分方程，解为当=1时，即，则可根据上述公式得到离散形式微分方程的具体形式为其中，项中的为的背景值，也称初始值；，是待识别的灰色参数，为发展系数，反映的发展趋势；

5、为灰色作用量，反映数据间的变化关系. 按白化导数定义有显然，当时间密化值定义为1时，当时，则上式可记为这表明是一次累减生成的，因此该式可以改写为当足够小时，变量从到是不会出现突变的，所以取与的平均值作为当足够小时的背景值，即将其值带入式子，整理得由其离散形式可得到如下矩阵：令 称为数据向量，为数据矩阵，为参数向量. 则上式可简化为线性模型：由最小二乘估计方法得上式即为GM(1,1)参数的矩阵辨识算式，式中事实上是数据矩阵的广义逆矩阵. 将求得的，值代入微分方程的解式，则其中，上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得对序列再作累减生成可进行预测. 即上式便是GM(1,1)模型的预

6、测的具体计算式. 或对求导还原得1.2 GM(1,1)模型的检验GM(1,1)模型的检验包括残差检验、关联度检验、后验差检验三种形式. 每种检验对应不同功能：残差检验属于算术检验，对模型值和实际值的误差进行逐点检验；关联度检验属于几何检验范围，通过考察模型曲线与建模序列曲线的几何相似程度进行检验，关联度越大模型越好；后验差检验属于统计检验，对残差分布的统计特性进行检验，衡量灰色模型的精度. Ø 残差检验残差大小检验，即对模型值和实际值的残差进行逐点检验. 设模拟值的残差序列为，则令为残差相对值，即残差百分比为令为平均残差，. 设残差的方差为，则. 故后验差比例为，误差频率为. 对于检

7、验指标如下表：检验指标好合格勉强不合格表 1 灰色预测精确度检验等级标准一般要求，最好是，符合要求.Ø 关联度检验关联度是用来定量描述各变化过程之间的差别. 关联系数越大，说明预测值和实际值越接近. 设 序列关联系数定义为式中,为第个点和的绝对误差，为第个数据的关联系数，称为分辨率，即取定的最大差百分比，,一般取. 和的关联度为精度等级关联度均方差比值小误差概率好（1级）合格（2级）勉强（3级）不合格（4级）表 2 精度检验等级关联度大于60%便满意了，原始数据与预测数据关联度越大，模型越好. Ø 后验差检验后验差检验，即对残差分布的统计特性进行检验. 检验步骤如下：1、计

8、算原始时间数列的均值和方差2、计算残差数列的均值和方差其中为残差数列. 3、计算后验差比值4、计算小误差频率 令=0.6745，即. 若对给定的，当时，称模型为方差比合格模型；若对给定的，当时，称模型为小残差概率合格模型. 模型精度>0.95<0.35优>0.80<0.5合格>0.70<0.65勉强合格<0.70>0.65不合格表 3 后验差检验判别参照表1.3 残差GM(1,1)模型当原始数据序列建立的GM(1,1)模型检验不合格时，可以用GM(1,1)残差模型来修正. 如果原始序列建立的GM(1,1)模型不够精确，也可以用GM(1,1)残差模

9、型来提高精度. 若用原始序列建立的GM(1,1)模型可获得生成序列的预测值，定义残差序列. 若取k=t, t+1, , n，则对应的残差序列为计算其生成序列，并据此建立相应的GM(1,1)模型得修正模型其中为修正参数. 应用此模型时要考虑：1、一般不是使用全部残差数据来建立模型，而只是利用了部分残差. 2、修正模型所代表的是差分微分方程，其修正作用与中的t的取值有关. 1.4 GM(1,1)模型的适用范围定理：当GM(1,1)发展系数时，GM(1,1)模型没有意义.我们通过原始序列与模拟序列进行误差分析，随着发展系数的增大，模拟误差迅速增加. 当发展系数时，模拟精度可以达到98%以上；发展系数

10、时，模拟精度可以达到95%以上；发展系数时，模拟精度低于70%；发展系数时，模拟精度低于50%.进一步对预测误差进行考虑，当发展系数时，1步预测精度在98%以上，2步和5步预测精度都在90%以上，10步预测精度亦高于80%；当发展系数时，1步预测精度已低于70%. 通过以上分析，可得下述结论：1、当时，GM(1,1)可用于中长期预测；2、当时，GM(1,1)可用于短期预测，中长期预测慎用；3、当时，GM(1,1)作短期预测应十分谨慎；4、当时，应采用残差修正GM(1,1)模型；5、当时，不宜采用GM(1,1)模型. 1.5 GM(1,1)模型实例分析例：预测学生后两个学期的成绩.学期1成绩学期

