逻辑代数基础-数字部分

1、电子技术数字部分信电学院电工电子教学部二零零七年八月第一章 逻辑代数基础另一状态另一状态一种状态一种状态一、逻辑代数（布尔代数、开关代数）一、逻辑代数（布尔代数、开关代数）逻辑：逻辑： 事物因果关系的规律事物因果关系的规律逻辑函数逻辑函数: : 逻辑自变量和逻辑结果的关系逻辑自变量和逻辑结果的关系),(CBAfZ 逻辑变量取值：逻辑变量取值：0、1 分别代表分别代表两种对立的状态两种对立的状态高电平高电平低电平低电平真真假假是是非非有有无无1001二、二进制数表示法二、二进制数表示法1. 十进制十进制（Decimal）- 逢十进一逢十进一数码数码：0 9位权：位权：01234105104103

2、102101 2. 二进制（二进制（Binary） - 逢二进一逢二进一数码：数码：0 ，1位权：位权：2 ) 1011 (012321212021 10) 12345 (i10i221012105107103104101 10) 75 143. (2 ) 11 101. (210122121212021 3. 八进制八进制（Octal）- 逢八进一逢八进一数码数码：0 7位权：位权：8) 41 .37 (210181848783 4. 十六进制十六进制 (Hexadecimal) -逢十六进一逢十六进一数码：数码：0 9 , A(10) , B(11) , C(12) , D(13) , E

3、(14) , F(15)位权：位权：i 8i 1616) 7F 2A. (210116151671610162 任意任意(N)进制数展开式的普遍形式：进制数展开式的普遍形式：iiNkD ikiN 第第 i 位的系数位的系数 第第 i 位的权位的权5. 几种常用进制数之间的转换几种常用进制数之间的转换(1) 二二-十转换：十转换： 将二进制数按位权展开后相加将二进制数按位权展开后相加2) 11 .101 (210122121212021 10)75 . 5(25 . 05 . 014 (2) 十十- -二转换二转换：整数的转换整数的转换-连除法连除法210) () 26 ( 26213余数余数2

4、06213202 110111010除基数除基数得余数得余数作系数作系数从低位从低位到高位到高位210) () 1258 . 0 ( 1101 . 00. 8125 21. 6250 21. 2500 20. 5000取整取整1100. 62500. 2500乘基数乘基数取整数取整数作系数作系数从高位从高位到低位到低位小数的转换小数的转换-连乘法连乘法快速转换法：拆分法快速转换法：拆分法( 26 )10= 16 + 8 + 2 = 24 +23 + 21= ( 1 1 0 1 0 )2 若小数在连乘多次后若小数在连乘多次后不为不为 0，一般按照精确度，一般按照精确度要求要求(如小数点后保留如小

5、数点后保留 n 位位)得到得到 n 个对应位的系个对应位的系数即可。数即可。 21. 0000116 8 4 2 1(3) 二二-八转换八转换:82) () 111 101 10 ( 25757(4) 八八-二转换二转换:每位每位 8 进制数转换为相应进制数转换为相应 3 位二进制数位二进制数28) () 47 .31 ( 011 001 . 100 111每每 3 位二进制数相当一位位二进制数相当一位 8 进制数进制数28) () 64 375. ( 011 111 101. 110 100082) () 1 1 0 0 0 1. 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 ( 002341.

6、062（5）二）二-十六转换：十六转换：每每 4 位二进制数相当一位位二进制数相当一位 16 进制数进制数16210) () () 26 ( 1010 11AA1（6）十六）十六-二转换：二转换：每位每位 16 进制数换为相应的进制数换为相应的 4 位二进制数位二进制数216) () 6 C . AF 8 ( 0 0 0 1216) () F 2 . 8 D E ( 0 1 1 11 1 1 1. 0 1 0 10 0 1 10 1 1 0 1 0 1 1. 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 ) () 1 0 0 . 0 1 1 0 1 1 0 1 1 (162 2 . 6 B

