货币时间价值及其计算

1、货币时间价值及计算货币时间价值及计算讲授人：高万青讲授人：高万青2现金流量的涵义现金流量的涵义现金流量是现现金流量是现代理财学中的代理财学中的一个重要概念一个重要概念是指经济实体在一定期间是指经济实体在一定期间按照现金制（或收付实现）按照现金制（或收付实现）原则，通过一定经济活动原则，通过一定经济活动（包括经营活动、投资活（包括经营活动、投资活动、筹资活动和非经常性动、筹资活动和非经常性项目项目)而产生的现金流入、而产生的现金流入、现金流出及其总量情况的现金流出及其总量情况的总称总称 现金流量的概念也现金流量的概念也常用于拟建项目的常用于拟建项目的评价与分析评价与分析 指项目计算期内各指项目计

2、算期内各时点上预计发生的时点上预计发生的现金流入、流出以现金流入、流出以及流入和流出的差及流入和流出的差额（即净现金流量）额（即净现金流量）3现金流量的分类现金流量的分类现金流量连续型现金流量离散型现金流量时期值时点值如无特殊如无特殊说明，所说明，所指现金流指现金流量即为该量即为该类型类型现金流入量(CI)t现金流出量(CO)t净现金流量(NCF)t=(CI)t(CO)t从某一从某一主体角主体角度区分度区分现金流量4单期单期多期多期现金流量现金流量单笔收付单笔收付（Single Payment）年金年金混合现金流混合现金流0 1 2 3 FP0 1 FP现金流量的分类现金流量的分类5现金流量的

3、分类现金流量的分类现金流入量现金流入量为正为正(+)现金流出量现金流出量为负为负(-) 常规现金流量按时间顺序排列的现金流量,其相邻的两个现金流量的正负号变换只有一次非常规现金流量按时间顺序排列的现金流量,其相邻的两个现金流量的正负号变换超过一次现金流量N012345NCFt-30,000+2,000+5,000+10,000+10,000+12,000N012345NCFt-30,000+10,000+15,000-3,000+20,000-3,000常规现金流量非常规现金流量6非常规现金流量、非常规现金流量、IRR与笛卡尔符号规则与笛卡尔符号规则笛卡尔符号规则 (Descartes rul

4、e of signs) 是高次多项式函数(Higher-Degree Polynomial Function)的重要法则，是一个用于确定多项式的正根或负根的个数的方法。 如果把一元实系数多项式按降幂方式排列，则多项式的正根的个数要么等于相邻的非零系数的符号的变化次数，要么比它小2的倍数。而负根的个数则是把所有奇数次项的系数变号以后，所得到的多项式的符号的变化次数，或者比它小2的倍数7笛卡尔符号规则 (Descartes rule of signs) IRR是NPV=0时的贴现率i 010ntttCICOi设1txittCICOa则 20120nnaa xa xa xn次多项式必有n个根，可能是

5、正根、负根或虚根，但只有正实数根才可能得到有意义的内部收益率1xix符号变化次数符号变化次数mx的正根个数的正根个数i的正根数的正根数000111或022或02，1或033或13，2或12m k8现金流量图现金流量图 现金流量图是一种反映经济系统资金运动状态的图式 它把经济系统的现金流量绘入一时间坐标图中，表示出各现金流入、流出与相应时间的对应关系 运用现金流量图，可全面、形象、直观地表达经济系统的资金运动状态现金流量图三要素现金流量的大小(现金数额)方向(现金流入或流出)作用点(现金发生的时间点)正确绘图的关键现金流量图中反映现金流量图中反映的现金流量为该期的现金流量为该期的净现金流量的净现

6、金流量9作图方法与规则作图方法与规则 以横轴为时间轴，向右延伸表示时间的延续 轴上每一刻度表示一个时间单位（即“期”），可取年、半年、季或月等；零表示时间序列的起点 相对于时间坐标的垂直箭线代表不同时点的现金流量情况 现金流量的性质(流入或流出)是对特定的经济实体而言的 对投资人而言，在横轴上方的箭线表示现金流入，即表示收益；在横轴下方的箭线表示现金流出，即表示费用 在各箭线上方(或下方)注明现金流量的数值 箭线与时间轴的交点即为现金流量发生的时间单位末（年末、月末、季末等）现金流量图现金流量图10货币时间价值的概念货币时间价值的概念1一次性收付款的时间价值计算一次性收付款的时间价值计算2年金

