空间向量与平行垂直关系学习教案

1、空间向量与平行空间向量与平行(pngxng)垂直关系垂直关系第一页，共42页。一定(ydng)点O第1页/共42页第二页，共42页。方向(fngxing)向量位置(wi zhi)一点第2页/共42页第三页，共42页。方向(fngxing)向量a第3页/共42页第四页，共42页。新知新知(xn zh)(xn zh)探求探求 素养养成素养养成知识点一知识点一如图如图(1)(1)所示所示, ,直线直线(zhxin)lm,(zhxin)lm,在直线在直线(zhxin)l(zhxin)l上取两点上取两点A,B,A,B,在直线在直线(zhxin)m(zhxin)m上取两点上取两点C,D.C,D.直线的方向

2、向量直线的方向向量(xingling)(xingling)和平面的法向量和平面的法向量(xingling)(xingling)图图(1)(1)第4页/共42页第五页，共42页。如图如图(2)(2)所示所示, ,直线直线ll平面平面(pngmin),(pngmin),直线直线lm,lm,在直线在直线m m上取向量上取向量n.n.图图(2)第5页/共42页第六页，共42页。梳理梳理(shl)(shl)(1)(1)直线的方向向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线直线的方向向量是指和这条直线 的向量的向量, ,一条直线的方向向量一条直线的方向向量有无数个有无数个. .(2)(2)平面的法向量平

3、面的法向量直线直线l,l,取直线取直线l l的方向向量的方向向量a,a,则向量则向量a a叫做平面叫做平面的法向量的法向量. .平行平行(pngxng)或共线或共线第6页/共42页第七页，共42页。知识点二知识点二空间平行关系空间平行关系(gun x)(gun x)的向量表示的向量表示如图如图(3)(3)所示所示, ,直线直线ll平面平面(pngmin),(pngmin),直线直线l l的方向向量为的方向向量为a,a,平面平面(pngmin)(pngmin)的法向量为的法向量为n.n.图图(3)如图如图(4)(4)所示所示, ,平面平面(pngmin)(pngmin)平面平面(pngmin),

4、(pngmin),平面平面(pngmin)(pngmin)的法向量的法向量为为m,m,平面平面(pngmin)(pngmin)的法向量为的法向量为n.n.图图(4)第7页/共42页第八页，共42页。问题问题2:(1)2:(1)在图在图(3)(3)中中, ,向量向量a a与向量与向量n n的关系的关系(gun x)(gun x)是怎样的是怎样的? ?(2)(2)在图在图(4)(4)中中, ,向量向量m m与向量与向量n n的关系的关系(gun x)(gun x)是怎样的是怎样的? ?答案答案(d n):(1)an.(2)mn.(d n):(1)an.(2)mn.第8页/共42页第九页，共42页。

5、梳理梳理(1)(1)线线平行线线平行(pngxng)(pngxng)设直线设直线l,ml,m的方向向量分别为的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),则则lmlmabab a1=a2,b1=b2,c1=c2(R).a1=a2,b1=b2,c1=c2(R).(2)(2)线面平行线面平行(pngxng)(pngxng)设直线设直线l l的方向向量为的方向向量为a=(a1,b1,c1),a=(a1,b1,c1),平面平面的法向量为的法向量为u=(a2,b2,c2),lu=(a2,b2,c2),l ,则则llauau a1a

6、2+b1b2+c1c2=0.a1a2+b1b2+c1c2=0.(3)(3)面面平行面面平行(pngxng)(pngxng)设平面设平面,的法向量分别为的法向量分别为u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),u=(a1,b1,c1),v=(a2,b2,c2),则则uv uv a1=a2,b1=b2,c1=c2(R).a1=a2,b1=b2,c1=c2(R).a a=b ba au u=0u u=v v第9页/共42页第十页，共42页。知识点三知识点三空间垂直空间垂直(chuzh)(chuzh)关系的向量表示关系的向量表示如图如图(5)(5)所示所示, ,直线直线ll平面平面(pngmi

7、n),(pngmin),直线直线l l的方向向量为的方向向量为a,a,平面平面(pngmin)(pngmin)的法的法向量为向量为n.n.图图(5)如图如图(6)(6)所示所示, ,平面平面(pngmin)(pngmin)平面平面(pngmin),(pngmin),平面平面(pngmin)(pngmin)的法向量为的法向量为n,n,平面平面(pngmin)(pngmin)的法向量为的法向量为m.m.图图(6)第10页/共42页第十一页，共42页。问题问题3:(1)3:(1)在图在图(5)(5)中中, ,向量向量(xingling)a(xingling)a与向量与向量(xingling)n(xi

