复变函数入门1.

1、1.1 复数复数1、复数域2、复平面3、复数的模与辐角4、复数的乘幂与方根5、复数的应用举例21、复数域、复数域1.1 虚单位虚单位:.,称为虚数单位称为虚数单位引入一个新数引入一个新数为了解方程的需要为了解方程的需要i.1 :2在实数集中无解在实数集中无解方程方程实例实例 x对虚数单位的规定对虚数单位的规定: :; 1)1(2 i.)2(四则运算四则运算样的法则进行样的法则进行可以与实数在一起按同可以与实数在一起按同i3虚数单位的特性虚数单位的特性:;1ii ; 12 i;23iiii ; 1224 iii;145iiii ; 1246 iii;347iiii ; 1448 iii则则是是正

2、正整整数数一一般般地地，如如果果,n, 14 ni,14iin , 124 ni.34iin 41.2 复数的代数形式的定义复数的代数形式的定义:. , 为复数或称对于iyxzyixzRyx ; , 0 , 0 称为纯虚数称为纯虚数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我们把它看作实数我们把它看作实数时时当当 .000 , 0 , 0特别iyx时当i-虚单位虚单位满足：满足：i2=-1虚部虚部记做：记做：Imz=x实部实部记做：记做：Rez=x 称为为复数集,|RyxiyxzzC5例例1 1复复数数取取何何值值时时实实数数,m )43(2mm.)2(;)1(纯虚数纯虚数实数实数是是i

3、mm)65(2 解解令令, 432 mmx, 652 mmy, 0,)1( y则则如如果果复复数数是是实实数数. 160652 mmmm或或知知由由, 00,)2( yx且且则则如果复数是纯虚数如果复数是纯虚数. 140432 mmmm或或知知由由.10应舍去应舍去知知但由但由 my. 4 m即只有即只有6 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚它们的实部和虚部分别相等部分别相等. 复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部它的实部和虚部同时等于同时等于0.说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的可以比较它们的大小大小, 如果不全是实数如果不全是实

4、数, 就不能比较大小就不能比较大小, 也就也就是说是说,.121212z =z,xxyy设：设：z1=x1+iy1 z2=x2+iy2复数不能比较大小复数不能比较大小!71.3 复数的代数运算复数的代数运算, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数1. 两复数的和两复数的和:).()(212121yyixxzz 2. 两复数的积两复数的积:).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3. 两复数的商两复数的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 注解：注解： 复数的减法运算是加法运算的逆运算复数的减法运算是加法运算的逆运算 复数的除法运算是乘

5、法运算的逆运算复数的除法运算是乘法运算的逆运算 复数的四则运算与实数的四则运算保持一致复数的四则运算与实数的四则运算保持一致8定理定理: 全体复数关于上述运算做成一个数域全体复数关于上述运算做成一个数域. .称为复数域，用称为复数域，用C表示表示. .即即91.4 共轭复数共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. . , 的zz共轭复数记为. , iyxziyxz 则则若若例例2 2.的积与计算共轭复数yixzyixz解解)(yixyix 22)(yix .22yx .,的积是实数两个共轭复数zz结论：.22yx

6、zz即：105. 共轭复数的性质共轭复数的性质:;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式证明略以上各式证明略.11例例3 3 . 的形式的形式将下列复数表示为将下列复数表示为iyx .11)2(;11)1(7iiiiii 解解ii 11)1()1)(1()1(2iii 2)1(2i , i 77)(11iii . i iiii 11)2(iiii)1()1(22 ii 1212)1)(21(ii .2123i 12例例4 4解解.112 iiii计算计算iiiii

7、iiii )1)(1()1)(2(112iiiii 12222ii 231)2)(2()2)(31(iiii 222)2(362iiii .1i 13例例5 解解,43,55 21iziz 设设. 2121 zzzz与与求求iizz435521 )43)(43()43)(55(iiii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz.5157i 14例例6 解解,131 iiiz 设设.)Im(),Re(zzzz 与与求求iiiz 131 )1)(1()1(3 iiiiiii ,2123i ,21)Im(,23)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 15例