7、的时间价值计算年金的时间价值计算 3计息次数和有效利率计息次数和有效利率411货币时间价值的概念货币时间价值的概念1货币时间价值与利率的区别货币时间价值与利率的区别2现值与终值现值与终值3单利与复利单利与复利4一、货币时间价值的概念一、货币时间价值的概念12是指货币经历一定时间的投资和再是指货币经历一定时间的投资和再投资所增加的价值投资所增加的价值1.1 货币时间价值的概念货币时间价值的概念货币时间价货币时间价值值报酬支付方案报酬支付方案如果向你支付1000元报酬，你会选择现在就得到这1000元呢，还是会选择一年以后再得到这1000元？举例131.2 货币时间价值与利率的区别货币时间价值与利率

8、的区别利率 是指可贷资金的价格，它是借款人在贷出资金时对其贷出资金所要求的报酬。 因为任何贷款都存在风险，并且，贷款人在贷款期间可能由于通货膨胀而使实际报酬降低，因此，贷款人所要求的利率是由纯利率纯利率、风险风险报酬报酬和通货膨胀贴补通货膨胀贴补三部分组成的货币时间价值 通常是指在没有风险、没有通货膨胀时的社会平均利润率 在没有通货膨胀或通货膨胀很低时，可用国库券的利率表明货币时间价值141.3 现值和终值现值和终值由于货币存在时间价值，导致不同时点上的等额货币价值不等，因此，在比较不同时点上的货币金额时，需将它们折算到同一时点上才能比较，由此引出了现值和终值概念现值现值是指未来某一时点上一定

9、金额的货币在现在的价值，即本金终值终值是指现在一定金额的货币在未来某一时点上的价值，即本利和 现值P与终值F 结合现金流量图，理解其相对性 一般而言,现值指的是t=0时刻的值 终值指的是t=n时刻的值 在实际应用时,需具体情况具体分析对现值和终值更普遍、更一般意义的理解，见下页151.3 现值和终值现值和终值由于货币存在时间价值，导致不同时点上的等额货币价值不等，因此，在比较不同时点上的货币金额时，需将它们折算到同一时点上才能比较，由此引出了现值和终值概念现值现值是指某一时点上一定金额的货币在该时点之前另一时点上的价值终值终值是指某一时点上一定金额的货币在该时点之后另一时点上的价值161.3

10、现值和终值现值和终值现值现值是指某一时点上一定金额的货币在该时点之前另一时点上的价值某一时点可以是现在、也可以是将来、甚至可以是过去，它可以是时间轴上的任意一点所谓现值，是探究该点的货币值在该点之前某时点的等值问题171.3 现值和终值现值和终值终值终值是指某一时点上一定金额的货币在该时点之后另一时点上的价值某一时点可以是现在、也可以是将来、甚至可以是过去，它可以是时间轴上的任意一点所谓终值，是探究该点的货币值在该点后某时点的等值问题180 1 2 3 Fn=F3=？ i=10%P=P0=1001.3 现值和终值现值和终值F1=?F2=?终值190 1 2 3F=100 i=10%P0=？P1

11、=?P2=?1.3 现值和终值现值和终值现值20 0 1 2 3 4 n 200i=10%P0=? 1.3 现值和终值现值和终值100F4=?P4=?P0=?F4=P4不同时点上的现金流量，只有换算到同一时点，才具有可比性P0终值现值211.4 单利和复利单利和复利是指在进行货币时间价值计算时，只是指在进行货币时间价值计算时，只就本金计息，而不对以前积存的利息就本金计息，而不对以前积存的利息计息计息单单 利利是指是指在进行货币时间价值计算时，是指是指在进行货币时间价值计算时，不但就本金计息，而且对以前积存的不但就本金计息，而且对以前积存的利息计息，即利滚利利息计息，即利滚利复复 利利间断复利(

12、普通复利)连续复利221.5 单一支付款项单一支付款项 与与 系列支付款项系列支付款项是指在某一特定时间内只发生一次的是指在某一特定时间内只发生一次的简单现金流量简单现金流量单一支单一支付款项付款项是指在是指在N期内多次发生现金流入或流期内多次发生现金流入或流出出系列支系列支付款项付款项各种年金是其特殊形式231.6 复利系数常用符号复利系数常用符号 P现值（Present Value） F终值（未来值）(Future/Final Value)，曾经用S表示终值，S即Sum的首字母，本利和中的“和” A年金（Annuity） G等差年金的公差（均匀梯度gradient），也称为梯度量、等差量