8、ngling)n的关系是怎样的的关系是怎样的? ?(2)(2)在图在图(6)(6)中中, ,向量向量(xingling)m(xingling)m与向量与向量(xingling)n(xingling)n的关系是怎样的的关系是怎样的? ?答案答案:(1)an.(2)mn.:(1)an.(2)mn.梳理梳理(1)(1)线线垂直线线垂直设直线设直线l l的方向向量的方向向量(xingling)(xingling)为为a=(a1,a2,a3),a=(a1,a2,a3),直线直线m m的方向向量的方向向量(xingling)(xingling)为为b=(b1,b2,b3),b=(b1,b2,b3),则则l

9、mlmab=0ab=0 . .(2)(2)线面垂直线面垂直设直线设直线l l的方向向量的方向向量(xingling)(xingling)是是a=(a1,b1,c1),a=(a1,b1,c1),平面平面的法向量的法向量(xingling)(xingling)是是u=(a2,b2,c2),u=(a2,b2,c2),则则l l auaua=ua=u (R). (R).(3)(3)面面垂直面面垂直若平面若平面的法向量的法向量(xingling)u=(a1,b1,c1),(xingling)u=(a1,b1,c1),平面平面的法向量的法向量(xingling)v=(a2,b2,c2),(xingling

10、)v=(a2,b2,c2),则则 uvuvuv=0uv=0 . .a1b1+a2b2+a3b3=0a1=a2,b1=b2,c1=c2a1a2+b1b2+c1c2=0第11页/共42页第十二页，共42页。题型一题型一 利用空间利用空间(kngjin)(kngjin)向量证明平行问题向量证明平行问题课堂探究课堂探究(tnji) (tnji) 素养提升素养提升【例【例1 1】 已知正方体已知正方体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为2,E,F2,E,F分别分别(fnbi)(fnbi)是是BB1,DD1BB1,DD1的中点的中点, ,求证求证:FC1:FC1平面平面AD

11、E.ADE.证明证明: :如图所示如图所示, ,建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系Dxyz.Dxyz.则有则有D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),CD(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1 1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),B B1 1(2,2,2),(2,2,2),第12页/共42页第十三页，共42页。第13页/共42页第十四页，共42页。一题多变一题多变: :在本例条件在本例条件(tiojin)(tiojin)下下, ,求证求证: :平面平面ADEADE平面平面B1C1F.B1C1

12、F.第14页/共42页第十五页，共42页。方法技巧方法技巧 利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现, ,一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化一是利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化(zhunhu),(zhunhu),得到向量的共线关系得到向量的共线关系; ;二是通过建立空间直角坐标系二是通过建立空间直角坐标系, ,借助直借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明. .第15页/共42页第十六页，共42页。【备用例【备用例1 1】 如图所示如图所示

13、, ,在正方体在正方体ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中中,M,N,M,N分别是分别是C1C,B1C1C1C,B1C1的中的中点点. .求证求证(qizhng):MN(qizhng):MN平面平面A1BD.A1BD.第16页/共42页第十七页，共42页。第17页/共42页第十八页，共42页。第18页/共42页第十九页，共42页。题型二题型二 利用空间向量证明线线垂直利用空间向量证明线线垂直(chuzh)(chuzh)问题问题【例【例2 2】 已知正三棱柱已知正三棱柱(lngzh)ABC-A1B1C1(lngzh)ABC-A1B1C1的各棱长都为的各棱长都为1,M1,M是底面

14、上是底面上BCBC边边的中点的中点,N,N是侧棱是侧棱CC1CC1上的点上的点, ,且且CN= CC1.CN= CC1.求证求证:AB1MN.:AB1MN.14第19页/共42页第二十页，共42页。第20页/共42页第二十一页，共42页。第21页/共42页第二十二页，共42页。方法技巧方法技巧 用向量法证明空间两条直线相互垂直用向量法证明空间两条直线相互垂直, ,主要思路是证明两直线主要思路是证明两直线的方向向量相互垂直的方向向量相互垂直, ,具体方法为具体方法为(1)(1)坐标法坐标法: :根据图形的特征根据图形的特征(tzhng),(tzhng),建立恰当的直角坐标系建立恰当的直角坐标系,

15、 ,准确地写出准确地写出相关点的坐标相关点的坐标, ,表达出两直线的方向向量表达出两直线的方向向量, ,证明其数量积为证明其数量积为0.0.(2)(2)基向量法基向量法: :利用向量的加减法运算利用向量的加减法运算, ,结合图形结合图形, ,将要证明的两直线所在的向将要证明的两直线所在的向量用基向量表达出来量用基向量表达出来, ,利用数量积运算证明两向量的数量积为利用数量积运算证明两向量的数量积为0.0.第22页/共42页第二十三页，共42页。即时即时(jsh)(jsh)训练训练2-1:2-1:如图如图, ,在直三棱柱在直三棱柱ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1中中,AC=3,BC=4,

