概率论复习资料(a)

1、概率总复习概率总复习第一章 概率论的基本概念事件及关系和运算样本空间，事件的定义事件之间的关系（和、积、差、 互不相容、对立）运算律：交换，结合，分配，概率的定义和性质定义统计定义：频率稳定值公理化定义：三条性质： 可加性、单调性、和的概率等可能概型：nmAP)(注意排列组合要一致！注意排列组合要一致！条件概率：)|(ABP)()(APABP()(|)()P ABP BA P A乘法公式：)|()|()(21111121nnnnnnAAAPAAAPAAAAP)()|(112APAAP)()|()()|()(2211BPBAPBPBAPAP)()|(nnBPBAP概率的计算全概率公式：贝叶斯公式

2、：)|(ABPinjjjBPBAP1)()|()()|(iiBPBAP独立性： BPAPABP利用独立性计算和事件的概率事件的和事件的和()P AB()( )( )()P ABP AP BP AB()( )( )P ABP AP B一般情况一般情况AB利用事件独立利用事件独立A,B相互独立相互独立11p ABp ABp AB 化事件的积化事件的积)(ABP)|()(ABPAP)()(BPAP一般情况一般情况例例1、._)(, 3 . 0)(, 7 . 0)(ABPBAPAP则设例例2、._)(, 6 . 0)(, 3 . 0)(, 4 . 0)(BAPBAPBPAP则设0.60.3例例3、._

3、)|(_,)(, 5 . 0)(,25. 0)(BABPBAPBABPAP则相互独立，又设事件设8551例例4、 在1100整数中任取一数，求（1）它能被2整除又能被5整除的概率；（2）它能被2整除或者能被5整除的概率。解：解：A能被2整除，B能被5整除，)() 1 (ABP10110010)()2(BAP)()()(ABPBPAP.106100101002010050 假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？袋中有2个白球3个红球，今从甲中任意取一只放入乙中，例例5、 将两信息编码将两信息编码A和和B分别传递出去，接收站收到时分别传递出去，接收

4、站收到时A信息A和B发送的频率为2：1问被误传为B的概率为0.02，而B被误传为A的概率为0.01，（1）收到信息为A的概率为多少？（2）若收到信息为A则源发信息是A的的概率为多少？例例6、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量的分布：1、离散型11kkp（1） (01)分布pXkp1p10,0,1,2,kkn knP XkC p qkn（2）二项分布 Xb（n，p） kXPekk!,2, 1 ,0k(3) 泊松分布)(X（4）离散型求分布函数的原则：以取值点为临界点讨论区间左闭右开2、分布函数的性质：()lim( )0,xFF x (0)lim( )( ).txF xF tF

5、 x()lim( )1;xFF x 1)(0 xF21xXxP)()(12xFxF1212,( )()xxF xF x3、连续型随机变量概率密度的性质( )1fx dx0)(xf)()(xFxf; 00 xXPbXaP;)(badxxff (x)x0abf (x) 与F(x)相互求解的方法( )( )xF xf x dx几种常用的分布X U a, b其它, 0,1)(bxaabxf均匀分布：指数分布： 000 xxexfx正态分布：,21)(222)(xexfx),(2NX标准正态分布：)(),(xx 随机变量函数的分布：（1）分布函数法）分布函数法（2）定理法（注意使用条件）例例1、 一质点

6、从原点出发，每个单位时间向上或向右的方向移动一单位，且向上的概率为p，向右的概率为1-p，则该质点经过10秒走到A(8，2)的概率为_22810(1)C pp例例2、,)(22xaexfxx设a是常数，则当a=_时，f (x)可作为随机变量的概率密度函数。e21例例3、的概率密度求xeY ,其它, 040, 8/)(xxxfXXeY ）（4, 1 e,1时当 y)(yFY,4时当ey )(yFY解解: 由题意可知的取值范围为yYP0yYP1)(yFY其它,0)(yfY41,8lneyyyyYPln18yxdx,14时当ey 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布1、分布函数,P

