工程制图平面的投影-线面相对位置

1、ABCabcabccab第三节 空间平面的投影基本要求一、平面的投影特性二、平面上的点和线1.掌握平面的几何元素表示法。2.掌握平面的投影特性及作图方法。3.掌握平面上点和直线的投影特性及作图法。4.掌握线面的平行、相交、垂直等相对位置 的投影特性及作图方法。5.能对画法几何综合题进行空间分析，了解 综合题的一般解题步骤和方法。基基 本本 要要 求求3 3 平面投影平面投影 空间平面可以由不同的几何元素来确定，平面的投影常用其构成空间平面可以由不同的几何元素来确定，平面的投影常用其构成元素的投影来表示。元素的投影来表示。baacbcbaacbcaabcbcbbaaccabcabcdd一、一、

2、平面投影平面投影 （一）投影面的垂直面投影面的垂直面 只垂直于只垂直于投影面，倾斜于其他两个投影面的平面。投影面，倾斜于其他两个投影面的平面。 1.1. 正垂面正垂面 2.2. 铅垂面铅垂面 3.3. 侧垂面侧垂面 （二）投影面的平行面投影面的平行面 平行于平行于投影面，垂直于其他两个投影面的平面。投影面，垂直于其他两个投影面的平面。 1.1. 正平面正平面 2.2. 水平面水平面 3.3. 侧平面侧平面 （三）一般位置平面一般位置平面 即不垂直也不平行于投影面的平面。即不垂直也不平行于投影面的平面。Pppp （一）投影面的垂直面一）投影面的垂直面 1.1.正垂面：正垂面：只垂直于只垂直于V面

3、，倾斜于面，倾斜于H面和面和W面的面的平面pppxOyWyHz 投影特性：投影特性：(1) V面投影积聚为一条线面投影积聚为一条线p (2) p与与x、z轴的夹角轴的夹角反映反映、 角的真实大小角的真实大小 (3) p、 p 为平面为平面P的类似形的类似形Pppp （一）投影面的垂直面一）投影面的垂直面 2.2.铅垂面：铅垂面：只垂直于只垂直于H面，倾斜于面，倾斜于V面和面和W面的平面面的平面投影特性投影特性 ：(1) H面投影积聚为一条线面投影积聚为一条线p (2) p与与x、 y轴的夹角轴的夹角反映反映、 角的真实大小角的真实大小 (3) p、 p 为平面为平面P的类似形的类似形p ppx

4、OzyHyWPppp （一）投影面的垂直面一）投影面的垂直面 3.3.侧垂面：侧垂面：只垂直于只垂直于W面，倾斜于面，倾斜于H面和面和V面的平面面的平面投影特性投影特性 ：(1) W面投影积聚为一条线面投影积聚为一条线p (2) p 与与z、 y轴的夹角轴的夹角反映反映、 角的真实大小角的真实大小 (3) p、 p为平面为平面P的类似形的类似形pppOxzyHyW （二）投影面的平行面二）投影面的平行面 1.1.正平面：正平面：只平行于只平行于V面，垂直于面，垂直于H面和面和W面的平面面的平面Pppp 投影特性：投影特性：(1) V面投影面投影p反映反映P的的实形实形 (2) H、 W面投影面

5、投影积聚成直线积聚成直线 (3) pOx； pOzpppxOyHyWz （二）投影面的平行面二）投影面的平行面 2.2.水平面：水平面：只平行于只平行于H面，垂直于面，垂直于V面和面和W面的平面面的平面PppppppxOyHyWz 投影特性：投影特性：(1) H面投影面投影p反映反映P的的实形实形 (2) V、 W面投影面投影积聚成直线积聚成直线 (3) pOx； pOy （二）投影面的平行面二）投影面的平行面 3.3.侧平面：侧平面：只平行于只平行于W W面，垂直于面，垂直于H H面和面和V V面的平面面的平面p 投影特性：投影特性：(1) W面投影面投影p反映反映P的的实形实形 (2) V

6、、 H面投影面投影积聚成直线积聚成直线 (3) pOz； pOypppxOyHyWzppABCabcabccab （三）一般位置平面三）一般位置平面 既没有垂直面的投影性质，也不具有平行面的投影性质既没有垂直面的投影性质，也不具有平行面的投影性质 投影特性：投影特性： (1) 一般平面的三面投影既不反映实形也没有积聚性。一般平面的三面投影既不反映实形也没有积聚性。 (2) 其三面投影均为空间平面的类似形，且面积缩小。其三面投影均为空间平面的类似形，且面积缩小。aabbccbacxOyWyHz正平面正平面铅垂面铅垂面侧平面侧平面正平面正平面正垂面正垂面侧平面侧平面侧垂面侧垂面一般位置平面一般位置

