Chapter1-3(电磁场边值关系-电磁场的能量和能流)

1、1 第三节第三节 电磁场边值关系电磁场边值关系 麦克斯韦方程组可以应用于任何麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内部。在两介质分界面上，连续介质内部。在两介质分界面上，由于一般出现面电荷电流分布，使物由于一般出现面电荷电流分布，使物理量发生跃变，理量发生跃变，微分形式的麦氏方程微分形式的麦氏方程组组不再适用。不再适用。2 在场作用下，介质界面上一在场作用下，介质界面上一般出现面束缚电荷和电流分布，般出现面束缚电荷和电流分布，这些电荷电流的存在又使得界面这些电荷电流的存在又使得界面两侧场量发生跃变。两侧场量发生跃变。 因此，我们要用另一种形式因此，我们要用另一种形式描述界面两侧的场强以及界面上描

2、述界面两侧的场强以及界面上电荷电流的关系。电荷电流的关系。3图图(b): 束缚电荷激发束缚电荷激发的场子与外场的场子与外场E0叠加叠加后得到总电场。两边后得到总电场。两边的电场的电场E1和和E2在界面在界面上发生跃变。上发生跃变。图图(a): 介质与真空分界的情形，在介质与真空分界的情形，在外场外场E0的作用下，介质界面上产的作用下，介质界面上产生面束缚电荷，这些束缚电荷本生面束缚电荷，这些束缚电荷本身激发的电场在介质内与身激发的电场在介质内与E0反向，反向，在真空中与在真空中与E0同向。同向。4 边值关系就是描述两侧场量与界面上边值关系就是描述两侧场量与界面上电荷电流的关系。由于场量跃变的原

3、因是电荷电流的关系。由于场量跃变的原因是面电荷电流激发附加的电磁场，而面电荷电流激发附加的电磁场，而积分形积分形式的麦氏方程式的麦氏方程可以应用于任意不连续分布可以应用于任意不连续分布的电荷电流所激发的场，因此研究边值关的电荷电流所激发的场，因此研究边值关系的基础是积分形式的麦氏方程组。系的基础是积分形式的麦氏方程组。5一、法向分量的跃变一、法向分量的跃变麦氏方程组的积分形式为麦氏方程组的积分形式为 SSfSLfSLSdBQSdDSdDdtdIl dHSdBdtdl dE. 0,If 为通过曲面为通过曲面S 的总自由电的总自由电流，流，Qf为闭合曲面内的总自为闭合曲面内的总自由电荷。把这组方程

4、应用到由电荷。把这组方程应用到界面上可以得到两侧场量的界面上可以得到两侧场量的关系。关系。6PfQQSdE 0 把总电场的麦氏方程应用到两介质边界上的一个扁平状柱体。把总电场的麦氏方程应用到两介质边界上的一个扁平状柱体。上式左边的面积分遍及柱体的上下底和侧面，上式左边的面积分遍及柱体的上下底和侧面，Qf和和Qp分别为分别为柱体内的总自由电荷和总束缚电荷，它们等于相应的电荷面柱体内的总自由电荷和总束缚电荷，它们等于相应的电荷面密度密度 f 和和 p乘以底面积乘以底面积 S。当柱体的厚度趋于零时，对侧面。当柱体的厚度趋于零时，对侧面的积分趋于零，对上下底面积分得的积分趋于零，对上下底面积分得(E2

5、n E1n) 。 PfnnEE 1207 SdPPdSP 12 通过薄层右侧面进入介质通过薄层右侧面进入介质2的正电荷为的正电荷为P2 dS ，由介质，由介质1通过薄层通过薄层左侧进入薄层的正电荷为左侧进入薄层的正电荷为P2 dS ，因此，薄层内出现的净余电荷，因此，薄层内出现的净余电荷为为 (P2 P1) dS ，以，以 P表示束缚电荷面密度，有表示束缚电荷面密度，有8由此由此 12PPnP n为分界面上由介质为分界面上由介质1指向介质指向介质2的法线的法线两式相加两式相加极化矢量的跃极化矢量的跃变与束缚电荷变与束缚电荷面密度相关，面密度相关，Dn的跃变与自的跃变与自由电荷面密度由电荷面密度

