中考函数重难点突破

1、中考复习准备好了吗？时刻准备着！20132013年年4 4月月 函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带近几年中考题中函数部分占据很大的比例，尤其是最后的压轴题，多数都是以二次函数与几何图形变换相结合。所以无论是为了应付当前的考试，还是今后的进一步学习，都应该清晰的梳理好这部分内容。 一、常量与变量一、常量与变量 1.1.常量与变量：常量与变量： 在某一变化过程中，不断变化的数量叫在某一变化过程中，不断变化的数量叫变量变量. .在某一变化过程中保持不变的量叫在某一变化过程中保持不变的量叫常常量量. . 2. 2.变量之间的关系变量之间的关系: : 在某一变化中

2、在某一变化中, ,如果一个变量如果一个变量 Y Y随着另随着另一个变量一个变量 X X的变化而不断变化的变化而不断变化, ,那么那么X X叫叫自变自变量量, ,Y Y叫叫因变量因变量. . 二、函数二、函数w1.1.一般地一般地. .在某个变化中在某个变化中, ,有两个变量有两个变量x x和和y,y,如果给定一个如果给定一个x x的值的值, ,相应地就确定了相应地就确定了y y的的一一个个值值, ,那么我们称那么我们称y y是是x x的的函数函数, ,其中其中x x叫叫自变自变量量, ,y y叫叫因变量因变量. .w2.2.要点：要点：w是一个变化的过程；是一个变化的过程；w有两个变量；有两个

3、变量；w这里的函数是一个这里的函数是一个单值单值函数函数; ;w函数的函数的实质实质是两个变量之间的是两个变量之间的关系关系. . 三、函数表示方法三、函数表示方法w解析法解析法: :用一个式子表示函数关系用一个式子表示函数关系; ;w列表法列表法: :用列表的方法表示函数关系用列表的方法表示函数关系; ;w图象法图象法: :用图象的方法表示函数关系用图象的方法表示函数关系. .表示优点缺点表达式表格图象关系变量间关系简捷明了,便于分析计算.需要通过计算,才能得到所需结果.能直接得到某些具体的对应值不能反映函数整体的变化情况直观表示了变量间变化过程和变化趋势.函数值只能是近似值.表达式是基础,

4、是重点,表格是画图象的关键,图象是在表达式和表格的基础上对函数的总体概括和形象化的表达. 四、四、一次函数一次函数n1.1.若两个变量若两个变量x,yx,y的关系可以表示成的关系可以表示成y=kxy=kx+b(k,b+b(k,b是常数是常数,k0),k0)的形式的形式, ,则称则称y y是做是做x x的的一次函数一次函数 (x(x为自变量为自变量,y,y为因变为因变量量).).n2.2.特别地特别地, ,当常数当常数b b0 0时时, ,一次函数一次函数y=kxy=kx+b(k0)+b(k0)就成为就成为: :y=kxy=kx(k(k是常是常数数,k0),k0),称称y y是是x x的的正比例

5、函数正比例函数. .n3.3.一次函数与正比例函数之间的关系一次函数与正比例函数之间的关系: :正比例函数正比例函数是当是当b=0b=0时的特殊的一次函时的特殊的一次函数数. . 知识要点：知识要点：理解一次函数概念应理解一次函数概念应注意注意下面几点：下面几点： 1、解析式中自变量、解析式中自变量x的次数是的次数是_次，比例次，比例 系数系数_。 2、正比例函数、正比例函数y=kx(k0)的图象是过点（的图象是过点（0，_），），(1，_)的的_。 3、一次函数、一次函数y=kx+b(k0)的图象是过点（的图象是过点（0，_),（_，0)的的_。1、某函数具有下列两条性质、某函数具有下列两条