11、2成绩学期3成绩学期4成绩某学生7974.82574.2976.98则该学生成绩时间序列如下：对作一次累加后的数列为对做紧邻均值生成. 令，得则数据矩阵及数据向量为，对参数列进行最小二乘估计，得即 ，则GM(1,1)模型为时间响应式为当时，我们取还原求出的模拟值. 由，取，得通过预测，得到实际值与预测值如下表：实际值预测值相对误差第一学期79790第二学期74.82574.28100.73%第三学期74.2974.35840.0921%第四学期76.9876.45130.7051%表 4 四学期的实际值与预测值的误差表因为，那就可得学生的预测值，与现实值进行比较得出该模型精度较高，可进行预测和

12、预报. 我们对学生未来两个学期（也就是第五、六个学期）的成绩进行预测，分别为77.5602分和78.6851分. 例：某大型企业1999年至2004年的产品销售额如下表，试建立GM(1,1)预测模型，并预测2005年的产品销售额。年份199920002001200220032004销售额(亿元)2.673.133.253.363.563.72解：设=2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72第1步 构造累加生成序列=2.67，5.80，9.05，12.41，15.97，19.69第2步 构造数据矩阵和数据向量，第3步 计算=第4步 得出预测模型0.043879=2.925663

13、=69.345766.6757（=2.67；=66.6757）第5步 残差检验(1)根据预测公式，计算，得2.67，5.78，9.03，12.43，15.97，19.68，19.69(=0,1, ,6)(2)累减生成序列，=1,2, ,62.67，3.11，3.25，3.40，3.54，3.71原始序列：2.67，3.13，3.25，3.36，3.56，3.72(3)计算绝对残差和相对残差序列绝对残差序列：0，0.02，0，0.04，0.02，0.01相对残差序列：0，0.64%，0，1.19%，0.56%，0.27%相对残差不超过1.19%，模型精确度高。第6步 进行关联度检验(1) 计算序

14、列与的绝对残差序列(k)0,0.02,0,0.04,0.02,0.01min(k) = min0,0.02,0,0.04,0.02,0.01= 0max(k) = max0,0.02,0,0.04,0.02,0.01= 0.04(2) 计算关联系数由于只有两个序列（即一个参考序列，一个被比较序列）故不再寻求第二级最小差和最大差。求得1, 0.5, 1, 0.33, 0.5, 0.67(3) 计算关联度0.67r=0.67是满足P=0.5时的检验准则r>0.6的。第7步 后验差检验(1) 计算：=2.67+3.13+3.25+3.36+3.56+3.72=3.28(2) 计算 序列的均方差

15、：=0.3671(3) 计算残差的均值：=0.015(4) 计算残差的均方差：=0.0152(5) 计算C：=0.0152/0.3671=0.0414(6) 计算小残差概率：=0.67450.3671=0.27460.15,0.005,0.015,0.025,0.005,0.005所有都小于，故小残差概率=1，而同时C=0.0414<0.35，故模型=69.345766.6757合格. 第8步 预测：k=7，(8)=(8)(7)=4.23即2005年的产品销售额预测值为4.23亿元. 灾变预测例：某地区平均降水量（单位：毫米）的原始数据为：=386.6, 514.6, 434.1, 48

16、4.1, 647.0, 399.7,498.7, 701.6, 254.5, 463.0, 745.0, 398.3,554.5, 471.1, 384.5, 242.5, 671.7, 374.7,458.9, 511.3, 530.8, 586.0, 387.1, 454.4,规定年降水量390(毫米)为旱灾年，试作旱灾预测。首先作灾变映射。按照390(毫米)为异常值,则有 .作异常值到出现灾变点的映射，得灾变日期序列为据此对建立灾变日期序列的GM(1,1)模型。对作一次累加生成，得。求得参数向量。记的紧邻生成序列为，于是,得灾变GM(1,1)为，灾变日期序列的GM(1,1)序号响应式为从

17、而由此可得的模拟序列由，得绝对残差序列， 及相对残差序列平均相对残差小于0.10，故可用进行预测. ，即从最近一次旱灾发生的时间算起，五年之后可能发生旱灾. 二、GM(1,N)模型2.1 GM(1,N)模型的建立当系统中包含多个相关的变量，其时间序列的一阶差分都大于零具有明显的上升趋势，可以利用多变量灰色预测模型GM(1,N)来建模分析. 设为系统特征数据序列，而为相关因素序列，为的1-AGO序列，为的紧邻均值生成序列，则称为GM(1,N)模型. 在GM(1,N)模型中，称为系统发展数据，称为驱动项，称为驱动系数，称为参数列.设为系统特征数据系列，为相关因素数据序列，为诸的1-AGO序列，为的