6、相关，相关，En的跃的跃变与总电荷面变与总电荷面密度相关。密度相关。PnnPP 12fnnDD 12nnnnnnPEDPED22021101, PfnnEE 120利用利用实际上主要应用关于实际上主要应用关于Dn的边值关系式的边值关系式9Dn的跃变式可以较简的跃变式可以较简单的由麦氏方程组的单的由麦氏方程组的积分形式直接得出积分形式直接得出 SSDDfnn 12 SfQSdD由于侧面的积分趋于零，得由于侧面的积分趋于零，得在扁平状区域上应用在扁平状区域上应用10对于磁场对于磁场B，在边界上，在边界上的扁平状区域上应用的扁平状区域上应用积分形式的麦氏方程积分形式的麦氏方程nnBB21 SSdB.

7、 011二、切向分量的跃变二、切向分量的跃变 面电荷分布使界面两侧电场面电荷分布使界面两侧电场法向分量发生跃变，我们可以证法向分量发生跃变，我们可以证明面电流分布使界面两侧磁场切明面电流分布使界面两侧磁场切向分量生跃变。我们先说明表面向分量生跃变。我们先说明表面电流分布的概念。电流分布的概念。1 面电流分布面电流分布面电流实际上是在靠近面电流实际上是在靠近表面的相当多分子层内表面的相当多分子层内电流的平均宏观效应电流的平均宏观效应12lI 定义电流线密度定义电流线密度 ，其大小等，其大小等于垂直通过单位横截线的电流。于垂直通过单位横截线的电流。如图界面的一部分，其上有面如图界面的一部分，其上有

8、面电流，其线密度为电流，其线密度为 ， l为横为横截线，垂直流过截线，垂直流过 l段的电流为段的电流为13由于存在面电流，在界面两由于存在面电流，在界面两侧的磁场强度发生跃变。如侧的磁场强度发生跃变。如图，在界面两旁取一狭长形图，在界面两旁取一狭长形回路，回路的一长边在介质回路，回路的一长边在介质1中，另一长边在介质中，另一长边在介质2中。长中。长边边 l与面电流与面电流 正交。正交。2 切向分量的跃变切向分量的跃变 SLfSdDdtdIl dH在狭长形回路上应用麦氏方程在狭长形回路上应用麦氏方程14取回路上下边深入到足够多取回路上下边深入到足够多分子层内部，使面电流完全分子层内部，使面电流完

9、全通过回路内部。从宏观来说通过回路内部。从宏观来说回路短边的长度仍可看作趋回路短边的长度仍可看作趋于零于零,因而有因而有 lHHl dHLtt 12其中其中t表示沿表示沿 l的切向分量。通过的切向分量。通过回路内的总自由电流为回路内的总自由电流为lIff 15由于回路所围由于回路所围面积趋于零，面积趋于零，而而 D/ t为有限为有限量，因而量，因而代入代入0 SdDdtdfttHH 12 SLfSdDdtdIl dH得得16上式可以用矢量形式表示。设上式可以用矢量形式表示。设 l为界面上任一线元，为界面上任一线元，t为为 l方向上的单位矢量。方向上的单位矢量。 流过了流过了 l的自由电流为的自

10、由电流为lnlnIfff 对于狭长形回路用对于狭长形回路用 lnIlHHl dHffL 12得得 SLfSdDdtdIl dH17由于由于 l为界面为界面上任一矢量，上任一矢量，因此因此上式再用上式再用n矢矢乘乘, 注意到注意到磁场切向分量磁场切向分量的边值关系的边值关系 nHHf /12 12/12HHnHHn 0 fn fHHn 12/表示投射到界表示投射到界面上的矢量面上的矢量18此式表示界面两侧此式表示界面两侧E的切向分量连续。的切向分量连续。 012 EEn可得电场切可得电场切向分量的边向分量的边值关系：值关系： SLSdBdtdl dE,同理，应用同理，应用19以后在公式中出现的以

