大学物理第四章机械振动和机械波

1、第七章本章内容第一节机械振动动画动画用图动力学方程动力学方程x正X向反X向微分形式微分方程弹簧振子x动画例运动方程AA最大最大最大最大最大最大振动曲线特征参量振幅、角频率初相相位相位差计算方法例At 0 xxot0t 矢量图法矢量图法振幅矢量振幅矢量vA 质点的投影点在轴上做简谐振动质点的投影点在轴上做简谐振动)tcos(Ax0 x = A cos ( t ) )简谐运动方程简谐运动方程旋转矢量AAXXOM ( 0 )A初相初相矢量端点矢量端点在在X X 轴上轴上的投影对的投影对应振子的应振子的位置坐标位置坐标M ( t )tM ( t )ttM ( t )M ( t )ttM ( t )tM

2、 ( t )M ( t )tM ( t )tM (T )T周期 TxOM ( 0 )初相初相M ( t )tAt 时刻的时刻的振动相位振动相位( t ) )旋转矢量旋转矢量A以匀角速以匀角速逆时针逆时针转动转动x = A cos ( t ) )简谐运动方程简谐运动方程循环往复例例21 xt时，时，找特殊点，找特殊点，由旋转矢量法，知由旋转矢量法，知 2321 34 例例例4-4 物体沿物体沿x轴作谐振动，其振幅为轴作谐振动，其振幅为A=10.0cm周期为周期为T=2.0 s，t=0时物体的位移为时物体的位移为x0=-5cm.且向且向x轴负方向运动轴负方向运动.试求试求 (1) t=0.5s时物

3、体的位移；时物体的位移； (2) 何时物体第一次运动到何时物体第一次运动到x=5cm处处? (3) 再经过多少时间物体第二次运动到再经过多少时间物体第二次运动到x=5cm处处?解解由已知条件，该谐振动在由已知条件，该谐振动在t=0时时刻的旋转矢量位置如图所示刻的旋转矢量位置如图所示.由由图及初始条件可知图及初始条件可知 23由于由于 22s, TT所以所以,该物体的振动方程为该物体的振动方程为20.1cos3xtx0t -5O(1)将将t=0.5s代入振动方程，得质点的位移为代入振动方程，得质点的位移为 20.1cos0.50.087m3x (2) 当物体第一次运动到当物体第一次运动到x=5c

4、m处时，旋处时，旋转矢量从初始位置转过的角度为转矢量从初始位置转过的角度为，如图，如图所示，所以有所示，所以有 1t即即 11s2Tt(3)当物体第二次运动到当物体第二次运动到x=5cm处时，旋转矢量又转过处时，旋转矢量又转过23)2123ttt 22s333Tt x0t 23-552t1t振动能量谐振子能量AAA简谐运动势能曲线简谐运动势能曲线简谐运动能量守恒，振幅不变简谐运动能量守恒，振幅不变kEpEx221kAE EBCAApExO续上能量表达式例书例8能量能量第三节第三节4 - 4compose of simple harmonic motion 振动合成振动合成同向同频合成同向同频合

5、成振幅合振幅合振动合振动分振动分振动；其中，合振幅其中，合振幅若若为合振幅可能达到的最大值为合振幅可能达到的最大值若若则则则则若若则则值为合振幅可能达到的最小值为合振幅可能达到的最小若若则若为其它值，则为其它值，则 处于处于与与之间之间例书例9例书例11第一节机械波的产生 波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。 波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍在其各自平衡位置附近作振动。仍

6、在其各自平衡位置附近作振动。振动的传播过程称为波动。振动的传播过程称为波动。产生机械波的必要条件：产生机械波的必要条件：横波软绳软绳波的传播方向波的传播方向质点振动方向质点振动方向软绳软绳质点振动方向质点振动方向波的传播方向波的传播方向抖动一下，产生一个脉冲横波抖动一下，产生一个脉冲横波连续抖动，产生连续横波连续抖动，产生连续横波质点的振动方向与波的传播方向垂直质点的振动方向与波的传播方向垂直纵波抽送一下，产生一个脉冲纵波抽送一下，产生一个脉冲纵波软弹簧软弹簧软弹簧软弹簧波的传播方向波的传播方向质点振动方向质点振动方向连续连续抽送抽送，产生连续，产生连续纵纵波波波的传播方向波的传播方向质点振动