7、 Xx Yy),(yxF性质： ( , )F x y是变量x和y的不减函数 0( , )1F x y(,)0F ( , )F x y关于, x y右连续，即( , )(0, )F x yF xy, 0),( yF, 0),(xF. 1),(F,( , )( ,0)F x yF x y2、离散型),2,1,(jijijipyYxXP,111ijjip3、连续型概率密度函数f (x,y)( , )0f x y ( , )1f x y dxdy 2( , )( , )F x yf x yx y (, )( , ),GPX YGf x y dxdyf (x,y)F(x,y)4、边缘分布)(xFX),(

8、 xF)(yFY),(yF ixXP1jjipip,2,1, i1ijijpyYPjp,2,1,j)(xfXdx)y, x(f)y(fYdyyxf),( 注意含参变量的讨论)()(),(yFxFyxFYX,jiyYxXPjiyYPxXP)()(),(yfxfyxfYX5、独立性几乎处处成立。6、函数的分布. Z = X+Y 的分布dyyyzfzfZ),()(dxxzxf),(当X 与Y 相互独立时,( )()( )ZXYfzfzyfy dy( )( )()ZXYfzfxfzx dx注意含参变量积分的讨论dyyyzfzfZ),()(步骤：1、公式；2、写出被积函数，并在y,z平面上确定被积函数不

9、为零的区域；3、根据z的讨论，确定y的积分区间；4、整理计算结果。或者先求或者先求Z的分布函数，再求概率密度。的分布函数，再求概率密度。.M= max(X,Y )，N= min(X,Y )( )( )( )MXYFzFzFz ( )1 1( )1( )NXYFzFzFz （相互独立）的指数分布，服从参数为设1X例例1、2 , 1, 1, 0kkXkXYk的分布律。求),(,21YY1Y2Y0 10111e21ee02e例例2、X，Y相互独立，求Z=2X+Y的概率密度。0, 00,)(, 010 , 1)(yyeyfxxfyYX其他设随机变量设随机变量( (X ,Y) 的概率密度为的概率密度为(

10、),0,0( , )0,x ykexyf x y其它. 求常数求常数k 。例例3 3 求关于求关于X ,Y的边缘概率密度的边缘概率密度( ),( )XYfxfY 求求( (X ,Y) 的分布函数的分布函数( , )F x y 求求ZXY的概率密度。的概率密度。 求求1P XY 讨论讨论X ,Y的独立性。的独立性。 求求X ,Y的数字特征的数字特征(),( ),()XYE XE YD XY 求求12max(, ),min(, )ZX YZX Y的概率密度的概率密度第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1、数学期望离散型1()kkkE Xx p连续型()( )E Xxf x dx性质：

11、E(C )=C ; E(CX ) = CE(X );()()( )E XYE XE YX、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y );2、方差2)()(XEXEXD22)()(XEXE1( ()( )iiiE g Xg x p( ()( ) ( )E g Xg x f x dx性质：D(C) =0 ; D(CX )=C 2D(X );)()()(YDXDYXD),(2YXCovX与Y 独立，则()( )D XYD XD Y3、几种常用分布的期望与方差（0-1）分布pEX (1)DXpp()E Xnp()(1)D Xnpp ( , )Xb n p)(X()E X ()D X ),(baUX

12、2(), ( )12b aD X2)(baXE指数分布1()E X 21,()D X 2( ,)XN ()E X2,()DX4、协方差及相关系数)()(YEYXEXE ),(YXCov()() ( )E XYE X E Y)()(),(YDXDYXCovXY 1 XY 1 XY 1 baXYP独立独立不相关不相关(, )(, )Cov aXb YaCov X Y(,)()Cov X XD X第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理2、大数定律2()|()|D XPXE X2()|()| 1D XPXE X 1、切比雪夫不等式 X1 , X2 , 相互独立， 有相同的期望和方差

13、11.nPiiXn X1 , X2 , 独立同分布，期望存在pnnpA3、中心极限定理服从同一分布，201,2, .kkE XD Xkn设 相互独立，12,nXXX1(0,1)niiXnNn近似定理1几种等价的形式 ( , )nb n p(0,1)(1)nnpNnpp近似定理2例例, 2,1001未知是来自总体的一个样本XX 分布。近似服从_X)251, 0(N第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布1、简单随机样本2、常用统计量样本均值样本方差nkkXnX11nkkXXnS122)(11nkkXnXn122)(11样本k 阶原点矩., 2 , 111nkXnAnikik3、常用统计量的分布)(2nnXXX,21222212nXXX相互独立, 都服从正态分