6、性质（1）它的图像是经过原点（）它的图像是经过原点（0，0）的一条直线；）的一条直线；（2）y的值随的值随x值的增大而增大。值的增大而增大。请你举出一个满足上述条件的函数（用关系式表示）请你举出一个满足上述条件的函数（用关系式表示）2、函数、函数 的图像与的图像与x轴交点坐标为轴交点坐标为_,与与y轴的交点坐标为轴的交点坐标为_。4x32y 中考真题中考真题3、如果一次函数、如果一次函数y=kx-3k+6的图象经过原点，那么的图象经过原点，那么 k的值为的值为_。4、已知、已知y-1与与x成正比例，且成正比例，且x=2时，时，y=4，那么，那么y与与 x之间的函数关系式为之间的函数关系式为_。

7、5、直线、直线ykx+b过点（过点（1，3）和点（）和点（1，1），则），则 _。bk6、在直角坐标系中，一次函数、在直角坐标系中，一次函数ykxb的图像经过三的图像经过三点点A（2，0）、）、B（0，2）、）、C（m，3），求这个函数），求这个函数的关系式，并求的关系式，并求m的值。的值。7、已知函数、已知函数 问当问当m为何值时，为何值时，它是一次函数？它是一次函数？4mX)2m(y5m5m2 8、如果、如果 是正比例函数，而且对于它的每是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应值（一组非零的对应值（x，y）有）有xy0，求，求m的值。的值。8m2mxy 10、如果、如果y+3与与x+2成

8、正比例，且成正比例，且x3时，时，y7（1）写出）写出y与与x之间的函数关系式；之间的函数关系式；（2）求当）求当x1时，时，y的值；的值；（3）求当）求当y0时，时，x的值。的值。9、已知：、已知：y+b与与x+a（a，b是常数）成正比例。是常数）成正比例。 求证：求证：y是是x的一次函数。的一次函数。五、一次函数的图象与性质五、一次函数的图象与性质 2.2.一次函数一次函数y=kxy=kx+b(k0)+b(k0)的图象的位置及的图象的位置及增减性增减性: : y y随随x x的增大而增大的增大而增大; ;n1.1.一次函数一次函数y=kxy=kx+b(k0)+b(k0)的图象是一条直的图象

9、是一条直线线, ,称称直线直线y=kxy=kx+b.+b.驶向胜利的彼岸xyoxyony y随随x x的增大而减小的增大而减小. .b0b=0b0b0k0时时n当当k0k0时，图象过时，图象过_象限；象限；y随随x的增大而的增大而_。当当k0时，时，y随随x的增大而的增大而_。当当k0时，时，y随随x的增大而的增大而_。根据下列一次函数根据下列一次函数y=kx+b(k 0)的的草图回答出各图草图回答出各图中中k、b的的符号：符号：增大增大减小减小k_0，b_0 k_0，b_0 k_0，b_0 k_0，b_0 中考真题解析中考真题解析柴油机在工作时油箱中的余油量柴油机在工作时油箱中的余油量Q(千

10、克）千克）与工作时间与工作时间t（小时）成一次函数关系，当工作开始时（小时）成一次函数关系，当工作开始时油箱中有油油箱中有油40千克，工作千克，工作3.5小时后，油箱中余油小时后，油箱中余油22.5千克千克(1)写出余油量写出余油量Q与时间与时间t的函数关系式；（的函数关系式；（2）画出）画出这个函数的图象。这个函数的图象。解：（）设解：（）设ktb。把。把t=0，Q=40； t=3.5， Q=22.5，分别代入上式，得，分别代入上式，得bkb5 . 35 .2240解得解得405bk解析式为：解析式为：Qt+40(0t8)（）、取（）、取t=0，得，得Q=40；取；取t=，得，得Q=。描出点