13、s或g等比年金的公比 n或t计息周期数（期数） i或r每个计息周期的利率（期利率）24一次性收付款的终值计算一次性收付款的终值计算1一次性收付款的现值计算一次性收付款的现值计算2一次性收付款的利率计算一次性收付款的利率计算3一次性收付款的期数计算一次性收付款的期数计算4二、一次性收付款的货币时间价值计算二、一次性收付款的货币时间价值计算252.1 一次性收付款的终值计算一次性收付款的终值计算【例例1】图2-10 1 2 3 F=？ i=10%P=100262.1 一次性收付款终值计算一次性收付款终值计算第第一一年末本利和年末本利和=100+100 0.1=100 (1+0.1)=100 (1+

14、0.1)1 =110第第二二年末本利和年末本利和=110+110 0.1=110 (1+0.1)=100 (1+0.1)2 =121第第三三年末本利和年末本利和=121+121 0.1=121 (1+0.1)=100 (1+0.1)3 =133.1 期初本金当期利息期末本息合计例一解272.1 一次性收付款终值计算一次性收付款终值计算(1)(, , )nFFPiPi nP由上面的计算推导出，现值求终值的公式： 称为一次性收付款普通复利终值系数，用 表示或FVIF(i,n)表示 (1)ni(, , )Fi nP基本现值等式 basic present value equation28【练习练习1

15、】 你现在存入银行10000元，银行按每年10%复利计息，30年后你在银行存款的本利和是多少？2.1 一次性收付款终值计算一次性收付款终值计算查看答案查看答案292.1 一次性收付款终值计算一次性收付款终值计算【答案答案】解：F=P （F/P，i，n） =10000（F/P，10%，30） =10000（17.4494） =174494302.2 一次性收付款现值计算一次性收付款现值计算 图2-2【例例2】0 1 2 3F=100 i=10%P=？312.2 一次性收付款现值计算(1), ,nPPFiFi nF 根据一次性收付款终值公式 推导出一次性收付款现值公式： 称为一次性收付款普通复利现

16、值系数，用 表示或PVIF(i,n) 注意注意：n，i越大， 越小(1)nFPi(1)ni, ,Pi nF, ,Pi nF322.2 一次性收付款现值计算一次性收付款现值计算例例2解解0 1 2 3F=100 i=10%P=？解：P=F（P/F，i，n） =100（P/F，10%，3） =100（0.751） =75.1332.3 一次性收付款一次性收付款de利率计算利率计算图2-3【例例3】 0 1 2 3 4 5 i=？F=200P=100342.3 一次性收付款利率计算一次性收付款利率计算F=P（F/P，i，n） 200=100（F/P，i，5） (F/P，i，5）=2 14% 1.92

17、54x=? 2.015% 2.0114例3解查表(, ,5)FiPi插值计算14%2.0 1.92540.8674415% 14%2.0114 1.9254x14%0.867%14.867%ix可用Excel单变量求解功能，解出i值或RATE()函数352.4 一次性收付款一次性收付款de期数计算期数计算【例例4】 0 1 2 3 n=? F=200i=10%P=100 图2-436 7 1.9487x=? 2.08 2.1436 2.4 一次性收付款期数计算一次性收付款期数计算F=P（F/P，i，n） 200=100（F/P，10%，n） (F/P，10%，n)=2例4解查表插值计算n(,1

18、0%, )FnP72.0 1.94870.2638 72.1436 1.9487x7.263nx72法则372.5 72法则、法则、69.3法则、法则、115法则法则 72法则与69.3法则，为资金翻倍或翻番时的期数与利率的简便快捷计算； 72法则用于普通复利且复利次数不多的情形； 69.3法则用于连续复利，或复利次数较多的普通复利（比如按日复利计息）； 115法则，用于资金翻三倍时的期数与利率的简便快捷计算38年金的概念年金的概念1年金的种类年金的种类2普通年金货币时间的计算普通年金货币时间的计算3其他年金的货币时间价值计算其他年金的货币时间价值计算4三、年金的货币时间价值计算三、年金的货币

19、时间价值计算393.1 年金的概念年金的概念年金是一个等时间间隔(即定期)、同方向且金额具有规律性的系列收支比如，分期付款赊购，分期支付租金，发放养老金根据金额呈现出的不同规律 等额年金 等差年金 等比年金) 普通年金 即付年金（预付、先付年金） 递延年金 永续年金各种年金货币时间价值的计算以普通年金货币时间价值的计算为基础永续增长年金年金是具有规律的混合现金流增长年金403.2 年金的种类年金的种类0 1 2 3 A A A普通年金普通年金各期期末支付的年金各期期末支付的年金413.2 年金的种类年金的种类 A A A0 1 2 3各期期初支付的年金各期期初支付的年金预付年金预付年金423.