16、AB=5,AA1=4,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,求证求证:ACBC1.:ACBC1.第23页/共42页第二十四页，共42页。【备用例【备用例2 2】 (2018 (2018南通高二期中南通高二期中) )如图如图, ,正四棱柱正四棱柱ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1中中, ,设设AD= AD= 1,D1D=(0),1,D1D=(0),若棱若棱C1CC1C上存在唯一的一点上存在唯一的一点(y din)P(y din)P满足满足A1PPB,A1PPB,求实数求实数的值的值. .第24页/共42页第二十五页，共42页。第25页/共42页第二十六页，共42页。题型三题

17、型三 利用利用(lyng)(lyng)空间向量证明线面垂直问题空间向量证明线面垂直问题【例【例3 3】 如图所示如图所示, ,正三棱柱正三棱柱(lngzh)ABC-A1B1C1(lngzh)ABC-A1B1C1的所有棱长都为的所有棱长都为2,D2,D为为CC1CC1的中点的中点. .求证求证:AB1:AB1平面平面A1BD.A1BD.证明证明: :如图所示如图所示, ,取取BCBC的中点的中点O,O,连接连接AO.AO.因为因为ABCABC为正三角形为正三角形, ,所以所以(suy)AOBC.(suy)AOBC.因为在正三棱柱因为在正三棱柱ABC-A1B1C1ABC-A1B1C1中中, ,平面

18、平面ABCABC平面平面BCC1B1,BCC1B1,所以所以(suy)AO(suy)AO平面平面BCC1B1.BCC1B1.第26页/共42页第二十七页，共42页。第27页/共42页第二十八页，共42页。方法技巧方法技巧 用向量法证明线面垂直的方法及步骤用向量法证明线面垂直的方法及步骤(1)(1)基向量法基向量法确定基向量作为空间的一个基底确定基向量作为空间的一个基底, ,用基向量表示有关直线的方向向量用基向量表示有关直线的方向向量; ;找出平面内两条相交找出平面内两条相交(xingjio)(xingjio)直线的方向向量直线的方向向量, ,并分别用基向量表并分别用基向量表示示; ;分别计算有

19、关直线的方向向量与平面内相交分别计算有关直线的方向向量与平面内相交(xingjio)(xingjio)直线的方向向直线的方向向量的数量积量的数量积, ,根据数量积为根据数量积为0,0,证得线线垂直证得线线垂直, ,然后由线面垂直的判定定理然后由线面垂直的判定定理得出结论得出结论. .(2)(2)坐标法坐标法方法一方法一: :建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系; ;将直线的方向向量用坐标表示将直线的方向向量用坐标表示; ;找出平面内两条相交找出平面内两条相交(xingjio)(xingjio)直线直线, ,并用坐标表示它们的方向向量并用坐标表示它们的方向向量; ;第28页/共42页第二十九页，

20、共42页。分别计算两组向量的数量积分别计算两组向量的数量积, ,得到数量积为得到数量积为0.0.方法二方法二: :建立空间直角坐标建立空间直角坐标(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系系; ;将直线的方向向量用坐标表示将直线的方向向量用坐标表示; ;找出平面的法向量找出平面的法向量; ;判断直线的方向向量与平面的法向量平行判断直线的方向向量与平面的法向量平行. .第29页/共42页第三十页，共42页。即时即时(jsh)(jsh)训练训练3-1:3-1:如图如图, ,四棱柱四棱柱ABCD-A1B1C1D1ABCD-A1B1C1D1的底面的底面ABCDABCD是正方形是正方

21、形,O,O为底面中为底面中心心,A1O,A1O平面平面ABCD,AB=AA1= .ABCD,AB=AA1= .证明证明:A1C:A1C平面平面BB1D1D.BB1D1D.2第30页/共42页第三十一页，共42页。第31页/共42页第三十二页，共42页。【备用例【备用例3 3】 在四棱锥在四棱锥(lngzhu)P-ABCD(lngzhu)P-ABCD中中,PD,PD底面底面ABCD,ABCD,底面底面ABCDABCD为正方形为正方形,PD= ,PD= DC,E,FDC,E,F分别是分别是AB,PBAB,PB的中点的中点. .(1)(1)求证求证:EFCD;:EFCD;第32页/共42页第三十三页

22、，共42页。(2)(2)在平面在平面(pngmin)PAD(pngmin)PAD内求一点内求一点G,G,使使GFGF平面平面(pngmin)PCB.(pngmin)PCB.第33页/共42页第三十四页，共42页。题型四题型四 利用空间向量证明面面垂直利用空间向量证明面面垂直(chuzh)(chuzh)问题问题【例【例4 4】如图】如图, ,在四棱锥在四棱锥E-ABCDE-ABCD中中,AB,AB平面平面(pngmin)BCE,CD(pngmin)BCE,CD平面平面(pngmin)BCE,AB=BC=CE=(pngmin)BCE,AB=BC=CE=2CD=2,BCE=1202CD=2,BCE=120. .求证求证: :平面平面(pngmin)ADE(pngmin)ADE平面平面(pngmin)ABE.(pngmin)ABE.第34页/共42页第三十五页，共42页。第35页/共42页第三十六页，共42页。方法技巧方法技