逻辑学逻辑学导论第2讲命题逻辑(明水)

1、逻辑学导论逻辑学导论 第2讲 命题逻辑 山东财经大学山东财经大学命题逻辑日常联结词和复合命题日常联结词和复合命题命题与联结词命题与联结词重言式及其判定方法重言式及其判定方法重言蕴涵式重言蕴涵式 重言等值式重言等值式命题逻辑的自然推理命题逻辑的自然推理2 一、日常联结词和复合命题简单命题简单命题: :只能分析为不同的词项、不能分析为只能分析为不同的词项、不能分析为其他命题的命题。亦称其他命题的命题。亦称“原子命题原子命题”。例如：例如：n（1 1）香山枫叶正红。）香山枫叶正红。n（2 2）诸葛亮舌战群儒。）诸葛亮舌战群儒。n（3 3）掷骰子）掷骰子4 4点朝上的概率是点朝上的概率是1/61/6。

2、复合命题复合命题: : 包含其他命题的命题，它是用一定的包含其他命题的命题，它是用一定的联结词连接其他命题而形成的。联结词连接其他命题而形成的。 例如例如: : n（4 4）北京是中国的政治中心，并且是文化中心。）北京是中国的政治中心，并且是文化中心。n（5 5）胜者或因其强，或因其指挥无误。）胜者或因其强，或因其指挥无误。n（6 6）如果一个推理的前提真并且推理形式有效，则）如果一个推理的前提真并且推理形式有效，则结论必真。结论必真。4组成复合命题的其他命题叫做该复合命题的子组成复合命题的其他命题叫做该复合命题的子（支）命题。（支）命题。根据其中所含联结词的不同，复合命题可以分根据其中所含联

3、结词的不同，复合命题可以分为联言命题、选言命题、假言命题和负命题四为联言命题、选言命题、假言命题和负命题四类。类。5联言命题联言命题: :联言命题是由联言命题是由“并且并且”这类联结词联这类联结词联结两个或多个支命题形成的复合命题，它们是结两个或多个支命题形成的复合命题，它们是断定几种事物情况同时存在的命题。其一般形断定几种事物情况同时存在的命题。其一般形式是：式是：p p并且并且q q 其中其中 p p、q q称为联言支。称为联言支。 6例子3 3和和117117都是素数。都是素数。鲁迅鲁迅既既是思想家，是思想家，又又是文学家。是文学家。天下雨，路天下雨，路又又滑。滑。他大发一通脾气，他大发

4、一通脾气，然后然后气冲冲地走了。气冲冲地走了。林纾是著名的翻译家，林纾是著名的翻译家，但但他不懂外语。他不懂外语。7联言命题的逻辑性质联言命题的逻辑性质：n只有它的各个支命题都是真的，它本身才是真的；如只有它的各个支命题都是真的，它本身才是真的；如果有一个支命题为假，则联言命题为假。果有一个支命题为假，则联言命题为假。n也就是说，一个联言命题是真的，当且仅当它的各个也就是说，一个联言命题是真的，当且仅当它的各个联言支都是真的。联言支都是真的。联言推理的有效式例如：哥德尔是一位伟大的逻辑学家，哥德尔是例如：哥德尔是一位伟大的逻辑学家，哥德尔是一位重要的哲学家，所以，哥德尔既是一位伟一位重要的哲学

5、家，所以，哥德尔既是一位伟大的逻辑学家又是一位重要的哲学家。大的逻辑学家又是一位重要的哲学家。9. . 合成式合成式：如果分别肯定两个联言支，则可以肯定由这两：如果分别肯定两个联言支，则可以肯定由这两个联言支组成的联言命题。个联言支组成的联言命题。 p pq q所以，所以，p p并且并且q q. . 分解式分解式：如果肯定一个联言命题，则可以分别肯定：如果肯定一个联言命题，则可以分别肯定其中的每一个联言支。其中的每一个联言支。p p并且并且q q所以，所以，或者或者p p并且并且q q所以，所以，q q例如：胡适是五四新文化运动主将，并且曾任北例如：胡适是五四新文化运动主将，并且曾任北京大学校

6、长；所以，胡适曾任北京大学校长。京大学校长；所以，胡适曾任北京大学校长。. . 否定式：如果否定一个联言支，则可以否定包含这否定式：如果否定一个联言支，则可以否定包含这个联言支的联言命题。个联言支的联言命题。并非并非p p所以，并非（所以，并非（p p且且q q）选言命题选言命题分为两类：相容选言命题和不相容选言命题，其中的支分为两类：相容选言命题和不相容选言命题，其中的支命题都叫做命题都叫做“选言支选言支”。相容选言命题是借助相容选言命题是借助“或者或者”这类联结词联结两个支命这类联结词联结两个支命题形成的复合命题，它们断定几种事物情况至少有一种题形成的复合命题，它们断定几种事物情况至少有一

7、种存在。其一般形式是：存在。其一般形式是：p p或者或者q q例子病人或失业者可以停付保险费。病人或失业者可以停付保险费。小强发烧或者是由于感冒，或者是由于发烧。小强发烧或者是由于感冒，或者是由于发烧。根据我的经验，明天不是刮风就是下雨。根据我的经验，明天不是刮风就是下雨。这份民调结果，要么是原始数据有错误，要么这份民调结果，要么是原始数据有错误，要么是计算过程有错误。是计算过程有错误。13相容选言命题的逻辑性质相容选言命题的逻辑性质：各个选言支并不相互排斥，而是可以同时为真。各个选言支并不相互排斥，而是可以同时为真。换句话说，只要有一个选言支为真，相容选言换句话说，只要有一个选言支为真，相容