11、。描出点（，（，40），），B（8，0）。然后连成线段）。然后连成线段AB即是所即是所求的图形。求的图形。点评点评：（1）求出函数关系式时，）求出函数关系式时，必须找出自变量的取值范围。必须找出自变量的取值范围。 （2）画函数图象时，应）画函数图象时，应根据函数自变量的取值范围来根据函数自变量的取值范围来确定图象的范围。确定图象的范围。204080tQ图象是包括图象是包括两端点的线段两端点的线段.AB 如图，是一次函数 与反比例函数 的图像， 则关于的方程 的解为 x1= ,则x2= 。 当 时，x的范围是2kxbx1ykxb22yx12yy中考真题中考真题七、七、反比例函数反比例函数 2.2

12、.要点要点: : (1)(1)自变量自变量x0 x0且且 (2)(2)比例系数比例系数k=xyk=xy; ;n1.1.反比例函数的定义反比例函数的定义驶向胜利的彼岸.0,的反比例函数是的形式那么称为常数之间的关系可以表示成如果两个变量一般地xykkxkyyx0k 中考真题中考真题1、下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比、下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数例函数? y = 3x-1y = 2x2y =2x3y =x1y = 3xy =32xy =13xy = x12 2、在某一电路中、在某一电路中, ,保持电压保持电压U U不变不变, ,电电流流I(I(安培安培) )与电阻与电阻R(

13、R(欧姆欧姆) )之间的关系之间的关系是是:U=IR,:U=IR,当电阻当电阻R=5R=5欧姆时欧姆时, ,电流电流I=2I=2安培安培. .则电流则电流I(I(安培安培) )是电阻是电阻R(R(欧姆欧姆) )的的 函数函数, ,且且I I与与R R之间的函数之间的函数关系式是关系式是 . .3.3.已知已知ABCABC的面积为的面积为12,12,则则ABCABC的高的高h h与它的底边与它的底边 a 的函数关系式为的函数关系式为 . . 八、八、反比例函数的图象及性质反比例函数的图象及性质1.1.形状形状 反比例函数的图象是由两支双曲线组反比例函数的图象是由两支双曲线组成的成的. .因此称反

14、比例函数的图象为双曲线因此称反比例函数的图象为双曲线; ;2.2.位置位置 当当k0k0时时, ,两支双曲线分别位于第一两支双曲线分别位于第一, ,三象限内三象限内; ;当当k0k0k0时时, ,在每一象限在每一象限内内,y,y随随x x的增大而减小的增大而减小; ;当当k0k0K0)y=a(x-h)2+k(a0)y=ay=ax x2 2+b+bx x+c+c(a0)由由a,b和和c的符号确定的符号确定由由a,b和和c的符号确定的符号确定向上向上向下向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而增大的增大而增大.

15、在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大. 在对称轴的右侧在对称轴的右侧, y随着随着x的增大而减小的增大而减小. 根据图形填表：根据图形填表：abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当w顶点式顶点式,对称轴和顶点坐标公式对称轴和顶点坐标公式:w利润利润=售价售价-进价进价.最值问题二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+bx+c+c(a0)(a0)的性质的性质abacab44,22.44222abacabxayw总利润总利润=每件利润每件利润销售数量销售数量.ab

16、x2直线知识归纳课标（课标（BSBS）1利用二次函数求最值的问题利用二次函数求最值的问题(1)利润最大化利润最大化体会利用二次函数求解最值的一般步骤体会利用二次函数求解最值的一般步骤利用二次函数解决利用二次函数解决“利润最大化利润最大化”问题的一般步骤：问题的一般步骤：找出销售单价与利润之间的函数关系式找出销售单价与利润之间的函数关系式(注明范围注明范围)；求出该二次函数图象的顶点坐标；求出该二次函数图象的顶点坐标；由函数顶点坐标求得其最值，即求得由函数顶点坐标求得其最值，即求得“最大利润最大利润”(2)产量最大化产量最大化体会利用二次函数求解最值的几种方式体会利用二次函数求解最值的几种方式产