20、2 年金的种类年金的种类 A A A0 1 2 3 4第一次支付在第二期第一次支付在第二期及其以后的年金及其以后的年金递延年金递延年金433.2 年金的种类年金的种类永续年金永续年金0 1 2 3 A A A 无限期定额支无限期定额支付的年金付的年金44如无特别说明所提及的年金系数(年金现值系数、年金终值系数、投资回收系数、偿债基金系数)，均为普通年金的系数所提及的年金均为普通年金45普通年金的终值计算普通年金的终值计算1普通年金的现值计算普通年金的现值计算2普通年金的利率计算普通年金的利率计算3普通年金的期数计算普通年金的期数计算43.3 普通年金时间价值计算普通年金时间价值计算463.3.

21、1 普通年金终值计算普通年金终值计算 0 1 2 3【例例5】 100 100 100I=10%FA=100+100（1+10%）+100（1+10%）2 =100（1+1.1+1.21） =100（3.31） =3.31三年期利率10%年金终值系数 FA=?100 100（1+10%）100（1+10%）247普通年金终值计算公式普通年金终值计算公式： 称为年金终值系数。称为年金终值系数。3.3.1 普通年金终值计算普通年金终值计算【公式推导过程公式推导过程】11, ,niFFAAi niA, ,Fi nA483.3.1 普通年金终值计算普通年金终值计算121012021(1)(1)(1)(

22、1) 1(1)(1)(1) 1 (1)(1)(1)nnnnnnFAiAiAiAiAiiiiAiii普通年金终值计算公式推导过程等比级数11nnaaqSq111(1)(1)nnaaiqi(1)1niFAi493.3.1 普通年金终值计算普通年金终值计算121012021(1)(1)(1)(1) 1(1)(1)(1) 1 (1)(1)(1)nnnnnnFAiAiAiAiAiiiiAiii普通年金终值计算公式推导过程21211 (1)(1)(1) (1)(1)(1) (1)(1)(1) (2)nnnnFiiiAFiiiiiA 用(2)(1)得(1)1nFiAi503.3.1 普通年金终值计算普通年金

23、终值计算【 练习练习2】 在未来30年中，你于每年末存入银行10000元，假定银行年存款利率为10%，请计算30年后你在银行存款的本利和是多少？查看答案查看答案513.3.1 普通年金终值计算普通年金终值计算【答案答案】 解：F=A（F/A，i，n） =10000（F/A，10%，30） =10000（164.4940） =1644940523.3.1 普通年金终值计算普通年金终值计算偿债基金系数偿债基金系数已知终值F，求年金A 由 得到： 称为偿债基金系数, ,FFAi nA, , ,AFAFi nFFi nA, ,Ai nF, ,11nAii nFi533.3.1 普通年金终值计算普通年金

24、终值计算【 练习练习3】 某企业5年后有一笔1000万元到期债务要偿还，企业为准备偿债，在未来的5年中于每年年末存入银行一笔款项。假如银行年存款利率为10%，问：该企业需每年年末存入银行多少钱，才能偿还5年后到期的1000万元债务？查看答案查看答案543.3.1 普通年金终值计算普通年金终值计算【答案答案】 解：A=F/（F/A，i，n） =1000/（F/A，10%，5） =1000/（6.1051） =163.7975(, , )1000 (,10%,5) =1000 0.16379748=163.79748AAAFi nFF553.3.2 普通年金现值计算普通年金现值计算 0 1 2 3

25、【例例6】 100 100 100i=10%P=？100(1+0.1) -1100(1+0.1) -2100(1+0.1) -3P=100(1+0.1) -1+100(1+0.1) -2+100(1+0.1) -3 =100(1+0.1) -1+ (1+0.1) -2+(1+0.1) -3 =100(0.9091+0.8264+0.7513) =100(2.4868) =248.68三年期利率10%的年金现值系数563.3.2 普通年金现值计算普通年金现值计算普通年金现值计算公式普通年金现值计算公式： 称为年金现值系数称为年金现值系数 11 (, , )niPAiPAi nA, ,Pi nA5