8、选言命题为真；如果所有选言支都假，则相容选言命题为真；如果所有选言支都假，则相容选言命题为假。命题为假。相容选言推理有下述有效式相容选言推理有下述有效式：. . 否定肯定式：如果肯定一个相容选言命题并且否定其中的一个选否定肯定式：如果肯定一个相容选言命题并且否定其中的一个选言支，则必须肯定其中的另一个选言支。言支，则必须肯定其中的另一个选言支。p或者或者q非非p所以，所以，qn或者或者p p或者或者q q非非q q所以，所以，p p例如：蒋艳或者是三好学生或者是优秀学生干部，蒋艳例如：蒋艳或者是三好学生或者是优秀学生干部，蒋艳不是三好学生，所以他是优秀学生干部。不是三好学生，所以他是优秀学生干

9、部。. . 肯定肯定式：如果肯定一个选言支，则必须肯定包含肯定肯定式：如果肯定一个选言支，则必须肯定包含这个选言支的任一选言命题。这个选言支的任一选言命题。 p p所以，所以，p p或者或者q q不相容选言命题不相容选言命题是由是由“要么要么，要么，要么”这类联结词联这类联结词联结两个支命题所形成的复合命题。结两个支命题所形成的复合命题。权且把权且把“要么要么p p，要么，要么q q，二者必居其一，二者必居其一”当作不相容选当作不相容选言命题的标准形式，其逻辑性质是：各个选言支互相排言命题的标准形式，其逻辑性质是：各个选言支互相排斥，不能同时为真。因此，对于不相容选言命题来说，斥，不能同时为真

10、。因此，对于不相容选言命题来说，必有且只有一个选言支为真；若有多个选言支同时为真，必有且只有一个选言支为真；若有多个选言支同时为真，或同时为假，则不相容选言命题亦为假。或同时为假，则不相容选言命题亦为假。根据不相容选言命题的上述性质，根据不相容选言命题的上述性质，不相容选言推不相容选言推理包括下述有效式理包括下述有效式：. . 否定肯定式：如果否定一个不相容选言命题的一个否定肯定式：如果否定一个不相容选言命题的一个选言支，则必须肯定它的另一个选言支。选言支，则必须肯定它的另一个选言支。要么要么p，要么，要么q 或者或者 要么要么p p，要么，要么q q 非非p 非非q q所以，所以，q 所以，

11、所以，p p例如例如: : 对于前进道路上的困难，或者战而胜之，对于前进道路上的困难，或者战而胜之，或者被困难所吓倒。我们不能被前进道路上的或者被困难所吓倒。我们不能被前进道路上的困难所吓倒，所以，我们要战而胜之。困难所吓倒，所以，我们要战而胜之。19 . . 肯定否定式：如果肯定一个不相容选言命题的一个肯定否定式：如果肯定一个不相容选言命题的一个选言支，则必须否定它的另一个选言支。选言支，则必须否定它的另一个选言支。要么要么p，要么，要么q 或者或者 要么要么p p，要么，要么q q p q q所以，非所以，非q 所以，非所以，非p p例如：要么继续闭关锁国而落后挨打，要么实例如：要么继续闭

12、关锁国而落后挨打，要么实行改革开放而走向富强；我们必须实行改革开行改革开放而走向富强；我们必须实行改革开放而走向富强，所以，我们不能再继续闭关锁放而走向富强，所以，我们不能再继续闭关锁国而落后挨打。国而落后挨打。21关于选言命题，应该注意以下两点：关于选言命题，应该注意以下两点：n（1 1）一个选言命题究竟是相容的还是不相容的，没有）一个选言命题究竟是相容的还是不相容的，没有专用的形式识别标记，只能看其中的各个选言支是否专用的形式识别标记，只能看其中的各个选言支是否能够同时为真：能够同时为真的，是相容选言命题；能够同时为真：能够同时为真的，是相容选言命题；否则，是不相容选言命题。否则，是不相容

13、选言命题。n(2)(2)如果一个选言命题穷尽了所有的选言支，则该选言如果一个选言命题穷尽了所有的选言支，则该选言命题必真；假若选言支不穷尽，则选言命题有可能为命题必真；假若选言支不穷尽，则选言命题有可能为假。假。假言命题假言命题假言命题，亦称，亦称“条件命题条件命题”，其中表示条件，其中表示条件的支命题叫做的支命题叫做“前件前件”，表示结果的支命题叫，表示结果的支命题叫做做“后件后件”。假言命题断定了前件和后件之间。假言命题断定了前件和后件之间的某种条件关系。而条件关系一般来说分为三的某种条件关系。而条件关系一般来说分为三种：充分条件、必要条件和充分必要条件，相种：充分条件、必要条件和充分必要

14、条件，相应地，假言命题也分为三种：充分条件假言命应地，假言命题也分为三种：充分条件假言命题，必要条件假言命题，充分必要条件假言命题，必要条件假言命题，充分必要条件假言命题。题。23充分条件假言命题及其推理由由“如果，则如果，则”这类联结词连接两个支命题而这类联结词连接两个支命题而形成的命题。其一般形式是：形成的命题。其一般形式是：如果如果p p，则，则q q24只要勤奋耕耘，总会有所收获。只要勤奋耕耘，总会有所收获。假如这个玻璃杯从我手中滑落，则它会摔的粉假如这个玻璃杯从我手中滑落，则它会摔的粉碎。碎。一见到警察，李小二就心里发慌。一见到警察，李小二就心里发慌。当刮大风的时候，要关上窗户。当刮

