机械优化设计总复习

1、机械优化设计总复习机械优化设计总复习1机械优化设计总复习机械优化设计总复习2机械优化设计过程过程包括： (1) 将实际问题加以数学描述，形成将实际问题加以数学描述，形成数学模型数学模型； (2) 选用选用适当的一种适当的一种最优化数值最优化数值方法和计算程序运方法和计算程序运算求解。算求解。机械优化设计总复习机械优化设计总复习3 建立最优化问题数学模型的三要素：建立最优化问题数学模型的三要素： （1）设计变量和参数。）设计变量和参数。 设计变量是由数学模型的解确定的未知数。设计变量是由数学模型的解确定的未知数。 （2）约束或限制条件。）约束或限制条件。 由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须

2、包括把由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。用约束的数学函数形式来表示的。 （3）目标函数。）目标函数。 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率，这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追求的目标。即系统追求的目标。机械优化设计总复习机械优化设计总复习4设计变量的数目确定了优化设计的维数设计变量的数目确定了优化设计的维数，如，如n个设计个设计变量，则称为变量，则称为n维设计问题维设计问题2 约束条件的分类约束条件的分类（1）根据

3、约束的）根据约束的性质性质分分边界约束边界约束 直接限定设计变量的取值范围的约束条直接限定设计变量的取值范围的约束条件，即件，即iiibxai 1,2, ，n性能约束性能约束 由结构的某种性能或设计要求，推导出由结构的某种性能或设计要求，推导出来的约束条件。来的约束条件。机械优化设计总复习机械优化设计总复习5 （2）根据约束条件的）根据约束条件的形式分形式分不等式约束不等式约束u=1,2, ，m 0Xgu等式约束等式约束 0Xhvv = 1，2， ，p n可行域 :在设计空间中在设计空间中满足所有约束条件的设计点的集合机械优化设计总复习机械优化设计总复习6min. .0,1,2,0,1,2,n

4、uvfXXRs tgXumhXvpn六六 优化设计的数学模型优化设计的数学模型（一）优化设计的标准数学模型（一）优化设计的标准数学模型必要时对数学模型进行规范化规范化，机械优化设计总复习机械优化设计总复习7机械优化设计总复习机械优化设计总复习8 1. 等值线（面）：是表征目标函数的特性，在每一等值线（面）：是表征目标函数的特性，在每一条曲线（面）的各点上，目标函数值相等。条曲线（面）的各点上，目标函数值相等。 2. 优化设计问题的基本解法包括：优化设计问题的基本解法包括： 解析解法解析解法 图解法图解法 数值解法数值解法机械优化设计总复习机械优化设计总复习9 TnnxXfxXfxXfxfxfx

5、fXf2121多元函数的梯度多元函数的梯度机械优化设计总复习机械优化设计总复习102121242)(xxxfxfxf42242)(211xxxf例例1 1：求二次函数：求二次函数44,1222121xxxxxfT2 , 3在点在点处的梯度。处的梯度。 解：解：在点在点T2 , 3处的梯度为：处的梯度为：机械优化设计总复习机械优化设计总复习112 2、二元函数、二元函数二元函数二元函数 在在 点处的泰勒展开式为：点处的泰勒展开式为：)(xf),(20100 xxx2122221221221221212100021)()(xxxfxxfxxfxfxxxxxfxfxfxfxx11102220,xxx

6、xxx机械优化设计总复习机械优化设计总复习12332212121( )339fxxxxxxl用泰勒展开将函数用泰勒展开将函数l在点在点 展开为二次函数。展开为二次函数。 l解：函数在点解：函数在点 的函数值、梯度和二阶导数的函数值、梯度和二阶导数矩阵：矩阵：( 1 )1,1 Tx(1)x(1)()3f x(1)211(1)2220369()336xxfxx xx(1)12(1)266012 0()06600 xfxxx机械优化设计总复习机械优化设计总复习1311(1)221111xxxx xx(1)(1)(1)(1)2(1)(1)1( )()() ()2TTfffxfxxxxxxxxx2212

7、112366(1)6123xxxxx机械优化设计总复习机械优化设计总复习143、无约束优化问题取得极值的条件、无约束优化问题取得极值的条件0)(21Txnxfxfxfxf即在极值点处即在极值点处函数的梯度为函数的梯度为n维零向量。维零向量。1）.F(x)在在 处取得极值，其必要条件是处取得极值，其必要条件是: *x机械优化设计总复习机械优化设计总复习15xnnnnnxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxG2222122222212212212212)(*x2. 处取得极值充分条件处取得极值充分条件l海色（海色（Hessian）矩阵）矩阵 ，即各阶主，即各阶主子式均大于零，则子式均大

8、于零，则X*为为。()Hx机械优化设计总复习机械优化设计总复习164 4、凸规划、凸规划对于约束优化问题对于约束优化问题min fX. .st0jgX (1,2,3,)jm fXjgX若若 都为凸函数都为凸函数，则称此问题为凸规划。则称此问题为凸规划。机械优化设计总复习机械优化设计总复习17六、不等式约束优化问题的极值条件六、不等式约束优化问题的极值条件库恩库恩塔克条件塔克条件对于多元函数不等式的约束优化取得极值的条对于多元函数不等式的约束优化取得极值的条件：件：0(1,2,)jjm10(1,2, )mjjjiif xgxinxx0(1,2,)jjgxjm机械优化设计总复习机械优化设计总复习1