11、后在公式中出现的 和和 , 除特别声除特别声明者外，都代表自由电荷面密度和自明者外，都代表自由电荷面密度和自由电荷线密度，不再写出角标由电荷线密度，不再写出角标f。总。总括我们得到的边值关系为括我们得到的边值关系为这组方程和麦氏方程积分式一一对应。边值关这组方程和麦氏方程积分式一一对应。边值关系表示界面两侧的场以及界面上电荷电流的制系表示界面两侧的场以及界面上电荷电流的制约关系，它们实质上是边界上的场方程。约关系，它们实质上是边界上的场方程。 . 0, 012221212 BBnDDnHHnEEn SSfSLfSLSdBQSdDSdDdtdIl dHSdBdtdl dE. 0,20例例 无穷大

12、平行板电容器内有两层介质无穷大平行板电容器内有两层介质(如图如图)，极，极板上面电荷密度板上面电荷密度f，求电场和束缚电荷分布。，求电场和束缚电荷分布。由对称性可知电场沿垂直于平由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把边值关系应用于板的方向，把边值关系应用于下板与介质下板与介质1界面上，因导体内界面上，因导体内场强为零，故得场强为零，故得同样，把边值关系应同样，把边值关系应用到上板与介质用到上板与介质2界面界面上得上得fD 1fD 2解解21由这两式得由这两式得2211, ffEE 束缚电荷分布于介质表面上。在束缚电荷分布于介质表面上。在两介质界面处，两介质界面处， f=0由由得得 PfnnEE

13、 120 fPEE 102012022在介质在介质1与下板分界处与下板分界处在介质在介质2与上与上板分界处板分界处容易验证容易验证 10101 ffPE 20201 ffPE0 PPP 由由得得 PfnnEE 120介质整体是电中性的介质整体是电中性的23第四节第四节 电磁场的能量和能流电磁场的能量和能流1. 场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式 能量是按一定的形式分布于场内的，而能量是按一定的形式分布于场内的，而由于场在运动，场能量不是固定地分布于由于场在运动，场能量不是固定地分布于空间中，而是随着场空间中，而是随着场 在空间中传播在空间中传播 因此，因此

14、，我们需要引入两个物理量来描述。我们需要引入两个物理量来描述。24 场的能量密度场的能量密度w(x,t), 它是场内单位它是场内单位体积的能量。体积的能量。 场的能流密度场的能流密度S, S在数值上等于单在数值上等于单位时间垂直流过单位横截面的能位时间垂直流过单位横截面的能量其方向代表能量传输方向量其方向代表能量传输方向.25能量守恒的积分形式能量守恒的积分形式: VtVvfSddddd 通过界面通过界面 流流入入V内的能量内的能量场对电荷系统场对电荷系统所作的功率所作的功率V内场的能内场的能量增加率量增加率 场和电荷之间场和电荷之间,场的一区域与另一场的一区域与另一区域之间，都有可能发生能量

15、转移。区域之间，都有可能发生能量转移。在转移过程中总能量是守恒的。在转移过程中总能量是守恒的。26相应的微分形式相应的微分形式:vftwS 当当V 时时 VwtVvfdddd结论结论: 场对电荷所做的总功率等于场的总能场对电荷所做的总功率等于场的总能量减小率量减小率, 因此场和电荷的总能量守恒因此场和电荷的总能量守恒.272. 电磁场能量密度和能流密度表达式电磁场能量密度和能流密度表达式EJBvvEvvBvEvf )()( 由洛伦兹力公式得由洛伦兹力公式得:tDHJ tBHtDEHEtDEEHHEtDEHEEJ )( )()( )(28得得HES tBHtDEtw vftwS tBHtDEHE