15、大风的时候，要关上窗户。锲而不舍，金石可镂。锲而不舍，金石可镂。人心齐，泰山移。人心齐，泰山移。25充分条件假言命题的逻辑性质充分条件假言命题的逻辑性质：只有在前件真后件假的情况下，此命题才是假只有在前件真后件假的情况下，此命题才是假的，在前件真后件真、前件假后件真、前件假的，在前件真后件真、前件假后件真、前件假后件假的情况，它都是真的。后件假的情况，它都是真的。根据上述性质，一个充分条件假言命题，只要其根据上述性质，一个充分条件假言命题，只要其前件是假的，或者其后件是真的，它本身就是真前件是假的，或者其后件是真的，它本身就是真的，即的，即“如果如果p p则则q q”等值于等值于“或者非或者非

16、p p或者或者q q”。 并且，并且， “ “如果如果p p则则q q”等值于等值于“并非（并非（p p并且非并且非q q）”。根据充分条件假言命题的上述性质，根据充分条件假言命题的上述性质，充分条件充分条件假言推理的有效式假言推理的有效式包括：包括：肯定前件式：肯定前件式：如果如果p p，那么，那么q qp p所以，所以，q q例如：如果官员甲拥有不受监督的权利，官员甲很容易例如：如果官员甲拥有不受监督的权利，官员甲很容易导致腐败；官员甲确实拥有不受监督的权利，所以，官导致腐败；官员甲确实拥有不受监督的权利，所以，官员甲很容易导致腐败。员甲很容易导致腐败。否定后件式：否定后件式：如果如果p

17、p，那么，那么q q非非q q所以，非所以，非p p例如：如果小王患肺炎的话，则他的体温会不正常升高；例如：如果小王患肺炎的话，则他的体温会不正常升高；但经检查，小王现在体温正常，所以小王目前没有患肺炎。但经检查，小王现在体温正常，所以小王目前没有患肺炎。充分条件假言推理的充分条件假言推理的无效式无效式- -肯定后件式：肯定后件式：如果如果p p，那么，那么q qq q所以，所以，p p例如：如果小张患肺炎，则他会发烧；小张发烧了，所以例如：如果小张患肺炎，则他会发烧；小张发烧了，所以他一定患了肺炎。他一定患了肺炎。必要条件假言命题及其推理由由“只有，才只有，才”这类联结词连接两个支命题形成这

18、类联结词连接两个支命题形成的复合命题，其一般形式是：的复合命题，其一般形式是：只有只有p p，才，才q q31充分条件假言推理的充分条件假言推理的无效式无效式- -否定前件式：否定前件式：如果如果p p，那么，那么q q非非p p所以，非所以，非q q例如：如果我想当外语翻译，我就必须学好外语；我不想例如：如果我想当外语翻译，我就必须学好外语；我不想当外语翻译，所以我不必学好外语。当外语翻译，所以我不必学好外语。只有不畏劳苦，才能攀上科学高峰。只有不畏劳苦，才能攀上科学高峰。除非你把那本书还给我，我才能把这本书借给除非你把那本书还给我，我才能把这本书借给你。你。不入虎穴，焉得虎子。不入虎穴，焉

19、得虎子。除非通过考试，否则不予录取。除非通过考试，否则不予录取。仅当明天天晴，我们才去郊游。仅当明天天晴，我们才去郊游。33其逻辑性质是其逻辑性质是：只有在前件假后件真的情况下只有在前件假后件真的情况下，它才是假的；在前件真后件真、前件真后件，它才是假的；在前件真后件真、前件真后件假、前件假后件假的情况下，它都是真的。假、前件假后件假的情况下，它都是真的。34根据必要条件假言命题的上述性质，根据必要条件假言命题的上述性质，必要条件假必要条件假言推理的有效式言推理的有效式包括：包括： 否定前件式：否定前件式：只有只有p p，才，才q q非非p p所以，非所以，非q q例如：只有陈梦年满例如：只有

20、陈梦年满1818岁，他才有选举权和被选举权；陈梦岁，他才有选举权和被选举权；陈梦年仅年仅1616岁，所以他没有选举权和被选举权。岁，所以他没有选举权和被选举权。 肯定后件式：肯定后件式：只有只有p p，才，才q qq q所以，所以，p p例如：只有小张学习成绩好，他才能当三号学生；小张已当例如：只有小张学习成绩好，他才能当三号学生；小张已当选三好学生，所以，他一定学习成绩好。选三好学生，所以，他一定学习成绩好。37 必要条件假言推理的必要条件假言推理的无效式无效式- -肯定前件：肯定前件：只有只有p p，才，才q qp p所以，所以，q q例如：只有夏闯不循规蹈矩，他才能有大作为；夏闯不循规例

21、如：只有夏闯不循规蹈矩，他才能有大作为；夏闯不循规蹈矩，所以，夏闯一定有大作为。蹈矩，所以，夏闯一定有大作为。38 必要条件假言推理的必要条件假言推理的无效式无效式- -否定后件：否定后件：只有只有p p，才，才q q非非q q所以，非所以，非p p例如：只有老王不畏劳苦，他才能有所成就；老王一生谈不例如：只有老王不畏劳苦，他才能有所成就；老王一生谈不上有什么成就，因此老王必定是怕苦怕累之人。上有什么成就，因此老王必定是怕苦怕累之人。充分必要条件假言命题及其推理由由“当且仅当当且仅当”这类联结词连接两个支命题形这类联结词连接两个支命题形成的命题。成的命题。如：如：n一个三角形的三边相等，当且仅