7、10000000编码：编码： 用二进制数表示文字、符号等信息的过程。用二进制数表示文字、符号等信息的过程。二进制代码：二进制代码：编码后的二进制数。编码后的二进制数。用二进制代码表示十个数字符号用二进制代码表示十个数字符号 0 9，又称为，又称为 BCD 码（码（Binary Coded Decimal ）几种常见的几种常见的BCD代码：代码：8421码码余余 3 码码2421码码5211码码余余 3 循环码循环码其他代码：其他代码：ISO 码码，ASCII（美国信息交换标准代码美国信息交换标准代码）二二- -十进制代码：十进制代码：0十进十进制数制数1234567898421 码码余余 3

8、码码2421(A)码码 5211 码码余余3循环码循环码0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 11 0 0 01 0 0 10 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 01 0 0 01 0 0 11 0 1 01 0 1 11 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 01 0 1 11 1 0 01 1 0 11 1 1 01 1 1 10 1 1 10 0 0 00 0 0 10 1 0 00 1 0 00 1 0 10 1 0 10 1 1 11 0 0 01 0 0

9、11 1 0 01 1 0 11 1 0 11 1 1 11 1 1 10 0 1 00 1 1 00 1 1 11 1 0 01 1 1 01 0 1 0权权8 4 2 12 4 2 15 2 1 1几种常见的几种常见的 BCD 代码代码1. 1. 1 基本和常用逻辑运算基本和常用逻辑运算一、三种基本逻辑运算一、三种基本逻辑运算1. 与逻辑：与逻辑：当决定一事件的所有条件都具备时，事当决定一事件的所有条件都具备时，事件才发生的逻辑关系。件才发生的逻辑关系。功能表功能表1. 1 基本概念、公式和定理基本概念、公式和定理灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合与逻辑关系与逻辑关系

10、开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源ABY真值表真值表 （Truth table）逻辑函数式逻辑函数式 与门与门（AND gate)逻逻辑辑符符号号与逻辑的表示方法：与逻辑的表示方法：ABY&000100011011ABBAY 功能表功能表灭灭灭灭灭灭亮亮断断 断断断断 合合合合 断断合合 合合ABYABY2. 或逻辑：或逻辑： 决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个决定一事件结果的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。以上具备时，事件就会发生的逻辑关系。BAY 或门或门（OR gate) )或逻辑关系或逻辑关系开关开关A开关开关B灯灯Y电源电源真值表真值表逻辑函数式

11、逻辑函数式逻逻辑辑符符号号011100011011ABYABY13. 非逻辑：非逻辑： 只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。事件一定发生的逻辑关系。真值表真值表逻辑函数式逻辑函数式A Y 逻逻辑辑符符号号非门非门（NOT gate)非逻辑关系非逻辑关系1001AY1开关开关A灯灯Y电源电源RAY二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算二、逻辑变量与逻辑函数及常用复合逻辑运算1. 逻辑变量与逻辑函数逻辑变量与逻辑函数在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称在逻辑代数中，用英文字母表示的变量称为逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值为

12、逻辑变量。在二值逻辑中，变量的取值不是不是 1 就是就是 0 。逻辑函数：逻辑函数：如果输入逻辑变量如果输入逻辑变量 A、B、C 的取值的取值确定之后，输出逻辑变量确定之后，输出逻辑变量 Y 的值也被的值也被唯一确定，则称唯一确定，则称 Y 是是 A、B、C 的的逻辑函数。并记作逻辑函数。并记作 CBAFY, 原变量和反变量：原变量和反变量：字母上面无反号的称为字母上面无反号的称为原变量原变量，有反号的叫做有反号的叫做反变量反变量。逻辑变量：逻辑变量：(1) 与非逻辑与非逻辑 (NAND)(2) 或非逻辑或非逻辑 (NOR)(3) 与或非逻辑与或非逻辑 (AND OR INVERT)(真值表略