7、方向质点振动方向 在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气在机械波中，横波只能在固体中出现；纵波可在气体、液体和固体中出现。空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂，不是单纯的纵波或横波。质点的振动方向与波的传播方向平行质点的振动方向与波的传播方向平行机械波传播特征波长周期波速波速波速单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度，单位时间内振动状态（振动相位）的传播速度，又称相速。机械波速又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质取决于弹性媒质的物理性质。或或波长波长振动状态完全相同的相邻两质点之间的

8、距离。振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。周期周期波形移过一个波长所需的时间。波形移过一个波长所需的时间。频率频率周期的倒数。周期的倒数。, 取决于波源振动频率取决于波源振动频率。波传播方向波传播方向波速波速几何描述波波 前前波波 面面波波 线线波面波面振动相位相同的点连成的面。振动相位相同的点连成的面。波前波前最前面的波面。最前面的波面。平面波（波面为平面的波）平面波（波面为平面的波）球面波（波面为球面的波）球面波（波面为球面的波）波线（波射线）波线（波射线）沿波的传播方向的射线。在各向同沿波的传播方向的射线。在各向同性媒质中，波线恒与波面垂直。性媒质中，波线恒与波面垂直。第一节平面简谐

9、波正向波波函数三种表达式负向波一般形式例)(cos0 uxtAy0)40(200cos02. 0)5200(cos02. 0)2005(cos02. 0 xtxttxy 比较可知：比较可知： 200 40 u100120022 THZT1001 muT4 . 0100140 正向波正向波反向反向波波)10(2cos2 . 0 xty 2 smu/10 sT1222 HZ1 muT10110 说明说明X-dX-d点的相位比点的相位比x x点的相位落后点的相位落后例物理意义若给定某点若给定某点 P 的的 ，波函数变为，波函数变为 P 点处质点的点处质点的距原点为距原点为 处质点振动的初相处质点振动

10、的初相P点的点的若给定若给定 ，波动方程表示所给定的，波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动质时刻波线上各振动质点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的点相对各自平衡点的位置分布，即该时刻的t t1 1 时刻的时刻的例例2340 T 0由旋转矢量法知由旋转矢量法知tT/4时的相位时的相位T/42121121222xxxxxu 11122212222222xxtttuTTxxtttuTT 两点的两点的相位差相位差为其初相位差：为其初相位差：21xxx 两点的两点的波程差波程差为：为：在同一时刻，距离原点在同一时刻，距离原点O分别为分别为x1和和x2的两质点的相位分别为：的两质点的相位分别为： co

11、sxyAtu波函数1 波的能量波的能量 波动在弹性介质内传播时，波所达到的质元要发生振动，波动在弹性介质内传播时，波所达到的质元要发生振动，因而有因而有动能动能，质元还要发生形变因而有，质元还要发生形变因而有弹性势能弹性势能.动能与弹动能与弹性势能的性势能的总和总和即为该质元含有的波的能量即为该质元含有的波的能量. 在波线上坐标为在波线上坐标为x处取一个体积元处取一个体积元V，其质量，其质量d dm= = V )(cosuxt Ay该体积元的振动速度为该体积元的振动速度为 sin()yx A ttu 设平面简谐波为设平面简谐波为 xxOx该体积元该体积元V的动能为的动能为 2222k11 si