22、当，它的三内角都一个三角形的三边相等，当且仅当，它的三内角都是是6060。39“当且仅当当且仅当”这一联结词通常只在数学、逻辑这一联结词通常只在数学、逻辑及其他精确科学中出现，在社会科学和人们的及其他精确科学中出现，在社会科学和人们的日常交谈中很少使用。在日常语言中，人们要日常交谈中很少使用。在日常语言中，人们要表述充分必要条件假言命题时，常常分成两句表述充分必要条件假言命题时，常常分成两句话，一句话说前件是后件的充分条件，另一句话，一句话说前件是后件的充分条件，另一句说前件是后件的必要条件。说前件是后件的必要条件。例如：例如：n人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。人不犯我，我不犯人；人若

23、犯我，我必犯人。40充分必要条件假言命题的逻辑性质充分必要条件假言命题的逻辑性质是：当前件和是：当前件和后件同真或同假时，它为真；在前后件不同真或后件同真或同假时，它为真；在前后件不同真或者不同假的情况下，它为假。者不同假的情况下，它为假。充分必要条件假言推理有如下四个有效式：充分必要条件假言推理有如下四个有效式：充分必要条件假言推理有如下四个有效式42p p当且仅当当且仅当q pq p当且仅当当且仅当q qp p 非非p p所以，所以，q q 所以，非所以，非q q p p当且仅当当且仅当q pq p当且仅当当且仅当q qq q 非非q q所以，所以，p p 所以，非所以，非p p负命题：由

24、否定一个命题而得到的命题，它是负命题：由否定一个命题而得到的命题，它是通过把通过把“并非并非”这类否定词置于一个命题之前这类否定词置于一个命题之前或之后而形成的，其标准形式是：或之后而形成的，其标准形式是： 并非并非p p，或者，并不是，或者，并不是p p负命题的真值与原命题恰恰相反：若原命题为负命题的真值与原命题恰恰相反：若原命题为真，则负命题为假；若原命题为假，则负命题真，则负命题为假；若原命题为假，则负命题为真。为真。43联言命题、选言命题、假言命题和负命题本身都可以被否定，联言命题、选言命题、假言命题和负命题本身都可以被否定，它们实际上等值于另外一些命题。它们实际上等值于另外一些命题。

25、例如：例如：n（1 1）“并非（并非（p p并且并且q q）”等值于等值于“非非p p或者非或者非q q”。n（2 2）“并非（并非（p p或者或者q q）”等值于等值于“非非p p且非且非q q”。n（3 3）“并非（如果并非（如果p p则则q q）”等值于等值于“p p并且非并且非q q”。n（4 4）“并非（只有并非（只有p p才才q q）”等值于等值于“非非p p且且q q”。n（5 5）“并非（并非（p p当且仅当当且仅当q q）”等值于等值于“p p且非且非q q，或者，非，或者，非p p且且q q”。n（6 6）“非非非非p p”等值于等值于“p p”。从日常联结词到真值联结词从

26、日常联结词到真值联结词在前面的讨论中，我们得到了七个不同的联结在前面的讨论中，我们得到了七个不同的联结词：词：“并非并非”，“并且并且”，“或者或者”，“要么，要么，要么要么”，“如果，则如果，则”，“只有，才只有，才”，“当当且仅当且仅当”，它们每一个都是一组相应联结词的，它们每一个都是一组相应联结词的概括和抽象。概括和抽象。从逻辑角度看，这些日常语言联结词存在两个从逻辑角度看，这些日常语言联结词存在两个主要问题：主要问题：n一是不精确，以一是不精确，以“或者或者”和和“要么要么”为例，它们都为例，它们都既可以在相容意义上使用，也可以在不相容意义上既可以在相容意义上使用，也可以在不相容意义上

27、使用。这就使得当识别一个选言命题究竟是相容还使用。这就使得当识别一个选言命题究竟是相容还是不相容时，要运用相关背景知识，这显然超出了是不相容时，要运用相关背景知识，这显然超出了逻辑学的范围。逻辑学的范围。n二是负载了许多非逻辑的内容。以联言命题为例，二是负载了许多非逻辑的内容。以联言命题为例，它们除表示各个支命题同时为真外，还表示并列关它们除表示各个支命题同时为真外，还表示并列关系、承接关系、递进关系、转折关系、对比关系等系、承接关系、递进关系、转折关系、对比关系等等。等。46 二、命题与联结词 47基本概念48命题命题所谓命题所谓命题(Proposition)(Proposition)，是指

28、具有真假意义的陈述句，是指具有真假意义的陈述句也就是说能够确定或能够分辨其真也就是说能够确定或能够分辨其真( (正确正确) )假假( (错误错误) )的陈述句，且真或的陈述句，且真或假二者必居其一，也只居其一简言之，非真必假的陈述句假二者必居其一，也只居其一简言之，非真必假的陈述句命题的真值命题的真值命题的判断结果。真值只取两个值：命题的判断结果。真值只取两个值： 真、假。真、假。真命题真命题真值为真的命题真值为真的命题假命题假命题真值为假的命题真值为假的命题判断命题的两个步骤：判断命题的两个步骤：1 1、是否为陈述句；、是否为陈述句；2 2、是否有确定的、唯一的真值。、是否有确定的、唯一的真

29、值。基本概念49(1) 北京是中华人民共和国的首都北京是中华人民共和国的首都.(2) 2 + 5 8.(3) x + 5 3.(4) 你会开车吗？你会开车吗？(5) 2050年元旦北京是晴天年元旦北京是晴天.(6) 这只兔子跑得真快呀！这只兔子跑得真快呀！(7) 请关上门！请关上门！(8) 我正在说谎话。我正在说谎话。例例 下列句子中哪些是命题？下列句子中哪些是命题？真命题真命题假命题假命题真值不确定真值不确定疑问句疑问句感叹句感叹句祈使句祈使句悖论悖论真值确定真值确定, , 但未知但未知基本概念50(1) (1) 王晓既用功又聪明王晓既用功又聪明. .(2) (2) 王晓不仅聪明，而且用功王