7、平面 平面投影特性判断平面投影特性判断二、平面上的点和线二、平面上的点和线 点和直线在平面上的点和直线在平面上的几何条件：几何条件： 1 1）若点在平面上若点在平面上， 2 2）直线在平面上直线在平面上，则该点一定在平面内的一条直线上。则该点一定在平面内的一条直线上。则该直线必然通过平面上的两点，或经过平面上则该直线必然通过平面上的两点，或经过平面上 一一点并平行于平面内的另一直线。点并平行于平面内的另一直线。ABCabcabccab二、二、 平面上的点和线平面上的点和线KEekkeke点在平面上的点在平面上的几何条件：几何条件：ABCabcabccab二、二、 平面上的点和线平面上的点和线直

8、线在平面上的直线在平面上的几何条件：几何条件：KkkkEeee 要在平面上取点，先要在平面上取要在平面上取点，先要在平面上取已知已知直线，然后在该直线上取点；反之，直线，然后在该直线上取点；反之，要在平面上取线，先要在平面上取要在平面上取线，先要在平面上取已知已知点，然后通过该点在平面上作直线。点，然后通过该点在平面上作直线。 （一）平面上取点和直线一）平面上取点和直线 例题例题 1 1 例题例题 2 2 （一）平面上取点和直线一）平面上取点和直线 例题例题1 1 如图所示，试作出如图所示，试作出ABCABC平面内点平面内点E E的水平投影的水平投影e e；并由；并由F F 的的 两面投影两面

9、投影f f、ff，判断点，判断点F F是否在是否在ABCABC平面内。平面内。abcacbffee1122 （一）平面上取点和直线一）平面上取点和直线 例题例题2 2 如图所示，已知五边形如图所示，已知五边形ABCDEABCDE平面的部分投影，试完成平面的部分投影，试完成 平面的水平投影。平面的水平投影。abcededcab1122xO （二）平面上的特殊直线二）平面上的特殊直线P 平面上不同位置的直线，它对投影面的倾角各不相同。其中：一种平面上不同位置的直线，它对投影面的倾角各不相同。其中：一种对投影面倾角为零的为投影面的对投影面倾角为零的为投影面的平行线平行线；另一种对投影面倾角为最大；另

10、一种对投影面倾角为最大的为投影面的的为投影面的最大斜度线最大斜度线。 1. 1.平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线effeabcacbxOP （二）平面上的特殊直线二）平面上的特殊直线eabab1020515mm1020515mmcdfcdxO 例题例题3 3 试在四边形试在四边形ABCD平面内取一点平面内取一点K，使，使K点距离点距离H面面10mm、 距距V面为面为15mm，作出，作出K点的两面点的两面投影。投影。efkk第四节第四节 线面的相对位置线面的相对位置ABCDabc(f)d(e)EFABCDabc(f)d(e)EFKk 线面的相对位置是指直线与平面、平面与平面间的相对位置，

11、即：线面的相对位置是指直线与平面、平面与平面间的相对位置，即：平行、相交、垂直等问题，以及它们之间产生的交点、交线、距离、平行、相交、垂直等问题，以及它们之间产生的交点、交线、距离、角度等关系。角度等关系。ABCDabc(f)d(e)EFKk三二一FGDf(e)ABabg(d)Em(n)MN 一、平行问题一、平行问题 直线与平面平行具有下列直线与平面平行具有下列几何关系：几何关系： 若直线与平面平行若直线与平面平行该直线必平行于平面上的一条直线；该直线必平行于平面上的一条直线； 当平面垂直于投影面时当平面垂直于投影面时该直线的投影必然与平面具有积聚性该直线的投影必然与平面具有积聚性 的投影平行