17、量最大化问题与最大利润问题类似，若问题中的函数类型是产量最大化问题与最大利润问题类似，若问题中的函数类型是二次函数，可以利用求二次函数的顶点处的函数值来解决也可以应二次函数，可以利用求二次函数的顶点处的函数值来解决也可以应用配方法求其顶点，利用函数图象也可以判断函数的最值用配方法求其顶点，利用函数图象也可以判断函数的最值注意注意 在求最值问题中，我们常用二次函数的表达式求顶点坐标在求最值问题中，我们常用二次函数的表达式求顶点坐标来求最值；也可以运用来求最值；也可以运用“数形结合数形结合”的方法，结合函数图象来判断求的方法，结合函数图象来判断求解最值；还可以利用列表的方法估计最值解最值；还可以利

18、用列表的方法估计最值(3)与图形有关的最值问题与图形有关的最值问题直角三角形中矩形的最大面积：要求面积就需要知道矩形的两直角三角形中矩形的最大面积：要求面积就需要知道矩形的两条边，因此，把这两条边分别用含条边，因此，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了式就能转化为数学问题了警示警示 在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时，要注在利用二次函数解答涉及图形的最值问题时，要注意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义，这是很多同学意图形中自变量的取值范围及是否有实际意义，这是很多同学易犯错的地方易犯错的地方2二次函数与一元二次方程的关系二次

19、函数与一元二次方程的关系对于一元二次函数对于一元二次函数yax2bxc，只要令，只要令y等于某个具体等于某个具体的数的数y0，就可以将函数转化成一元二次方程，这个方程的解是，就可以将函数转化成一元二次方程，这个方程的解是抛物线上纵坐标为抛物线上纵坐标为y0的点的横坐标的点的横坐标特殊地，如果令特殊地，如果令y值为值为0，所得方程为，所得方程为ax2bxc0，该方，该方程的解是抛物线与程的解是抛物线与x轴交点的横坐标若方程无解，则说明抛物轴交点的横坐标若方程无解，则说明抛物线与线与x轴无交点轴无交点二次函数的图象和二次函数的图象和x轴的交点个数与一元二次方程的根的个轴的交点个数与一元二次方程的根

20、的个数之间的关系，可以总结如下：设数之间的关系，可以总结如下：设yax2bxc(a0)，令，令y0，得：得：ax2bxc0.当当b24ac0时，方程有两个不等实数根，二次函数的图时，方程有两个不等实数根，二次函数的图象与象与x轴有轴有个交点；个交点；当当b24ac0时，方程有两个相等实数根，二次函数的图时，方程有两个相等实数根，二次函数的图象与象与x轴只有轴只有个交点个交点(即顶点即顶点)；当当b24ac0时，方程没有实数根，二次函数的图象与时，方程没有实数根，二次函数的图象与x轴轴没有交点没有交点两两一一 重点重点一一元二次方程与二次函数的关系一一元二次方程与二次函数的关系 重点突破B B

21、重点重点二二次函数与图形面积二二次函数与图形面积 例例2如图如图X28，苗圃的形状是直角梯形，苗圃的形状是直角梯形ABCD，ABDC，BCCD.其中其中AB，AD是已有的墙，是已有的墙，BAD135，另外两边另外两边BC与与CD的长度之和为的长度之和为30米，如果梯形的高米，如果梯形的高BC为变量为变量x(米米)，梯形面积为，梯形面积为y(米米2)，问：当，问：当x取何值时，梯形的面积最大？取何值时，梯形的面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？解析解析 从题中已知梯形从题中已知梯形(除去一腰除去一腰)的长和一个特殊角的长和一个特殊角BAD135，这里可利用梯形面积公式等相关知识构造出，这里

22、可利用梯形面积公式等相关知识构造出函数解析式函数解析式 重点重点三函数与几何图形三函数与几何图形例例3如图如图X210，在矩形，在矩形ABCD中，中，ABm(m是大于是大于0的的常数常数)，BC8，E为线段为线段BC上的动点上的动点(不与不与B，C重合重合)连接连接DE，作，作EFDE，EF与射线与射线BA交于点交于点F，设，设CEx，BFy.(1)求求y关于关于x的函数关系式；的函数关系式；(2)若若m8，求，求x为何值时，为何值时，y的值最大，最大值是多少？的值最大，最大值是多少？解析解析 (1)设法证明设法证明y与与x这两条线段所在的两个三角形相似，这两条线段所在的两个三角形相似，由比例