8、例7 证证, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数).Re(2 212121zzzzzz 证明证明 2121zzzz)()( )( 22112211iyxiyxiyxiyx )()(21122121yxyxiyyxx )()(21122121yxyxiyyxx )(22121yyxx ).Re(221zz ).Re(2 2121212121zzzzzzzzzz 或或161.5 1.5 复数的复数的HamiltonHamilton( (代数对）代数对）形式的定义形式的定义1835年， Hamilton给出如下定义： 称一个有序数对z=(x,y)为一个复数。其中x,y为实数。要注意，因为

9、复数是“有序数对”，所以一般地 （x,y) （y,x) 。 (x,y)=x+iy 实部 Rez=x 虚部：Imz=y 虚单位 (0,1)=i 数零0=(0,0)=0+0i17( ,0)0(0, ) 0(0)( , )(0,0) xxx izyi y yzx yx i y xy实数 复数纯虚数 虚数非纯虚数 ( , ) ( , )(,)a bc da c b d复数的四则运算复数的四则运算:( , ) ( ,)(,)a bc dacbd bcad222222( , ) ( , )(,) ,0ac bd bc ada bc dcdcdcd182、复平面、复平面. . , , , . ),( 面面面

10、面叫叫复复平平这这种种用用来来表表示示复复数数的的平平轴轴叫叫虚虚轴轴或或纵纵轴轴轴轴通通常常把把横横轴轴叫叫实实轴轴或或用用来来表表示示复复数数的的平平面面可可以以一一个个建建立立了了直直角角坐坐标标系系因因此此对对应应成成一一一一与与有有序序实实数数对对复复数数yxyxiyxz . ),( 表表示示面面上上的的点点可可以以用用复复平平复复数数yxiyxz ),(yxz xyxyoiyxz . 向量 表示面上的点可以用复平复数oziyxz 复数的向量表示法复数的向量表示法19结论结论:xyo1z2z21zz xyo1z2z21zz 2z 两个复数的加减法运算与相应的向量的两个复数的加减法运算

11、与相应的向量的加减法运算一致加减法运算一致. .20附录：附录： 向向Hamilton 学习学习Hamilton.William Rowan（威廉.罗万.哈密儿顿，18051865）爵士，无疑是使爱尔兰人在数学领域中享有盛益的最伟大的人物，同时也是有名望的物理学家和天文学家。他1805年生于都柏林，除了短时间外出访问外，一生都是在这里度过的。他才一岁时，被委托给一位叔叔教育，这位叔叔的热心在于给他侧重语言上的教育，不久之后，他就成了孤儿。Hamilton是个神童，3岁时能阅读英文，5岁时能阅读、21翻译拉丁、希腊和希伯莱文，翻译拉丁、希腊和希伯莱文，8 8岁就会讲意大利岁就会讲意大利语和法语，

12、而且能用拉丁文描写美丽的爱尔兰语和法语，而且能用拉丁文描写美丽的爱尔兰江山，江山，1212岁就读完了用拉丁文写的岁就读完了用拉丁文写的EuclidEuclid的的几几何原理何原理，据说他到十三岁时就掌握了十三种，据说他到十三岁时就掌握了十三种语言。在语言。在1414岁时，有波斯大使到达他的家乡都岁时，有波斯大使到达他的家乡都柏林访问，他还用波斯文写了一篇欢应词。这柏林访问，他还用波斯文写了一篇欢应词。这使得他逐步喜爱上了古典文学使得他逐步喜爱上了古典文学, ,沉醉于诗的写作沉醉于诗的写作之中之中, ,他成为当时的伟大诗人他成为当时的伟大诗人Willam WordsworthWillam Wor

13、dsworth的亲密朋友和相互赞赏者。然而遗憾的是却没的亲密朋友和相互赞赏者。然而遗憾的是却没有什么真正的成就。有什么真正的成就。22直到十五岁，哈密尔顿的兴趣才转变，爱上了数学。直到十五岁，哈密尔顿的兴趣才转变，爱上了数学。这个变化是由于他认识美国的心算专家这个变化是由于他认识美国的心算专家Zerah ColburnZerah Colburn( (科尔伯恩科尔伯恩) )引起的。这位计算家虽然只是个小孩子，引起的。这位计算家虽然只是个小孩子，但是他在都柏林表演了他的快速计算能力。不久之后但是他在都柏林表演了他的快速计算能力。不久之后HamiltonHamilton偶然间见到偶然间见到Newto