26、73.3.2 普通年金现值推导普通年金现值推导 普通年金现值公式推导过程普通年金现值公式推导过程 0 1 2 n A A AFP=?(1)11 (1), , ,(1)(1)nnnnPFiii ni niiAAii583.3.2 普通年金现值推导普通年金现值推导 普通年金现值公式推导过程普通年金现值公式推导过程永续年金现值公式如果我们知道1PAi从1到的年金现值1Ai为时点0的值从n+1到的年金现值1Ai为时点n的值1(1)nAii 时点0的值(1)(2)用(1)(2)得 1到n期的年金现值1111(1)nniiiii 591212(1)(1)(1) 1(1)(1) nnPAiAiAiAiii3

27、.3.2 普通年金现值推导普通年金现值推导 可用36页推导普通年金终值公式的办法推导普通年金现值公式等比级数11nnaaqSq111(1)(1)(1)nnaiaiqi1 (1)niPAi 0 1 2 n A A A P=?603.3.2 普通年金现值计算普通年金现值计算【练习练习4】 计算从夏利汽车公司取得的汽车计算从夏利汽车公司取得的汽车借款的现值借款的现值 夏利汽车公司预计在未来36个月中，每月从其一名客户处收取2000元的汽车贷款。第一笔还款在借款后1个月，贷款利率为每月1%，问：顾客借了多少钱？查看答案查看答案613.3.2 普通年金现值计算普通年金现值计算【答案】 解：P= A（P/

28、A，i，n） =2000（P/A，1%，36） =2000（30.1075） =60215注意注意期数的时间单位应与利率的时间单位相匹配623.3.2 普通年金现值计算普通年金现值计算投资回收系数投资回收系数已知现值P，求年金A 由 得到： 称为投资回收系数, ,PPAi nA, , ,APAPi nPPi nA, ,Ai nP, ,1 (1)nAii nPi633.3.2 普通年金现值计算普通年金现值计算借款的分期等额偿还借款的分期等额偿还【例例7】 假如你现在用10万元购置一处房子，购房款从现在起于3年内每年年末等额支付。在购房款未还清期间房产开发商按年利率10%收取利息。你每年末的还款额

29、是多少？ 解：解： A=P / （P/A，i，n） A=100000/（P/A，10%，3） =100000/（1/2.4868） =100000/（0.40211） =40211(, , )(,10%,3) =1000000.40211=40211 AAAPi nPPP643.3.2 普通年金现值计算普通年金现值计算借款分期等额偿还表借款分期等额偿还表 借款分期等额偿还表说明借款如何随时间清偿，即本金（初始借款额）和利息如何清偿。借款分期等额偿还表期数期数本金本期还款额本期利息本期还本期末本金第1年100,000.00 40,211.48 10,000.00 30,211.48 69,788

30、.52 第2年69,788.52 40,211.48 6,978.85 33,232.63 36,555.89 第3年36,555.89 40,211.48 3,655.59 36,555.89 0.00 653.3.2 普通年金现值计算普通年金现值计算借款分期等额偿还图借款分期等额偿还图 第一年初至第三年末借款余额第一年初至第三年末借款余额100000 69789 36556 0 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 0123663.3.3 普通年金普通年金de利率计算利率计算查看答案查看答案【例例8】已知现值已知现值P和年金和年金A，求利率，求利率

31、iP=2000 1 2 3i=？ 100 100 10067P=A（P/A，i，n） 200=100（P/A，i，3） (P/A，i，3）=2 20% 2.106x=? 2.024% 1.981查表(, ,3)PiAi插值计算20%2.0 2.1060.84824% 20%1.981 2.106x20%3.392%23.392%ix可用Excel单变量求解功能，解出i值或Rate()函数3.3.3 普通年金普通年金de利率计算利率计算例8解683.3.4 普通年金普通年金de期数计算期数计算 【例例9】 某企业准备投资100000元购入一种设备，企业每年可因此节约成本25000元，若该企业要求

32、的投资报酬率为10%，假设设备使用期满残值为0，问：该设备至少应使用多少年才应投资？查看答案查看答案69P=A(P/A，i，n) 100000=25000(P/A,10%,n) (P/A，10%，n）=4 5 3.791x=? 4.0 6 4.355查表(,10%,)PnAn插值计算54.0 3.7910.3705676 54.355 3.791x50.375.37nx可用Excel单变量求解功能，解出i值或NPER()函数3.3.4 普通年金普通年金de期数计算期数计算例9解701001.11001.211001.3313.4 其他年金计算问题其他年金计算问题3.4.1预付年金计算预付年金计

