梁绍荣第一章习题

1、第一章1. 三个相同的点电荷放置在等边三角形的各顶点上。在此三三个相同的点电荷放置在等边三角形的各顶点上。在此三角形的中心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上角形的中心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零？的合力为零？解：设三个电荷相等为解：设三个电荷相等为q，三边边长为，三边边长为a，其中心到三顶点距，其中心到三顶点距离为离为 ，此处置于电荷，此处置于电荷q0，则：，则：2000202)33(4|30cos42aqqaq3223a20243223aqaq| 330qq |330qq 3.（扩展题）（扩展题） 氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子氢原子由一个质子（即氢

2、原子核）和一个电子组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，组成。根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是轨道半径是5.2910-11米。已知质子质量米。已知质子质量M=1.6710-27千克，千克，电子质量电子质量m=9.1110-31千克，电荷分别为千克，电荷分别为 1.60 10-19库，库，万有引力常数万有引力常数G=6.67 10-11牛顿米牛顿米2/千克千克2。（。（1）求电子所）求电子所受的库仑力；（受的库仑力；（2）库仑力是万有引力的多少倍？（）库仑力是万有引力的多少倍？（3）求电）求电子的速度。子的速度。解：电子受的库仑力大小为：解：电子受的库仑

3、力大小为：)(1023. 8)1029. 5()106 . 1 (100 . 94821121992021NrqqFe)(.).(.NrmMGF472112731112106331029510671101910676 电子的万有引力大小为：电子的万有引力大小为：394781027. 21063. 31023. 8FFe（倍）（倍）5. 电量都是电量都是Q的两个点电荷相距为的两个点电荷相距为l，连线中点为，连线中点为O；有另一；有另一点电荷点电荷q，在连线的中垂面上距，在连线的中垂面上距O为为x处。处。(1)求求q受的力；受的力；（2）若）若q开始时是静止的，然后让它自己运动，它将如何运开始时是

4、静止的，然后让它自己运动，它将如何运动？分别就动？分别就q与与Q同号和异号情况加以讨论。同号和异号情况加以讨论。解：（解：（1）q受的库仑力为：受的库仑力为：(2) 若若Q与与q同号，同号，q向上运动；向上运动；若若Q与与q异号，异号，q以以o为中心作往复运动。为中心作往复运动。2/3220222220) 4/(24/) 4/(42lhqQhlhhlhqQFQhlooqQooF（N）4. 两个小球质量都是两个小球质量都是m，都用长为，都用长为l的细线挂在同一点；若的细线挂在同一点；若它们带上相同的电量，平衡时两线夹角为它们带上相同的电量，平衡时两线夹角为2（见附图）。（见附图）。设小球的半径都

5、可以略去不计，求每个小球上的电量。设小球的半径都可以略去不计，求每个小球上的电量。解：依题意可知，解：依题意可知，q受三个力处于平衡：受三个力处于平衡：写成分量形式：写成分量形式：0gmTF 20224)sin(sincos lqTmgT20224)sin(tan lmgq tansinmglq042 qqll7. 电子所带的电荷量（基本电荷电子所带的电荷量（基本电荷 -e ）最先是由密立根通过油滴）最先是由密立根通过油滴试验测的。密立根设计的试验装置如附图所示。一个很小的带试验测的。密立根设计的试验装置如附图所示。一个很小的带电油滴在电场电油滴在电场E内。调节内。调节E，使作用在油滴上的电场

6、力与油滴的，使作用在油滴上的电场力与油滴的总量平衡。如果油滴的半径为总量平衡。如果油滴的半径为1.64 104厘米，在平衡时，厘米，在平衡时，E1.92 105牛顿牛顿/库仑。求油滴上的电荷（已知油的密度为库仑。求油滴上的电荷（已知油的密度为0.851克克/厘米厘米3）。）。解：设油滴带电量为解：设油滴带电量为q，有电场力格重力平衡条件：，有电场力格重力平衡条件：qEmg得：得：EgkEmgq33/4563361092. 18 . 91010851. 0)1064. 1 (14. 33/4库仑191002. 8喷雾器喷雾器油滴油滴显微镜显微镜电池组电池组E+-9. 附图中所示是一种电四极子，它

7、由两个相同的电偶极子附图中所示是一种电四极子，它由两个相同的电偶极子pql组成，这两电偶极子在同一直线上，但方向相反，它们的负组成，这两电偶极子在同一直线上，但方向相反，它们的负电荷重合在一起。证明：在它们的延长线上离中心（即负电荷）电荷重合在一起。证明：在它们的延长线上离中心（即负电荷）为为r处，处，式中式中Q2ql2叫做它的电四极矩。叫做它的电四极矩。解：依电场叠加原理，三个点电荷在解：依电场叠加原理，三个点电荷在P处的场强：处的场强：rlrlrqlrqrqlrqE/)()( ),(4340lrrQE 402220222220243643212321