30、晓不仅聪明，而且用功. .(3) (3) 王晓虽然聪明，但不用功王晓虽然聪明，但不用功. .(4) (4) 张辉与王丽都是三好生张辉与王丽都是三好生. .(5) (5) 张辉与王丽是同学张辉与王丽是同学. .例例 下列句子中哪些是命题？下列句子中哪些是命题？(6) (6) 若若a a是实数，则它不是有理数就是无理数是实数，则它不是有理数就是无理数(7) (7) 若若a a不能表示成分数，则它不是有理数不能表示成分数，则它不是有理数(8) a (8) a 是实数且它不能表示成分数是实数且它不能表示成分数(9) (9) 如果小红努力学习，她一定取得好成绩。如果小红努力学习，她一定取得好成绩。(10

31、) (10) 若小红贪玩或不按时完成作业，她就不能取若小红贪玩或不按时完成作业，她就不能取得好成绩。得好成绩。由简单命题组合而成的复杂命题！由简单命题组合而成的复杂命题！命题的表示命题的表示 51在命题逻辑中，我们用小写英文字母在命题逻辑中，我们用小写英文字母p,q,r,p,q,r,p p1 1,p,p2 2,p,p3 3等表示等表示任意命题，这些命题标识符称作任意命题，这些命题标识符称作命题变元命题变元。F F：表示任一永远为假的命题：表示任一永远为假的命题命题常元命题常元T T：表示任一永远为真的命题：表示任一永远为真的命题命题的符号化命题的符号化 522 2是素数。是素数。 北京是中国的

32、首都。北京是中国的首都。 3 32 28 8。 2050年元旦北京是晴天。年元旦北京是晴天。p： q：r：p1：命题变元不是命题将一个命题变元命题变元不是命题将一个命题变元p p用一特定命题去代替，用一特定命题去代替，它才能确定真值！它才能确定真值！说明：说明：简单的命题简单的命题 命题的符号化 53(1) (1) 王晓既用功又聪明王晓既用功又聪明. .(2) (2) 王晓不仅聪明，而且用功王晓不仅聪明，而且用功. .(3) (3) 王晓虽然聪明，但不用功王晓虽然聪明，但不用功. .(4) (4) 张辉与王丽都是三好生张辉与王丽都是三好生. .(5) (5) 张辉与王丽是同学张辉与王丽是同学.

33、 .(6) (6) 若若a a是实数，则它不是有理数就是无理数是实数，则它不是有理数就是无理数(7) (7) 若若a a不能表示成分数，则它不是有理数不能表示成分数，则它不是有理数(8) a (8) a 是实数且它不能表示成分数是实数且它不能表示成分数(9) (9) 如果小红努力学习，她一定取得好成绩。如果小红努力学习，她一定取得好成绩。(10) (10) 若小红贪玩或不按时完成作业，她就不能取得好成绩。若小红贪玩或不按时完成作业，她就不能取得好成绩。复杂命题如何符号化？复杂命题如何符号化？54复合命题复合命题由简单命题通过由简单命题通过联结词联结词联结而成的陈述句联结而成的陈述句联结词55是

34、逻辑联结词或命题联结词的简称，它是自然语言中连词的逻辑抽象是逻辑联结词或命题联结词的简称，它是自然语言中连词的逻辑抽象. .有了联结词，便可以用它和原子命题构成复合命题有了联结词，便可以用它和原子命题构成复合命题常用联结词有常用联结词有5 5种种注意：复合命题仍然是命题！注意：复合命题仍然是命题！否定联结词否定联结词 合取联结词合取联结词 析取联结词析取联结词 蕴涵联结词蕴涵联结词 等价联结词等价联结词 联结词与负命题56定义定义 设设p为命题，复合命题为命题，复合命题“非非p”（或（或“p的否的否定定”）称为）称为p的否定式的否定式，记作记作 p，符号，符号 称为称为否定否定联结词，联结词，

35、一元一元联结词联结词。例例 (1) p: (1) p: 今天是星期五。今天是星期五。 p: 今天不是星期五。今天不是星期五。(2) P: (2) P: 上海是一个大城市。上海是一个大城市。 P: 上海不是一个大城市。上海不是一个大城市。合取联结词与联言命题57定义定义 设设 p, qp, q为二命题，复合命题为二命题，复合命题“p p并且并且q q”（或（或“p p与与q q”）称为）称为p p与与q q的合取式，记作的合取式，记作 pqpq。符号。符号称为称为合取联结词，合取联结词，二元二元联结词联结词。例例 p: 6p: 6是偶数。是偶数。q: q: 今天下雨。今天下雨。上述命题的合取为上

36、述命题的合取为( (一新命题一新命题) )： pq: 6 pq: 6是偶数而且今天下雨。是偶数而且今天下雨。析取联结词与选言命题58定义定义 设设p, qp, q为二命题，复合命题为二命题，复合命题“p p或或q q” 称为称为p p与与q q的析取式，记作的析取式，记作pqpq，符号，符号 称为称为析取联结析取联结词，词，二元二元联结词联结词。注意：注意： 析取联结词只能表示自然语言中的析取联结词只能表示自然语言中的“”的意思，不能表示自然语言里的的意思，不能表示自然语言里的“” 。析取联结词与选言命题59例：例：王冬梅学过日语或俄语。王冬梅学过日语或俄语。令令 p: p: 王冬梅学过日语王