12、n ()22xWm VAtu可以证明，因为介质形变，体积元可以证明，因为介质形变，体积元V的的势能势能与与动能相等动能相等 222pk1sin()2xWW VAtu 在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能、势能和在波的传播过程中，弹性介质体积元中的动能、势能和机械能都是时间机械能都是时间t的周期性函数，它们的周期性函数，它们同时最大同时最大平衡位平衡位置，同时最小（为零）置，同时最小（为零）最大位移处最大位移处。 体积元体积元V的机械能为的机械能为222kpsin()xWWW VAtu 222sin()WxwAtVu单位体积的介质中波所具有的能量称为单位体积的介质中波所具有的能量称为能量密度

13、能量密度 。( )w能量密度在一个周期内的平均值称为能量密度在一个周期内的平均值称为平均能量密度平均能量密度 。 )w22222 011 sin ()d2 TxwAttATu2 波的能流波的能流 单位时间内通过介质中某一截面的能量称为通过该面积单位时间内通过介质中某一截面的能量称为通过该面积的能流，以的能流，以P表示。表示。 能流密度：能流密度：/PSwuPwuS 对能流密度取时间的平均值，称为对能流密度取时间的平均值，称为平均能流密度平均能流密度，以以I表示。又称表示。又称波的强度波的强度。2212PIwuAuS在在SISI中，能流密度的单位是瓦每平方米，符号为中，能流密度的单位是瓦每平方米

14、，符号为WmWm-2-22AI 2IudtuS3 波的振幅波的振幅 在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变，在波动过程中，如果各处传波质点的振动状况不随时间改变，并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的并且振动能量也不为介质吸收，那么单位时间内通过不同波面的总能量就相等，这是能量守恒定律要求的总能量就相等，这是能量守恒定律要求的. 对对平面波平面波，可任取两个面积为，可任取两个面积为S1、S2的波面，相应的强度的波面，相应的强度分别为分别为I1,I2. 由于由于S1S2 ，且根据能量守恒，在单位时间有，且根据能量守恒，在单位时间有1122I SI S所以所以 12

15、II从而从而 12AA对球面波对球面波 1s2s1r2r2222221221421421ruAruA1122I SI S仍有仍有 即即1221rrAA所以所以 （振幅与半径成反比）（振幅与半径成反比） 令令 221,1(AA rr r单位）有有 1/AA r由此可写出球面简谐波的波动方程由此可写出球面简谐波的波动方程)1c/ostryA r其中其中 号表示波的传播方向。号表示波的传播方向。 第一节 在波的传播过程中，波前上的每一点都可看成是发射子波的波在波的传播过程中，波前上的每一点都可看成是发射子波的波源，在源，在t时刻这些子波源发出的子波，经时刻这些子波源发出的子波，经t时间后形成半径为时

16、间后形成半径为ut(u为波速为波速)的球形波面，在波的前进方向上这些子波波面的包的球形波面，在波的前进方向上这些子波波面的包迹就是迹就是t+t时刻的新波面时刻的新波面.这就是惠更斯原理这就是惠更斯原理. 球球 面面 波波平平 面面 波波O1R2Rtuu t障碍物的小孔成为新的波源障碍物的小孔成为新的波源原波阵面原波阵面新波阵面新波阵面S1S2t 时刻时刻t+t 时刻时刻ut 反射线与入射线和界面法线位反射线与入射线和界面法线位于同一平面内，并且入射线与法于同一平面内，并且入射线与法线的夹角线的夹角(入射角入射角)等于反射线与等于反射线与法线的夹角法线的夹角(反射角反射角).这就是波的这就是波的

17、反射定律反射定律. 1 波的反射波的反射N界面界面RN界面界面IiirRA用惠更斯原理证明反射定律用惠更斯原理证明反射定律波的反射定律波的反射定律 用惠更斯原理证明反射定律用惠更斯原理证明反射定律 设平面波设平面波AB以波速以波速v入射到入射到两种介质两种介质1和和2的分界面的分界面MN上上.在不同时刻，波前的位置分别在不同时刻，波前的位置分别为为AB， CC， DD， EE，. 由于是在同种介质中传播，波速不变，因而由于是在同种介质中传播，波速不变，因而AA=BB，CC=CB，DD=DB，EE=EB ，.中心在中心在A，C，D，E，的一组圆柱面的包迹的一组圆柱面的包迹AB就是反射波的波前就是