33、算 100 100 100-1 0 1 2 3i=10%F=？【例例10】713.4.1 预付年金预付年金(Annuity Due)的计算的计算F=1001.1+1001.21+1001.331 =100（1.1+1.21+1.331） =100（1+1.1+1.21）（1.1） =100（3.31）（1.1） =364.1 由以上计算过程可知，预付年金与普通年金相比，其每笔款项的终值多计了一次利息。由此可得出预付年金终值计算公式：FVIFAD(n)=A(F/P，i，n)(1+i)普通年金终值系数 723.4.1 预付年金计算预付年金计算预付年金求终值的另一种方法预付年金求终值的另一种方法 A

34、 A A0 1 2 3F=？ A A A A-1 0 1 2 3F=？733.4.1 预付年金计算预付年金计算 由上面两图对比可以看出：如果在第三期末还存在一笔款项A，从一年前看是一个求四期普通年金终值的问题。但是，第三期末的笔款项A是不存在的，所以，求三期预付年金终值，可先求四期普通年金的终值，然后再减去A。即： FVIFAD(n)=A（F/A，i，n+1）A 由此得出预付年金的公式：FVIFAD(n)=A（F/A，i，n+1）1743.4.1 预付年金的计算预付年金的计算 100 100 100-1 0 1 2 3i=10%P=？预付年金求现值问题预付年金求现值问题10011000.909

35、1000.826P=100（1.1）（0.909+0.826+0.751） =100（1.1）（2.486） =273.46PVIFAD(n)=A(P/A，i，n)(1+i)【例例11】753.4.1 预付年金计算预付年金计算预付年金求现值问题的另一种方法预付年金求现值问题的另一种方法 从上图可以看出，若第一期初没有A，是一个两期普通年金问题，因此，可按如下该上公式计算预付年金现值：PVIFAD(n)=A（P/A，i，n-1）+1 A A A0 1 2 3P=?763.4.2 递延年金计算递延年金计算递延年金终值计算问题递延年金终值计算问题 A A A0 1 2 3 4 如图所示是一个从第二期

36、开始的三期递延年金，其终值可按三期普通年金求终值，然后三期普通年金求终值，然后再贴现到第再贴现到第0期期计算。773.4.2 递延年金计算递延年金计算 A A A 0 1 2 3 4 5递延年金现值计算问题递延年金现值计算问题P=？如图所示，递延年金现值可按下式计算： P=A(P/A，i，5)(P/A，i，2)【例例12】783.4.2 递延年金计算递延年金计算求递延年金现值的另一种方法求递延年金现值的另一种方法 A A A 0 1 2 3 4 5P=？可先按三期普通年金折现到第二期期末，再折现到第一期期初 P=A(P/A，i，3)(P/F，i，2)793.4.3 永续年金计算永续年金计算 由

37、于永续年金会一直持续下去，没有到期日， 所以永续年金不存在终值 永续年金现值的计算可根据普通年金现值公式 推导如下：当n趋近于无穷大时， 趋近于0 所以，永续年金的现值公式为： 1 (1)niPAi(1)niAPi非常简明易记请牢记它请牢记它111limnniii803.4.3 永续年金计算永续年金计算练习练习 计算利率为8%，每年1000元的永续年金的现值是多少？现在假定每年1000元的年金只持续50年，则其现值是多少？它与永续年金的现值相近到什么程度？ 查看答案查看答案813.4.3 永续年金计算永续年金计算【答案答案 】 PA永续永续=A/i=1000/0.08=12500.00 PA5

38、0 =1000（P/A，8%，50） =1000（12.23348） =12233.48 在本例中，50期年金的现值和永续年金的现值仅差2%。在实际应用中，常用永续年金现值公式求长期年金的现值。823.4.4 增长年金与永续增长年金的计算增长年金与永续增长年金的计算等差年金，相邻的两个定期收付的现金流之差为常量。现金流的数量为有限的永续增长年金是现金流的数量为无限多的增长年金增长年金既有现值也有终值，但永续增长年金只有现值增长年金包括等比年金和等差年金，它们的共同点是t+1期的现金流量永远大于或小于t期的，且是有规律的等比年金，相邻的两个定期收付的现金流之比为常量。现金流的数量为有限的833.