37、冬梅学过日语. .q: q: 王冬梅学过俄语王冬梅学过俄语. .上述命题可符号化为：上述命题可符号化为： pqpq例：例：(1) (1) 第一节课上数学课或英语课第一节课上数学课或英语课. .令令 r: r: 第一课上数学课第一课上数学课. .s: s: 第一课上英语课第一课上英语课. .这里的这里的“或或”只能是排斥或只能是排斥或 上述命题可符号化为：上述命题可符号化为： (r(rs)(s)(rs)rs)蕴涵联结词与假言命题60定义定义 设设p,qp,q为二命题，复合命题为二命题，复合命题“如果如果p p，则，则q q” 称为称为p p与与q q的蕴涵式，记作的蕴涵式，记作p p q q，我

38、们称，我们称p p为蕴涵为蕴涵式的前件，式的前件，q q为蕴涵式的后件，符号为蕴涵式的后件，符号称为称为蕴涵联结词，蕴涵联结词，二元二元联结词联结词。它表示的逻辑关系是：它表示的逻辑关系是：q q是是p p的必要条件。的必要条件。说明：说明：(1)(1)在自然语言里，在自然语言里，q q是是p p的必要条件有许多不同的叙述方的必要条件有许多不同的叙述方式，例如，式，例如，“只要只要p,p,就就q q”, ,“因为因为p p，所以，所以q q”, ,“p p仅当仅当q q”, ,“除非除非q,q,否则非否则非p p”注意：注意：(2) (2) 在自然语言中，在自然语言中，“若若p p，则，则q

39、q”中的前件中的前件p p与后件与后件q q往往具往往具有某种内在联系，而在数理逻辑中，有某种内在联系，而在数理逻辑中，p p和和q q可以无任何内可以无任何内在联系。在联系。蕴涵联结词与假言命题61例：例： 设设a a是给定的一个正整数是给定的一个正整数 (1) a能被能被4整除，整除，则则a一定能被一定能被2整除整除. (2) a能被能被4整除，整除，仅当仅当a能被能被2整除整除. (3) 除非除非a能被能被2整除整除，a才才能被能被4整除整除. (4) 除非除非a能被能被2整除整除，否则否则a不能被不能被4整除整除. (5) 只有只有a能被能被2整除整除，a才才能被能被4整除整除. 分析

40、：上述命题叙述的是分析：上述命题叙述的是a a能被能被2 2整除整除是是a a能被能被4 4整除的必整除的必要条件。要条件。令令 r: ar: a能被能被4 4整除整除. . s: s: a a能被能被2 2整除整除. .上述命题可符号化为：上述命题可符号化为：rsrs假言命题62假言命题的种类假言命题的种类1. 1. 充分条件假言命题充分条件假言命题2. 2. 必要条件假言命题必要条件假言命题3. 3. 充分必要条件假言命题充分必要条件假言命题充分条件假言命题63(1)(1)如果你不断地坚持锻炼，你的身体就会康复。如果你不断地坚持锻炼，你的身体就会康复。(2)(2)假如语言能创造财富，那么，

41、夸夸其谈的人就会成为世界假如语言能创造财富，那么，夸夸其谈的人就会成为世界上最富有的人。上最富有的人。 充分条件假言命题的形式充分条件假言命题的形式： 如果如果p p，那么，那么q (pq) q (pq) 在蕴涵式在蕴涵式pqpq中，中，p p称为称为的前件的前件( (左辖域左辖域) )，q q称为称为的后件的后件( (右辖域右辖域) )。必要条件假言命题64(1)(1)只有由细菌引起的疾病，才能用抗生素治疗。只有由细菌引起的疾病，才能用抗生素治疗。(2)(2)我不去，除非你去。我不去，除非你去。 必要条件假言命题的形式必要条件假言命题的形式： 只有只有p, p,才才q (q p)q (q p

42、)等价联结词与充要条件假言命题65定义定义 设设p,qp,q为二命题，复合命题为二命题，复合命题“p p当且仅当当且仅当q q” 称为称为p p与与q q的等价式，记作的等价式，记作p p q q，符号，符号称为称为等等价联结词，价联结词，二元二元联结词联结词。充要条件假言命题的形式充要条件假言命题的形式： p p当且仅当当且仅当q (q (p pq q) )在充要条件式在充要条件式p pq q中中 ，称，称p p为为的前件的前件( (左辖域左辖域) )，称，称q q为为 的后件的后件( (右辖域右辖域) )。66例：例： p: abc是等腰三角形是等腰三角形.q: abc中有两个角相等中有两

43、个角相等.上述命题的等价式是一个新命题：上述命题的等价式是一个新命题：p p q: q: abcabc是等腰三角形当且仅当是等腰三角形当且仅当abcabc中有两个角中有两个角相等相等. .符号化下面的命题：符号化下面的命题： 令令 r: r: 雪是白的雪是白的. . s: s: 法国的首都是里昂法国的首都是里昂. .上述命题可符号化为：上述命题可符号化为： r s67小结：小结： 以上定义了以上定义了5个最基本、最常用、也是最重要的联结词个最基本、最常用、也是最重要的联结词, , , , 一元联结词：一元联结词： 二元联结词：二元联结词： , , , 说明：说明：(1) 由联结词集由联结词集,

44、 , , , 中的一个联结词联结一个或两个原子命中的一个联结词联结一个或两个原子命题题 组成的复合命题是最简单的复合命题，可以称它们为基本的复组成的复合命题是最简单的复合命题，可以称它们为基本的复合命题；合命题；(2) 多次使用联结词集中的联结词，可以组成更为复杂的复合命题多次使用联结词集中的联结词，可以组成更为复杂的复合命题.(3) 其运算的优先级为：其运算的优先级为：， ，对于同一级者，先出现者，对于同一级者，先出现者 先运算。先运算。回顾什么是（不是）命题什么是（不是）命题? ?68我正在说谎。我正在说谎。6970S S：“我正在撒谎我正在撒谎”。假设假设 S S 为真：为真：我说了一句