9、8 是多元函数取得约束极值的是多元函数取得约束极值的,以以用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求用来作为约束极值的判断条件，又可以来直接求解较简单的约束优化问题。解较简单的约束优化问题。 这种情况这种情况K-TK-T条件即为多元函数取条件即为多元函数取得约束极值的充分必要条件。得约束极值的充分必要条件。机械优化设计总复习机械优化设计总复习19优化问题的几何描述优化问题的几何描述起作用约束。起作用约束。机械优化设计总复习机械优化设计总复习201 1、确定搜索区间的外推法、确定搜索区间的外推法/ /进退法进退法 在给定区间内仅有一个谷值（或有唯一的极小点）在给定区间内仅有一个谷值（或有唯一的极

10、小点）的函数称为单谷函数，其区间称为单谷区间。的函数称为单谷函数，其区间称为单谷区间。 在在a，x1， x2， b 如何消去子区间？如何消去子区间？f (x1) f (x2) ，消去，消去a， x1，保留，保留x1， b2.2.黄金分割法黄金分割法要求插入点要求插入点 的位置相对于区间的位置相对于区间 ,a b两端点具有对称性两端点具有对称性。 2()aba21,x2x1=a+(1-)(b-a)机械优化设计总复习机械优化设计总复习21例 用黄金分割法求函数f(x)=3x3-4x+2的极小点，设初始区间为（0,2），计算精度为0.8解： 第一轮计算：区间(a,b)=(0,2) x1=0+0.38

11、2X(2-0)=0.764, f1=0.282 x2=0+0.618 X(2-0)=1.236, f2=2.72 f10.8机械优化设计总复习机械优化设计总复习22极小点与极小值分别为：x*=0.5X(0.472+1.236)=0.854 f(x*)=0.4525第二轮计算： 令 x2=x1=0.764, f2=f1=0.282 x1=0+0.382X(1.236-0)=0.472, f1=0.317 f1f2, 故新区间a,b=x1,b=0.472, 1.236 b-a=1.236-0.472=0.7640.8, 满足控制精度。机械优化设计总复习机械优化设计总复习23用阻尼用阻尼第四章第四章

12、 无约束优化设计方法无约束优化设计方法d (0)机械优化设计总复习机械优化设计总复习24d机械优化设计总复习机械优化设计总复习25 例 用基本的鲍威尔法求目标函数 迭代一轮后的的最优解。已知初始点1,1T，迭代精度2212112( )242fxxxx xx0.001解：（1）第1轮迭代计算0011 x0000()3Fff x取单位向量e1， e2为搜索方向组011e102e, 机械优化设计总复习机械优化设计总复习260201min()43fxe12得沿e1方向搜索22220102131013exx)1 (2)1 (41*2)1 ()( 1122101xf1301x沿e2方向搜索 1101111

13、1110001exx机械优化设计总复习机械优化设计总复习27)1 (612)1 (29)( 22202xf0212min()227fxe20.55 . 1302x5 . 02115 . 1300021xxd机械优化设计总复习机械优化设计总复习28沿 d1方向一维搜索得极小点和极小值13.81.7x1()7.9f x下一轮计算的新方向组为下一轮计算的新方向组为e2, d1333130215 . 05 . 1235 . 025 . 13dxx)5 . 05 . 1)(23(2)23(4)5 . 05 . 1 (2)23()( 33323231xf4 . 037 . 18 . 31*xx9 . 7)

14、()(1*xfxf 一轮迭代后的最优点和最优值为一轮迭代后的最优点和最优值为机械优化设计总复习机械优化设计总复习291 1、数学模型、数学模型12,min,nfXfx xx. .st12,0(1,2,)jjngXgx xxjm12,0(1,2,)kknhXhx xxkl求解上式的方法称为约束优化方法求解上式的方法称为约束优化方法第五章第五章 约束优化设计方法约束优化设计方法机械优化设计总复习机械优化设计总复习302 2、求解方法、求解方法（1 1）直接解法：将迭代点限制在可行域内（直接解法：将迭代点限制在可行域内（可行可行性性），步步降低目标函数值（），步步降低目标函数值（下降性下降性），直至到达），直至到达最优点。如随机方向法、复合形法、可行方向法、最优点。如随机方向法、复合形法、可行方向法、广义简约梯度法。广义简约梯度法。 根据求解方式不同，约束优化设计问题可分为根据求解方式不同，约束优化设计问题可分为直接解法和间接解法。直接解法和间接解法。（2 2）间接解法：通过变换，将约束优化问题转化）间接解法：通过变换，将约束优化问题转化为无约束优化问题求解。如惩罚函数法、增广乘子为无约束优化问题求解。如惩罚函数法、增广乘子法等。法等。1,2,001,2,minjLjLjkLgXjmfXfXfXfX1,2,001,2,minjLjLjkLg