18、紧邻均值生成序列，则，则参数列的最小二乘估计满足设，则称为GM(1,N)模型的白化方程，也称影子方程. 由，则1、 白化方程按差分法离散，得到解为2、当变化幅度很小时，可视为灰常量，则GM(1,N)模型的近似响应时间式为(取为)3、累减还原式4、GM(1,N)差分模拟式为2.2 GM(1,1)模型与GM(1,N)模型的比较GM(1,1)是基本预测模型，具有全信息. 而GM(1,N)为分析模型、因子模型，它不具有全信息，一般不适应于预测. 然而，当有必要对多因子的系统作整体的、全局的、动态的分析时，就需要使用GM(1,N).2.3 GM(1,N)模型实例分析设系统特征数据序列为,相关因素数据序列

19、为，试建立GM(1,2)模型. GM(1,2)白化方程为对作一次累加后的序列为对做紧邻均值生成序列为则数据矩阵及数据向量为，对参数列进行最小二乘估计，得则GM(1,2)模型为时间响应式为模拟数据，见下表序号实际数据模拟数据残差相对误差23.2782.7700.50815.5%33.3073.548-0.2417.3%43.3905.535-0.1454.3%53.6793.5820.0972.6%三、GM(2,1)模型设为原始时间序列，对它进行一次累加生成运算，得生成列为其中，生成的时间序列构成一灰色模块，建立GM(2,1)模型(1)若，令，则上式变为(2)上两个式子从微分方程角度看，没有本质

20、区别，但从拟合角度看，(1)式是拟合项，而(2)式是拟合项，实际上就是原始时间序列的近似，近似，而的变化较大，拟合效果不太好，故从拟合角度看，(2)式比(1)式好。GM(2,1)模型比GM(1,1)模型多考虑了的影响，因此预测效果更好一些. 按灰色系统理论，(2)式的离散形式为数据矩阵和数据向量为，令，则(3)式可表示为矩阵形式上式的最小二乘解为当已知时，若需要预测第时刻的预测值，则由(3)式得预测公式若第时刻及以后的拟合值不满足要求，即，不在误差允许范围内，对按照前面处理的办法，建立残差GM(2,1)模型，可求出为对进行一次累减可得. 残差変识可进行多次，直到满足要求为止，最后，可把作为时间

21、序列第时刻的预测值. 四、灰色模型程序Ø GM(1,1) MATLAB程序function =greymodelshili(y)% 本程序主要用来计算根据灰色理论建立的模型的预测值。% 应用的数学模型是 GM(1,1)。% 原始数据的处理方法是一次累加法。y=2.67 3.13 3.25 3.36 3.56 3.72; %原始数据n=length(y);D=y*0;ones(n-1,1);yy=ones(n,1);yy(1)=y(1);for i=2:n yy(i)=yy(i-1)+y(i); %生成序列 x(1)，(1)在x的上方endB=ones(n-1,2);for i=1:(

22、n-1) B(i,1)=-(yy(i)+yy(i+1)/2; B(i,2)=1; %数据矩阵endBT=B'for i=1:(n-1) z(i,1)=(yy(i)+yy(i+1)/2; %z(1)，(1)在z的上方end C=ones(1,n-1)*z;E=y*0;z;F=z'*z;for j=1:n-1 YN(j)=y(j+1); %数据向量endYN=YN'A=inv(BT*B)*BT*YN;a=A(1); %发展系数u=A(2); %灰作用量t=u/a;t_test=1; %预测的个数，根据题目可以自己取i=1:t_test+n;yys(i+1)=(y(1)-t).*exp(-a.*i)+t; %白化响应式yys(1)=y(1); %生成序列的估计值，x(1)的估计值,(1)在x的上面xxs(i+1)=yys(i+1)-yys(i)xxs(1)=y(1) %原始数据的估计值，x(0)的估计值,(0)在x的上面 for i=1:n Det(i)=abs(xxs(i)-y(i)/y(i) %相对残差endDET=Det*ones(n,1)/n %平均相对残差for j=n+t_test:-1:2 ys(j)=yys(j)-yys(j-1); %生成序列估计值残差en