45、我说了一句真话真话 S S为假为假！S S71 S S：“我正在撒谎我正在撒谎”。假设假设 S S 为假：为假：我说了一句我说了一句假话假话 S S 为真为真！ S S72三、命题公式、重言式及其判定方法73字母表字母表英文字母表英文字母表命题逻辑命题逻辑26个大小写英文字母，个大小写英文字母，；，；. ! ?命题变元：命题变元：p p1 1,p,p2 2, ,p,pn n, ,命题常元：命题常元：T, FT, F命题联结词：命题联结词： , , , , 其它符号其它符号：（：（ ）字字 单词单词 原子命题公式原子命题公式命题变元命题变元命题常元命题常元句子句子 组合规则组合规则句法句法句子句

46、子 命题公式命题公式形成规则形成规则命题公式命题公式语言语言英语英语命题逻辑形式语言命题逻辑形式语言命题公式74命题公式的定义命题公式的定义 将命题变元用将命题变元用联结词联结词和和圆括号圆括号按一定的逻辑关系联按一定的逻辑关系联结起来的符号串称为结起来的符号串称为命题公式命题公式。命题公式75命题公式的形成规则命题公式的形成规则定义定义（1 1）单个命题常元或命题变元本身是一个）单个命题常元或命题变元本身是一个命题公式命题公式，并称为原子命题公式。，并称为原子命题公式。（2 2）若）若A A是命题公式，则是命题公式，则( ( A) A)也是也是命题公式命题公式。（3 3）若）若A A，B B

47、是命题公式，则是命题公式，则(A B)(A B)，(AB)(AB)， (A (A B) B)，(A (A B) B)都是都是命题公式命题公式。（4 4）当且仅当能够有限次地应用）当且仅当能够有限次地应用(1)(3)(1)(3)所得到包含命题变元或常元，所得到包含命题变元或常元， 联接词和括号的符号串才是联接词和括号的符号串才是命题公式命题公式。命题变元与常元命题变元与常元A( A)(A B)(AB)(A B)(A B)( A)，(A B)，(AB)， (A B)，(A B)这里，这里，p p，q q，r r，s s， ，是对象语言符是对象语言符号，而号，而A A，B B，C C是元语言符号，它

48、们代表用对象语言表是元语言符号，它们代表用对象语言表述的任一真值形式。例如，述的任一真值形式。例如，A A可以是下面的任一公式：可以是下面的任一公式：p p，q q，r r， p p，q qs s，r rs s，p pq q，q qs s，( p)p)q) q)r) r)(s (sq)q)其中，其中， p p，q qs s，r rs s，p pq q，q qs s是五种最基本的真是五种最基本的真值形式，分别叫做值形式，分别叫做“否定式否定式”、“合取式合取式”、“析取析取式式”、“蕴涵式蕴涵式”和和“等值式等值式”。上面联结词的结合力因下述秩序而递减：上面联结词的结合力因下述秩序而递减： ，这

49、就是说，在没有括号的情况下，我们先看这就是说，在没有括号的情况下，我们先看 ，再，再看看，再看，再看，再看，再看，最后看，最后看。据此可以省。据此可以省略掉一些括号。略掉一些括号。日常语言中复合命题的符号化日常语言中复合命题的符号化用命题变项代表日常语言中的简单命题，相同的命用命题变项代表日常语言中的简单命题，相同的命题用相同的变项表示，不同的命题用不同的变项表题用相同的变项表示，不同的命题用不同的变项表示；然后，用真值联结词代替日常语言联结词，最示；然后，用真值联结词代替日常语言联结词，最后把用日常语言表达的命题或推理转化为符号表达后把用日常语言表达的命题或推理转化为符号表达式。例如：式。例

50、如：“如果主动坦白交代，则既往不咎。如果不主动如果主动坦白交代，则既往不咎。如果不主动坦白交代，则将严惩不逮。坦白交代，则将严惩不逮。”可以用符号表示为：可以用符号表示为：( (p pq q) )( ( p pr r) )。79 命题逻辑的语义语义80一元函数：一元函数：f: 0,1 0,1xf0f1f2f30001110101永假恒等运算永真语义8181 x yf0f1f2f3f4f5f6f7 0 000000000 0 100001111 1 000110011 1 101010101 永假 x yf8f9f10f11f12f13f14f15 0 011111111 0 100001111

51、 1 000110011 1 101010101永真二元函数：二元函数：f: 0,1f: 0,10,10,10,10,1语义82 x yx 0 010011 0 110110 1 000100 1 101111定义在二值定义在二值0,10,1上的五个运算符上的五个运算符 语法到语义83命题变元：命题变元：p p1 1,p,p2 2, ,p,pn n命题常元：命题常元： F F T T命题联结词：命题联结词： 命题逻辑语言命题逻辑语言二值二值0,1运算系统运算系统0,10,1 0 01 1f语法语法 语义语义 考虑命题变元为有限集考虑命题变元为有限集语法到语义84命题变元：命题变元：p p1 1

52、,p,p2 2, ,p,pn n命题逻辑语言命题逻辑语言二值二值0,1运算系统运算系统0,10,1vv: p p1 1,p,p2 2, ,p,pn n 0,1命题常元：命题常元： F F T T0 01 1并且满足如下条件：并且满足如下条件：1. v(T)=1; v(F)=0.命题联结词：命题联结词： 2. v(p)=v(p)3. v(p q)=v(p) v(q), , , , 语法到语义85定义定义 公式赋值公式赋值 所谓公式赋值就是从命题公式集合所谓公式赋值就是从命题公式集合IP到集合到集合0,1的映射，的映射，即即 v: IP0,1并且满足如下条件：并且满足如下条件：1. v(T)=1;