12、。的投影平行。 1.1.直线与平面平行直线与平面平行xOfgdf(e)abbag(d)em(n)mnPQEFDABCxOccabbaegffegllFGDf(e)ABabg(d)ECc 若空间两平面互相平行，则一平面内相交两直线必然与另一平面若空间两平面互相平行，则一平面内相交两直线必然与另一平面内的相交两直线对应平行；内的相交两直线对应平行； 当两平面相互平行且又同时垂直于投影面时，则两平面的积聚性当两平面相互平行且又同时垂直于投影面时，则两平面的积聚性投影一定平行。投影一定平行。 一、平行问题一、平行问题 2. 2.平面与平面平行平面与平面平行xOfgdf(e)abg(d)eabccBKA

13、ABGDabd(e)g(f)EFKk 1.1.直线与平面相交直线与平面相交 空间直线与平面相交产生交点，交点即是线面的共有点。若空间直线或空间直线与平面相交产生交点，交点即是线面的共有点。若空间直线或平面其中之一与投影面垂直时，那么可利用积聚性的投影直接作图。平面其中之一与投影面垂直时，那么可利用积聚性的投影直接作图。 二、相交问题二、相交问题xOgdeg(f)d(e)fababkkABCPEFK 求一般位置线、面求一般位置线、面 交点的交点的方法步骤：方法步骤： 1 1）过直线作一辅助平面）过直线作一辅助平面 垂直于投影面。垂直于投影面。 2 2）作出辅助平面与已知）作出辅助平面与已知 平面

14、间的交线。平面间的交线。 3 3）求直线与两平面交线）求直线与两平面交线 的投影共有点。的投影共有点。 4 4）利用重影点来判断）利用重影点来判断 可见性。可见性。 1.1.直线与平面相交直线与平面相交 二、相交问题二、相交问题 若空间直线和平面都处于一般位置时，可利用辅助平面法求出交点。若空间直线和平面都处于一般位置时，可利用辅助平面法求出交点。xOcefaabcfeb2PH1213(4)55( )k34k 2.2.两平面相交两平面相交 二、相交问题二、相交问题 空间平面和平面相交产生交线，交线即相交两平面的共有线。若空间平面和平面相交产生交线，交线即相交两平面的共有线。若空间两平面之一与投

15、影面垂直时，那么可利用积聚性作出交线的投空间两平面之一与投影面垂直时，那么可利用积聚性作出交线的投影；可见性由积聚性投影来判断。影；可见性由积聚性投影来判断。xOcaabcbpp1212fAPBC12 三、垂直问题三、垂直问题 几何条件几何条件：如果空间直线与平面垂直，则该直线垂直于平面上的如果空间直线与平面垂直，则该直线垂直于平面上的所有直线。反之，直线垂直平面上的任意两相交直线，则直线垂直于所有直线。反之，直线垂直平面上的任意两相交直线，则直线垂直于该平面。该平面。 1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直LKP 三、垂直问题三、垂直问题 1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直 1 1）如果空间

16、直线与投影面垂直面垂直，则该直线与平面在该投影）如果空间直线与投影面垂直面垂直，则该直线与平面在该投影面上的投影必然垂直。面上的投影必然垂直。FGDf(e)ABabg(d)Exgfedababf(e)g(d)LKPABabMmKkPHPxOppmmabbadccdkk 三、垂直问题三、垂直问题 1.1.直线与平面垂直直线与平面垂直 2)2)如果空间直线与一般位置平面垂直，则由直角投影定理可知该如果空间直线与一般位置平面垂直，则由直角投影定理可知该直线的水平投影一定垂直与该平面水平线的水平投影；直线的水平投影一定垂直与该平面水平线的水平投影；直线的正面直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正

17、面投影。投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。 三、垂直问题三、垂直问题 2.2.两平面垂直两平面垂直 如果空间两平面相互垂直，过其中一平面上的任意点向第二个平如果空间两平面相互垂直，过其中一平面上的任意点向第二个平面作的垂线，必定在第一个平面内；若空间直线与平面垂直，则包面作的垂线，必定在第一个平面内；若空间直线与平面垂直，则包含直线作的所有平面都垂直于该平面。含直线作的所有平面都垂直于该平面。DA 三、垂直问题三、垂直问题 2.2.两平面垂直两平面垂直 若两个投影面垂直面相互垂直，则两平面在所垂直的投影面上的若两个投影面垂直面相互垂直，则两平面在所垂直的投影面上的积聚性投影成直角。两个一般位置平面相互垂直，其中一个平面必积聚性投影成直角。两个一般位置平面相互垂直，其中一个平面必然经过另一平面的垂线。然经过另一平