14、nNewton的的通用算术通用算术的抄本，的抄本，他贪婪地读它，然后又掌握了解析几何和微积分，并他贪婪地读它，然后又掌握了解析几何和微积分，并接着读了欧洲大陆的数学巨著。他读了接着读了欧洲大陆的数学巨著。他读了LaplaceLaplace的的天天体力学体力学（Mecanique ClesteMecanique Cleste）后）后, ,指出了其中的一个指出了其中的一个数数学错误；学错误；18231823年，他写了一篇关于这件事的论文，受年，他写了一篇关于这件事的论文，受到相当的注意，第二年，他进了都柏林的三一学院。到相当的注意，第二年，他进了都柏林的三一学院。HamiltonHamilton的

15、大学经历也是独一无二的。他在的大学经历也是独一无二的。他在18271827年，年，当他二十二岁还是一个大学生时，就无异当他二十二岁还是一个大学生时，就无异23议地被任命为爱尔兰的皇家天文学家，邓辛克天文台台长，和大学的天文学教授。不久之后，仅从数学理论方面，预见到二轴晶体中圆锥形的折射，后来，有物理学家们戏剧般地从试验上加以肯定。在物理学中常见到的Hamilton的名字有Hamilton原理（最小作用量原理，1829），Hamilton数（哈数）和动力学的HamiltonJacobi微分方程等。从1833年起，他转而研究代数，并于2418351835年写成了年写成了共轭函数或者代数对的理论共轭

16、函数或者代数对的理论的有价值的论文，并把它呈交给爱尔兰科学的有价值的论文，并把它呈交给爱尔兰科学院，在这篇文章中，详细谈到了形如院，在这篇文章中，详细谈到了形如x x+i+iy y的复的复数把它当做实数对来研究，这是数把它当做实数对来研究，这是HamiltonHamilton的伟的伟大成就之一。大成就之一。继他的这篇论文之后，继他的这篇论文之后，HamiltonHamilton用许多年的时用许多年的时间断断续续地考虑实数的有序三元组和有序四间断断续续地考虑实数的有序三元组和有序四元组的代数，但总是在如何定义乘法，使得能元组的代数，但总是在如何定义乘法，使得能够保持人们所熟悉的运算率上处于困境。

17、够保持人们所熟悉的运算率上处于困境。25最后在最后在18431843年，一闪年间，他直觉地想到，要求的年，一闪年间，他直觉地想到，要求的太多了，必须牺牲交换率。于是，第一个四元数的太多了，必须牺牲交换率。于是，第一个四元数的代数，第一个非交换代数，就这样突然诞生了。关代数，第一个非交换代数，就这样突然诞生了。关于四元数，有一种说法：这是他在经过十年无效的于四元数，有一种说法：这是他在经过十年无效的苦思冥想之后，当他在黄昏前，和他的妻子一道，苦思冥想之后，当他在黄昏前，和他的妻子一道，沿着都柏林附近的皇家运河散步时突然想到的，并沿着都柏林附近的皇家运河散步时突然想到的，并把这种想法刻在了步老姆桥

18、（把这种想法刻在了步老姆桥（Broughm BridgeBroughm Bridge）的）的石柱上石柱上在生命的最后二十年中，在生命的最后二十年中，HamiltonHamilton花费了大量花费了大量时间和精力推演其四元数，他认为这将在数学物理时间和精力推演其四元数，他认为这将在数学物理中引起巨大的变革，中引起巨大的变革，18531853年发表了他的伟大巨著年发表了他的伟大巨著论四元数论四元数（Treatise on QuaterniousTreatise on Quaternious），在这之），在这之后，他准备写一本扩展了的四元数原理。后，他准备写一本扩展了的四元数原理。26但不幸的是，但