23、式建立由比例式建立y关于关于x的函数关系式；的函数关系式；(2)将将m的值代入的值代入(1)中的函中的函数关系式，配方化成顶点式后求最值；数关系式，配方化成顶点式后求最值；(3)逆向思考，当逆向思考，当DEF是等腰三角形，因为是等腰三角形，因为DEEF，所以只能是，所以只能是EFED，再由，再由(1)可可得得RtBFE RtCED，从而求出，从而求出m的值的值S S） 重点重点四二次函数与生活应用四二次函数与生活应用 例例4利达经销店为某工厂代销一种建筑材料利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出是指厂家先免费提供货源，待货

24、物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理的由厂家负责处理)当每吨售价为当每吨售价为260元时，月销售量为元时，月销售量为45吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就元时，月销售量就会增加会增加7.5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用付厂家及其他费用100元设每吨材料售价为元设每吨材料售价为x(元元)，该经销店，该经销店的月利润为的月利润为y(元元)(1)当每吨售价是当每吨售价是

25、240元时，计算此时的月销售量；元时，计算此时的月销售量；(2)求出求出y与与x的函数关系式的函数关系式(不要求写出不要求写出x的取值范围的取值范围)；(3)该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？(4)小静说：小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大当月利润最大时，月销售额也最大”你认你认为对吗？请说明理由为对吗？请说明理由数学数学新课标（新课标（BSBS） 重点重点五二次函数与体育活动五二次函数与体育活动 解析解析 解决这个问题的关键是正确地进行数学建模，将运解决这个问题的关键是正确地进行数学建模，将运动员在空中的运动路线抽象为所给出

26、的直角坐标系中的抛物线，动员在空中的运动路线抽象为所给出的直角坐标系中的抛物线，用待定系数法求出表达式，再利用函数知识求解用待定系数法求出表达式，再利用函数知识求解数学数学新课标（新课标（BSBS）数学数学新课标（新课标（BSBS）二次函数与生活应用二次函数与生活应用25.（12分）（分）（2012聊城）某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成聊城）某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为本为18元，试销过程中发现，每月销售量元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价（万件）与销售单价x（元）之间（元）之间的关系可以近似地看作一次函数的关系可以近似地看作一次函数y=2x+100

27、（利润（利润=售价制造成本）售价制造成本）（1）写出每月的利润）写出每月的利润z（万元）与销售单价（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商元，如果厂商要获得每月不低于要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产

28、品每月的最低制造成本万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？需要多少万元？w本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题 二次函数与几何图形二次函数与几何图形25(12分分) （2011聊城）如图，在矩形聊城）如图，在矩形ABCD中，中，AB12cm，BC8cm点点E、F、G分别从点分别从点A、B、C同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点动，点

29、E、G的速度均为的速度均为2cm/s，点，点F的速度为的速度为4cm/s，当点，当点F追上点追上点G(即点即点F与点与点G重合重合)时，三个点随之停止移动设移动开始后第时，三个点随之停止移动设移动开始后第ts时，时，EFG的面积的面积为为Scm2(1)当当t1s时，时，S的值是多少？的值是多少？(2)写出写出S与与t之间的函数解析式，并指出自变量之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；的取值范围；(3)若点若点F在矩形的边在矩形的边BC上移动，当上移动，当t为何值时，以点为何值时，以点B、E、F为顶点的三角形为顶点的三角形与以与以C、F、G为顶点的三角形相似？请说明理由。为顶点的三角形相似？请说明理由。w本题考查的是二次函数与图形的结合，在几何图形中建立函数关系式，体现本题考查的是二次函数与图形的结合，在几