53、 v(F)=0.2. v(p)=v(p)3. v(p q)=v(p) v(q), , , , 语法到语义86成真赋值与成假赋值成真赋值与成假赋值 使公式使公式A的真值为的真值为1的赋值的赋值 v 称为称为A的的成真赋值成真赋值，若使公式若使公式A的真值为的真值为0的赋值的赋值 v 称为称为A的的成假赋值成假赋值。语法到语义87赋值举例赋值举例 对公式对公式(p q) r 赋值赋值 即即 令令 v(p)=0, v(q)=1, v(r)=1( 0 1 ) 1 1 1 x yx 0 010011 0 110110 1 000100 1 101111定义在二值定义在二值0,10,1上的五个运算符上的五

54、个运算符 ( p q ) r 1即即 令令 v(p)=1, v(q)=0, v(r)=1( 1 0 ) 1 0 1( p q ) r 0语法到语义88定义定义真值表真值表将命题公式将命题公式 A A 在所有赋值在所有赋值 ( (解释解释) )下取值情况列成表，称为下取值情况列成表，称为A A的的真值表真值表可见，一个公式的真值表由两部分组成：可见，一个公式的真值表由两部分组成： 表的左部分列出公式的每一种真值指派；表的左部分列出公式的每一种真值指派； 表的右部分给出相应每种真值指派下对应公式得到的真值表的右部分给出相应每种真值指派下对应公式得到的真值语法到语义89pqrpq(p q) rs00

55、00s1001s2010s3011s4100s5101s6110s7111例：构造公式例：构造公式 (p q) r 真值表。真值表。1111001101010001命题公式的分类90定义定义 设设A A为任一命题公式，为任一命题公式，（1 1）如果对一切赋值）如果对一切赋值v, A, A均取真值均取真值1 1，则称，则称A A是是永真式永真式或或重重 言式言式(tautologies)(tautologies)。（2 2）如果对一切赋值）如果对一切赋值v, A, A均取真值均取真值0 0，则称，则称A A是是永假式永假式或或矛矛 盾式盾式(contradictions)(contradicti

56、ons)。（3 3）如果至少对某一赋值）如果至少对某一赋值v, A, A取真值取真值1 1，则称，则称A A为为可满足式可满足式 (satisfactions)(satisfactions)。命题公式的分类91例：构造公式例：构造公式 (pq)( q p)真值表。真值表。pqpqpqq p(pq)(q p)s000s101s210s31111001010110111011111命题公式的分类92例：构造公式例：构造公式 (p (p q) q q) q 真值表。真值表。pq (p q)(p q) (p q) qs000100s101100s210010s311100命题公式的分类93pqrpq(

57、p q) rs0000s1001s2010s3011s4100s5101s6110s7111例：构造公式例：构造公式 (p q) r 真值表。真值表。1111001101010001命题公式类型的判定94判断公式类型判断公式类型-真值表法真值表法 (a)若真值表最后一列全为若真值表最后一列全为1，则为重言式；，则为重言式； (b)若真值表最后一列全为若真值表最后一列全为0，则为矛盾式；，则为矛盾式； (c)若真值表最后一列至少有一个若真值表最后一列至少有一个1，则为可满足式；，则为可满足式；常用重言式常用重言式1AA （同一律）（同一律）2A A （排中律）（排中律）3 (A A) （矛盾律）

58、（矛盾律）4 (AA)A 5 ( AA)A6 A(BA)7 A(AB)8 A AB9 (A(BC)(AB)(AC)10 (AB)(BC)(AC) （条件传递律）（条件传递律）11 (A(BC)(B(AC) （条件互易律）（条件互易律）12 A(AB)B) （条件分离律）（条件分离律）13 (A(AC)(AC) （条件重复律）（条件重复律）14 (AB)C)(BC) （条件简化律）（条件简化律）15 (AB)A)A （皮尔士律）（皮尔士律）16 (AB)(ACB) （加强前件律）（加强前件律）17 (AB)(ACBC) （析取附加律）（析取附加律）18 (AB)(ACBC) （合取附加律）（合取

59、附加律）19 (A(BC)(ABC) （条件合取律）（条件合取律）20 (ABC)(A(BC) （条件输出律）（条件输出律）21 (AB)(CD)(ACBD) （条件合并律）（条件合并律）22 AA （等值自返律）（等值自返律）23 (AB)(BA) （等值对称律）（等值对称律）24 (AB)(BC)(AC) （等值传递律）（等值传递律）25 (AB)(CD)(AC)(BD) 四、重言蕴涵式 重言等值式 四、重言蕴涵式 重言等值式推理的形式结构推理的形式结构 一个推理由前提和结论两部分组成。可以用一个蕴涵一个推理由前提和结论两部分组成。可以用一个蕴涵式来表示该推理的形式，蕴涵式的前件是推理的各

60、个式来表示该推理的形式，蕴涵式的前件是推理的各个前提的合取，其后件是推理的结论。前提的合取，其后件是推理的结论。如果一个推理形式只与联结词和复合命题相关，而不如果一个推理形式只与联结词和复合命题相关，而不涉及各种非命题成分，如主词、谓词、系词、量词；涉及各种非命题成分，如主词、谓词、系词、量词；或个体词、谓词等等，那么，该推理形式是有效的，或个体词、谓词等等，那么，该推理形式是有效的，当且仅当，相应的蕴涵式是重言式。当且仅当，相应的蕴涵式是重言式。推理的基本思想-重言蕴涵式100pqp q001011100111设设p, q 为命题变元，蕴涵式为命题变元，蕴涵式 p q的真值表的真值表推理的基