39、4.4.1 等比增长年金公式的推导等比增长年金公式的推导0 1 2 3 n-1 nD1等比增长年金现金流量图D1(1+g)D1(1+g)2D1(1+g)n-2D1(1+g)n-1P=? 0 1 2 n D1 D2 Dn P=?84121220002202(1)(1)(1)1(1)(1) 1(1)(1)1(1)(1) 1(1)(1)nnnnnnPDiDiDigggDDDiiigggDiii等比级数11nnaaqSq111(1)(1)11nnngaigaigqi1111nDgPigi3.4.4.1 等比增长年金公式的推导等比增长年金公式的推导111022101101(1)(1)(1)1(1)nnn

40、nDDgDgDDgDgDDgDg853.4.4.1 等比增长年金现值公式的推导等比增长年金现值公式的推导20200001(1)(1)1(1)(1)1111(1)(1)1111 1(1)(1)1111(11 (1)nnnnngggPDiiiggggggiiiiDDgigigDiDgig1)1111 11nnggigiDgigi(ig)861212111121112111(1)(1)(1)(1)(1) 1(1)(1)1(1)(1) 1(1)(1)11nnnnnntnttPDiDiDiDDgDgiiiggDiiigDi 3.4.4.1 等比增长年金公式的推导等比增长年金公式的推导1110221011

41、01(1)(1)(1)1(1)nnnnDDgDgDDgDgDDgDg873.4.4.1 等比增长年金终值公式的推导等比增长年金终值公式的推导=(1)ni增长年金的终值 增长年金的现值1111(1)1 11nnnnDgFiigiDigig88 由于永续增长年金会一直持续下去，没有到期日，所以永续增长年金不存在终值 永续等比增长年金现值的计算可根据等比增长年金现值公式推导如下：当n趋近于无穷大时， 趋近于0 所以，永续等比增长年金的现值公式为： 1111nDgPigi11ngi111lim11nnDDgigiig3.4.4.1 永续等比增长年金公式的推导永续等比增长年金公式的推导01(1)DgDP

42、igig893.4.4.2 等差增长年金公式的推导等差增长年金公式的推导等差增长年金现金流量图0 1 2 3 4 n-1 nPG2G3G(n-2)G(n-1) GA1903.4.4.2 等差增长年金公式的推导等差增长年金公式的推导等差增长年金是一种等额增加或加少的现金流量序列如果以G表示相邻现金流量间的差额，即梯度量（G=NCFt-NCFt-1），第1期的现金流量为A1，则第n期的现金流量为A1+(n-1)xG从第1期至第n期，每期均有现金流量A1，此构成一普通年金，按普通年金计算现值或终值从第1期至第n期的现金流量分别还有0 xG，1xG，2xG，(n-1)xG，此构成一等差年金913.4.

43、4.2 等差增长年金公式的推导等差增长年金公式的推导从第1期至第n期的现金流量分别还有0 xG，1xG，2xG，(n-1)xG，此构成一等差年金此等差年金的终值为(1)由(1)式x(1+i)，得(2)式由(2)式-(1)式，得(3)式(2)923.4.4.2 等差增长年金公式的推导等差增长年金公式的推导(3)93等差年金等差年金终值系数终值系数3.4.4.2 等差增长年金公式的推导等差增长年金公式的推导943.4.4.2 等差增长年金公式的推导等差增长年金公式的推导等差年等差年金终值金终值系数系数等差年等差年金现值金现值系数系数953.4.4.2 等差增长年金公式的推导等差增长年金公式的推导等

44、差系等差系列年金列年金系数系数960 1 2 3 4 n-1 nPG2G3G(n-2)G(n-1) GA13.4.4.3 永续等差增长年金公式的推导永续等差增长年金公式的推导永续等差增长年金由两部分组成：1.从第1期开始的金额为A1的永续年金970 1 2 3 4 n-1 nPG2G3G(n-2)G(n-1) GA13.4.4.3 永续等差增长年金公式的推导永续等差增长年金公式的推导永续等差增长年金由两部分组成：2.从第2期开始的梯度量为G的永续等差增长年金980 1 2 3 4 n-1 nPG2G3G(n-2)G(n-1) GA13.4.4.3 永续等差增长年金公式的推导永续等差增长年金公式