18、反射波的波前. 当振动由点当振动由点B传至点传至点B，由，由C，传至，传至B时，在点时，在点A，C，D，E，发出的次波分别通过了由半径发出的次波分别通过了由半径AA，CC，DD，EE，所决定的距离所决定的距离. 1）折射线、入射线和界面折射线、入射线和界面的法线在同一平面内；的法线在同一平面内；21sinsinuuri2） 2 波的折射波的折射 N界面界面RN界面界面IiirRA用惠更斯原理证明折射定律用惠更斯原理证明折射定律波的折射定律波的折射定律 当波在第一种介质中通过距离当波在第一种介质中通过距离BB时，波在同一时间内将在另时，波在同一时间内将在另一种介质中通过距离一种介质中通过距离AA

19、.二者之二者之比应等于波在两种介质中的波速比应等于波在两种介质中的波速u1、u2之比，即有之比，即有 用惠更斯原理证明折射定律用惠更斯原理证明折射定律12/BBAAuu因为因为 sin ,sinBBABi AAABr所以所以 12sinsiniBBurAAuir 水波通过狭缝后的衍射水波通过狭缝后的衍射 波的衍射是指波在传播过程中遇到障碍物时，传播方向波的衍射是指波在传播过程中遇到障碍物时，传播方向发生改变，能绕过障碍物的现象发生改变，能绕过障碍物的现象. 波的衍射波的衍射a障碍物的小孔成为新的波源障碍物的小孔成为新的波源第一节 实验表明，几列波同时通过同一介质时，它们各自保持实验表明，几列波

20、同时通过同一介质时，它们各自保持自己的频率、波长、振幅和振动方向等特点不变，彼此互自己的频率、波长、振幅和振动方向等特点不变，彼此互不影响，这称为不影响，这称为波传播的独立性波传播的独立性. 在几列波相遇的区域内，任一质元的位移等于各列波单独在几列波相遇的区域内，任一质元的位移等于各列波单独传播时所引起的该质元的位移的矢量和，这称为传播时所引起的该质元的位移的矢量和，这称为波的叠加原理波的叠加原理. 1 波传播的独立性波传播的独立性2 波的叠加原理波的叠加原理波叠加原理过程分解过程分解 两个频率相同、振动方向相同、相位差恒定或相位相两个频率相同、振动方向相同、相位差恒定或相位相同的波源发出的两

21、列波，在它们相遇区域内，某些点处同的波源发出的两列波，在它们相遇区域内，某些点处的振动始终加强，而在另一些点处的振动始终减弱，这的振动始终加强，而在另一些点处的振动始终减弱，这一现象称为波的干涉。一现象称为波的干涉。 1 1）频率相同；频率相同；2 2）振动方向相同；振动方向相同；3 3）相位相同或相位差恒定。相位相同或相位差恒定。波的相干条件波的相干条件 1s2sP*1r2r1s2sP*1r2r波源振动波源振动10101cos()yAt20202cos()yAt1111cos(2)ryAt2222cos(2)ryAtP点的两个分振动点的两个分振动P点的合振动为点的合振动为 12cos()yy

22、yAtP点的合振动为点的合振动为 12cos()yyyAt其中其中 2212122cosAAAA A其中两个分振动的相位差为其中两个分振动的相位差为 21122()()rr 由于由于 的值是由波源决定的，且对空间各点的值是由波源决定的，且对空间各点此值都相同，故可令其为零，从而有此值都相同，故可令其为零，从而有12212()rr212()rr说明说明2212122cosAAAA A1）当当 时，即时，即 212()2,0,1,2rrkk 21AAA合振幅最大，振动最大加强合振幅最大，振动最大加强21, 0,1,2rrkk 波程差波程差 2）当当 时，即时，即 )212()21,0,1,2rrkk 12AAA合振幅最小，振动最大减弱合振幅最小，振动最大减弱2121, 0,1,22krrk 波程差波程差 2