19、不幸的是，18651865年他在都柏林死于酒精中毒，据年他在都柏林死于酒精中毒，据说这是由于不愉快的婚姻带给他的潦倒生活所致，说这是由于不愉快的婚姻带给他的潦倒生活所致，使这项工作未能完成。使这项工作未能完成。18661866年，其遗著年，其遗著四元数的四元数的理论基础理论基础出版。出版。虽然，由于后来有了美国物理学家和数学家，耶鲁虽然，由于后来有了美国物理学家和数学家，耶鲁大学的吉步斯（大学的吉步斯（Josiah Willard Gibbs 1839-1903Josiah Willard Gibbs 1839-1903）的更）的更方便的向量分析，格拉斯曼（方便的向量分析，格拉斯曼（Herma

20、n GiintherHerman Giinther Grassman Grassman）的更一般的有序）的更一般的有序n n元组，是四元数的理论元组，是四元数的理论被淹没成为数学史上一件有趣的古董，但他在数学被淹没成为数学史上一件有趣的古董，但他在数学史上的重要性在于：史上的重要性在于：27Hamilton1843Hamilton1843的创造，把代数的创造，把代数学从受束缚于实数算术的传学从受束缚于实数算术的传统中解放出来，并且因而打统中解放出来，并且因而打开了现代抽象代数的闸们。开了现代抽象代数的闸们。HamiltonHamilton在其他数学领域也有在其他数学领域也有许多贡献。如矩阵论中

21、的许多贡献。如矩阵论中的HamiltonCayleyHamiltonCayley定理、方定理、方程和多项式；图论中的程和多项式；图论中的HamiltonHamilton博弈问题等。博弈问题等。一生共发表了一生共发表了140140余篇论文。余篇论文。28Hamilton一生受到的荣益也是很高的，他是新成立一生受到的荣益也是很高的，他是新成立的美国国家科学院选作的第一个外籍院士，的美国国家科学院选作的第一个外籍院士，1835年年被封为爵士，被封为爵士，1845年他还得到了一个罕有的荣誉年他还得到了一个罕有的荣誉那年，他参加了不列颠协会的第二次剑桥会议，被那年，他参加了不列颠协会的第二次剑桥会议，被

22、安排在三一学院的那间神圣的房子里住了一个星期安排在三一学院的那间神圣的房子里住了一个星期Newton就是在那间房子里撰写其就是在那间房子里撰写其原理原理的，的，1943年爱尔兰政府为纪念四元数发表一百周年，特别发年爱尔兰政府为纪念四元数发表一百周年，特别发行了以他的头像为图案的邮票，并在都柏林的行了以他的头像为图案的邮票，并在都柏林的Broughm桥上立了一个石碑，上面写道桥上立了一个石碑，上面写道:29这里在这里在1843年年10月月16日，当日，当William RowanHamilton爵士走爵士走过时，天才的闪过时，天才的闪光发现了四元数的乘法基本光发现了四元数的乘法基本公式：公式：i

23、2=j2=k2=ijk=-1，他把，他把这结果刻在这桥的石柱上这结果刻在这桥的石柱上.向哈密尔顿学习向哈密尔顿学习30三、小结与思考三、小结与思考 本课学习了复数的有关概念、性质及其运本课学习了复数的有关概念、性质及其运算算. 重点掌握复数的运算重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点它是本节课的重点.31例例8 解解.)2(;125)1( iii 化简化简 ,125)1(iyxi ,2)(12522xyiyxi 122, 522xyyx, 2, 3 yx ).23(125ii 32,)2(yixi ,2121 ii,2121 ii. 2 ii 12, 022xyyx,21 yx33思考题思考题复数为什么不能比较大小？复数为什么不能比较大小？34思考题答案思考题答案 0, 和和观察复数观察复数 i , 0 i由复数的定义可知由复数的定义可知 , 0 )1( i若若 ,0 iii 则则 ; , 01 矛盾矛盾即即 , 0 )2( i若若 ,0 iii 则则 . , 01 矛盾矛盾同样有同样有 由此可见由此可见, 在复数中在复数中无法定义大小关系无法定义大小关系.放映结束，按放映结束，