45、的推导990 1 2 3 4 n-1 nPG2G3G(n-2)G(n-1) GA13.4.4.3 永续等差增长年金公式的推导永续等差增长年金公式的推导1000 1 2 3 4 n-1 nPG2G3G(n-2)G(n-1) GA13.4.4.3 永续等差增长年金公式的推导永续等差增长年金公式的推导1010 1 2 3 4 n-1 nPG2G3G(n-2)G(n-1) GA13.4.4.3 永续等差增长年金公式的推导永续等差增长年金公式的推导1023.4.4.3 永续等差增长年金公式的推导永续等差增长年金公式的推导0 1 2 3 4 n-1 nPG2G3G(n-2)G(n-1) GA1公式推导的另

46、一思路1033.4.4.3 永续等差增长年金公式的推导永续等差增长年金公式的推导0 1 2 3 4 n-1 nPG2G3G(n-2)G(n-1) GA11043.4.4.3 永续等差增长年金公式的推导永续等差增长年金公式的推导0 1 2 3 4 n-1 nPG2G3G(n-2)G(n-1) GA11053.4.4.3 永续等差增长年金公式的推导永续等差增长年金公式的推导0 1 2 3 4 n-1 nPG2G3G(n-2)G(n-1) GA1106三对六个复利系数，每对互为倒数离散型现金流量普通复利总结107108109付款频率与计息频率付款频率与计息频率110付款频率与计息频率单一支付款项系统

47、付款频率一定时间内付款的次数相邻两次付款间的时间间隔计息频率一定时间内计息的次数相邻两次计息间的时间间隔一般而言，其计息频率不等于付款频率。特例，单期、按年计息111付款频率与计息频率系列支付款项系统付款频率一定时间内付款的次数相邻两次付款间的时间间隔计息频率一定时间内计息的次数相邻两次计息间的时间间隔1. 付款频率等于计息频率2. 付款频率大于计息频率3. 付款频率小于计息频率112付款频率与计息频率付款频率计息频率将与付款频率不同的计息频率下的利率，转换为与付款频率相同的计息频率下的利率关键是计算付款期的实际利率，即期利率(i)APR：年名义利率EAR：年实际利率113付款频率与计息频率付

48、款频率计息频率APR：年名义利率EAR：年实际利率i：期利率m：年计息次数114付款频率计息频率某人在五年中，前2年每半年初存入2000元现金，在后3年每季度初存入2000元现金，按月复利，APR为12%，求第五年末该人此账户本息合计为多少？两个预付年金，第1个间隔为6个月，第2个间隔为3个月第1个年金的期利率APR=12%，按月复利，则月利率=12%/12=1%半年的实际利率115付款频率计息频率某人在五年中，前2年每半年初存入2000元现金，在后3年每季度初存入2000元现金，按月复利，APR为12%，求第五年末该人此账户本息合计为多少？两个预付年金，第1个间隔为6个月，第2个间隔为3个月

49、第2个年金的期利率APR=12%，按月复利，则月利率=12%/12=1%3个月的实际利率116付款频率计息频率某人在五年中，前2年每半年初存入2000元现金，在后3年每季度初存入2000元现金，按月复利，APR为12%，求第五年末该人此账户本息合计为多少？第1个年金的终值半年的实际利率117付款频率计息频率某人在五年中，前2年每半年初存入2000元现金，在后3年每季度初存入2000元现金，按月复利，APR为12%，求第五年末该人此账户本息合计为多少？第2个年金的终值3个月的实际利率118付款频率计息频率某人在五年中，前2年每半年初存入2000元现金，在后3年每季度初存入2000元现金，按月复利

50、，APR为12%，求第五年末该人此账户本息合计为多少？第5年末该账户本息合计119付款频率计息频率某人在五年中，前2年每半年初存入2000元现金，在后3年每季度初存入2000元现金，按月复利，APR为12%，求第五年末该人此账户本息合计为多少？第1个年金的终值可以这可以这样做样做120付款频率计息频率某人在五年中，前2年每半年初存入2000元现金，在后3年每季度初存入2000元现金，按月复利，APR为12%，求第五年末该人此账户本息合计为多少？第1个年金的终值还可以还可以这样做这样做121四、四、 计息频数和有效利率计息频数和有效利率 到目前为止我们一直使用与现金流量频数一致的贴现率，如年付款额用10%年利率，月付款额用1%的月利率。在实际中，尽管利息多以短于一年的计息期计算和支付，但利率却多以年度名义利率（i）和年度有效利率（r）两种方式表示。 年度名义利率（i）是以期间利率（I/m）乘以年度内的计息期数（m），复利计息频数是利息在一年中复利多少次。年有效（真实、实际）会因复利计息频数的不同而不同。利率的时间单位与计息周期的