8、4E21111rQrlrqrlrlrlrlrqxxx !)(!取二级近似利用rl-lP-2q+q+q9. 附图中所示是另一种电四极子，设附图中所示是另一种电四极子，设q和和l都已知，图中都已知，图中P点点到电四极子中心到电四极子中心O的距离为的距离为x， 与正方形的一对边平行，求与正方形的一对边平行，求P点的电场强度点的电场强度E。当。当xl时时,E=?解解:利用偶极子在中垂线上的场强公式利用偶极子在中垂线上的场强公式来计算来计算:方向向下301)2/(4lxPE方向向上30224)/(lxPE 30322320330303012434434212142424EPxPllxllxPlxlxPl

9、xPlxPEE )/(/)/()/()/()/(:点合场强为故+q+q- q- qllxllP10. 求均匀带电细棒求均匀带电细棒(1)在通过自身端点的垂直面上和在通过自身端点的垂直面上和(2)在在自身的延长线上的场强分布自身的延长线上的场强分布,设棒长为设棒长为2l,带电总量为带电总量为q.解解:依题意选坐标系如图所示依题意选坐标系如图所示.Y-y+dy带电带电:(1)它在它在x处的电场为处的电场为:lqdydydq2/lq 2/)(4220yxdydE2202023220444lxxqyxxdydEElx /)(cos 220202322041184lxxlqyxydydEEly /)(s

10、in ylyyydyEl1214402020 )(轴某点场强在y2lqdydydq/ 14. 一均匀带电的正方形细框，边长为一均匀带电的正方形细框，边长为l，总电量为，总电量为q。求这正。求这正方形轴线上离中心为方形轴线上离中心为x处的场强。处的场强。解：依题意作如图所示，线电荷密度为解：依题意作如图所示，线电荷密度为q/4l，其一个边上，其一个边上，xxdx带电量为带电量为dqdx。它在。它在 z轴某点电场：轴某点电场：由于对称性，由于对称性，z处总场强处总场强E为：为：)/(222044yxldxdE 2222220444yxlzyxldxdEz /)/( 2322022232220244

11、444/)/()/(lxqzyxldxzdEEllzz xdqzyl/2z31. 如附图，一示波管偏转电极的长度如附图，一示波管偏转电极的长度l1.5厘米，两极间电厘米，两极间电场是均匀的，场是均匀的，E1.2104伏伏/米（米（E垂至于管轴），一个电子垂至于管轴），一个电子一初速度一初速度v02.6107米米/秒沿铅管轴注入。已知电子质量秒沿铅管轴注入。已知电子质量m9.1 1031千克，电荷为千克，电荷为e1.6 1019库。（库。（1）求）求电子经过电极后所发生的偏转电子经过电极后所发生的偏转y；（；（2）若可以认为一出偏转电）若可以认为一出偏转电极的区域之后，电场立即为零。设偏转电极的

12、边缘到荧光屏的极的区域之后，电场立即为零。设偏转电极的边缘到荧光屏的距离距离D10厘米，求电子打在荧光屏上产生的光电偏离中心厘米，求电子打在荧光屏上产生的光电偏离中心O的距离的距离y1。解：（解：（1）电子在电场中的加）电子在电场中的加速度为：速度为：meEa 0vlt 米3273124192022103501062101921051102110612121 .).(.vlmeEaty+-偏转电极偏转电极电子电子v0荧荧光光屏屏PlDyy1O（2）电子从极板道荧光屏所用的时间为t1，则：20101111001mveElDtmveElatttvyytvDvDty /|（毫米）0510150103

13、5033201. mveElDyy12. 均匀电场与半径为a的半球面的轴线平行，试用面积分计算通过此半球面的电通量。解：设半球面和圆面组成闭合面：011ssssdsEdsEdsE211)(aEdsEEdsdsEdsEsssss100iqdsE3. 如附图所示，在半径为R1和R2 的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷Q1和Q2，求：（1）、三个区域内的场强分部；（2）若Q1Q2 ，情况如何？画出此情形的Er曲线。解：（1）高斯定理： 求E的分布:0iqdsE)4/()()4/(02021201rQQrQErR1R1rR20)4/(020rQErR1R1rR2R1R2Q2Q1o)4/(220RQ)4/(210RQrE2R1Rr14. 半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷的体密度为e。求场强分布，并画Er曲线。解：依题意作如图所示，由 求得E分布：rR 时：0iqdsE02/2lrrlE02/2lRrlE02rE rRE02216. 一厚度为d的无限大平板，平板内均匀带电，电荷的体密度为 。求板内外场强的分布。解：板内： 由高斯定理得：0/qdSEi0/22xSES 0/xE 板外：0/2dSES 2/0dE 16.求求 本章第三节习题本章第三节习题3中同心球在中同心球在 三个