16、EJvf )(比较比较29分两种情况讨论分两种情况讨论(1) 真空中电荷分布情况真空中电荷分布情况 BH01 ED0 因此因此BES 01 )(2121200BEw 这时相互作用的物质是电磁场和自由电荷这时相互作用的物质是电磁场和自由电荷, 能量在两者之间传播能量在两者之间传播. 在真空中在真空中30场对自由电荷所作的功率密度为场对自由电荷所作的功率密度为J E，它或者变为电，它或者变为电荷的荷的 动能，或者变为焦耳热。场对介质中束缚电荷动能，或者变为焦耳热。场对介质中束缚电荷所作的功转化为极化能和磁化能而储备在介质中，所作的功转化为极化能和磁化能而储备在介质中，也可能有一部分转化为分子热运动

17、（介质损耗）。也可能有一部分转化为分子热运动（介质损耗）。当外场变化时，极化能和磁化能亦发生变化，如果当外场变化时，极化能和磁化能亦发生变化，如果不计及介质损耗，则这种变化是可逆的。不计及介质损耗，则这种变化是可逆的。 (2) 介质内的电磁能量和能流介质内的电磁能量和能流 这时相互作用的系统包括三个方面：这时相互作用的系统包括三个方面： 电磁场、自由电荷、介质。电磁场、自由电荷、介质。31一般介质一般介质中场能量中场能量的改变量的改变量BHDEw 线性介质线性介质ED HB 积分得积分得:)(21BHDEw 介质的极化和磁化状态由介质电磁性质方程确定，介质的极化和磁化状态由介质电磁性质方程确定

18、，一定的宏观电磁场对应于一定的介质极化和磁化一定的宏观电磁场对应于一定的介质极化和磁化状态，因此我们把极化能和磁化能归入场能中一状态，因此我们把极化能和磁化能归入场能中一起考虑，成为介质中的总电磁能量。起考虑，成为介质中的总电磁能量。32 3. 电磁能量的传输电磁能量的传输在恒定电流或低频交流电情况下，电磁能量在恒定电流或低频交流电情况下，电磁能量在场中传播。在电路中，物理系统的能量包在场中传播。在电路中，物理系统的能量包括导线内部电子运动的动能和导线周围空间括导线内部电子运动的动能和导线周围空间中的电磁场能量。中的电磁场能量。导线内的电流密度为导线内的电流密度为:vneveJ 33导体内自由

19、电子的平均漂移速度是很小的，相应导体内自由电子的平均漂移速度是很小的，相应的动能也很小，而在恒定的情况下，整个回路上，的动能也很小，而在恒定的情况下，整个回路上，电流都有相同的值，因此，电子运动的能量并不电流都有相同的值，因此，电子运动的能量并不是供给负载上消耗的能量。在传输过程中，一部是供给负载上消耗的能量。在传输过程中，一部分能量进入导线内部变为焦耳热损耗；在负载电分能量进入导线内部变为焦耳热损耗；在负载电阻上阻上, ,电磁能量从场中流人电阻内，供给负载所电磁能量从场中流人电阻内，供给负载所消耗的能量。消耗的能量。344.例例 同轴传输线内导线半径为同轴传输线内导线半径为a，外导线半径为，外导线半径为b，两导线间为均匀绝缘介质两导线间为均匀绝缘介质(如图如图)。导线载有电流。导线载有电流I，两，两导线间的电压为导线间的电压为U。(1) 忽略导线的电阻，计算介质中的能流忽略导线的电阻，计算介质中的能流S和传输功率和传输功率;(2)计及内导线的有限电导率计及内导线的有限电导率,计算通过内导线表面进入导线计算通过内导线表面进入导线内的能流内的能流,证明它对于导线的损耗功率证明它对于导线的损耗功率.35(1) 以距对称轴为以距对称轴为r