13、真值表略)1110ABY 10 00 11 01 1CDABY 3AB&1YBAY 210002. 几种常用复合逻辑运算几种常用复合逻辑运算ABY1Y2Y1、Y2 的真值表的真值表AB2Y1AB&CD3Y1(4) 异或逻辑异或逻辑(ExclusiveOR)(5) 同或逻辑同或逻辑(ExclusiveNOR)( (异或非异或非) )AB=14YBABABAY 401100 00 11 01 1 AB=15YBAY 5= ABABY4ABBA 10010 00 11 01 1ABY53. 逻辑符号对照逻辑符号对照曾用符号曾用符号美国符号美国符号ABYABYABYAYAY国标符号国标符号AB&BAY

14、 A1AY ABYABBAY 1国标符号国标符号曾用符号曾用符号美国符号美国符号AB&BAY ABYABYABYAB=1BAY ABY ABYABYABBAY 1或：或：0 + 0 = 01 + 0 = 11 + 1 = 1 与：与：0 0 = 00 1 = 01 1 = 1 非：非： 1 0 0 1 二、变量和常量的关系二、变量和常量的关系( (变量：变量：A、B、C) )或：或：A + 0 = AA + 1 = 1与与: :A 0 = 0A 1 = A 非：非： 0 AA AA1 1. 1. 2 公式和定理公式和定理一、一、 常量之间的关系常量之间的关系( (常量：常量：0 和和 1 )

15、)三、与普通代数相似的定理三、与普通代数相似的定理交换律交换律ABBA ABBA 结合律结合律)()(CBACBA )()(CBACBA 分配律分配律ACABCBA )()( )(CABABCA 例例 1. 1. 1 证明公式证明公式)(CABABCA 解解 方法一：公式法方法一：公式法CBBACAAACABA )(右右式式BCABACA BCBCA )1(左式左式 BCA 证明公式证明公式)(CABABCA 方法二：真值表法方法二：真值表法 ( (将变量的各种取值代入等式将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中两边，进行计算并填入表中) ) A B CCB BCA BA CA )(C

16、ABA 0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100 0 1 0 0 0 1 000111110001111100 1 1 1 1 1 1 01 0 1 1 1 1 1 相等相等四、逻辑代数的一些特殊定理四、逻辑代数的一些特殊定理BABA BABA 同一律同一律A + A = AA A = A还原律还原律AA 例例 1. 1. 2 证明：证明：德德 摩根定理摩根定理 A B 0 0 0 1 1 0 1 1BA BA 00 0 1 1110ABBA 11 0 0 10101110BA BA BA 011110001000相等相等相等相等德德 摩根定理摩根定

17、理 将将Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0”换成换成“1”,“1”换成换成“0” 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量五、关于等式的三个规则五、关于等式的三个规则1. 代入规则：代入规则：等式中某一变量都代之以一个逻等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。辑函数，则等式仍然成立。例如，已知例如，已知BABA ( (用函数用函数 A + C 代替代替 A) )则则BCABCABCA )(2. 反演规则：反演规则：不属于单个变量上的反号应保留不变不属于单个变量上的反号应保留不变运算顺序：运算顺序：括号括号 乘乘 加加注意注意:Y

18、例如：例如：已知已知 )( 1CDCBAY ) ( ) (1DCCBAY CDCBAY 2 CDCBAY )(2反演规则的应用：反演规则的应用：求逻辑函数的反函数求逻辑函数的反函数则则 将将 Y 式中式中“.”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0”换成换成“1”,“1”换成换成“0” 原原变量换成变量换成反反变量，变量，反反变量换成变量换成原原变量变量已知已知则则运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或不属于单个变量上不属于单个变量上的反号应保留不变的反号应保留不变Y3. 对偶规则：对偶规则：如果两个表达式相等，则它们的对如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。偶式也一定相等。将将

19、 Y 中中“. ”换成换成“+”,“+”换成换成“.” “0” 换成换成“1”,“1”换成换成“0” )()(1DC BCAY )( 1CDCBAY CDCBA Y 2 CD CBAY )(2例如例如对偶规则的应用对偶规则的应用：证明等式成立：证明等式成立0 0 = 01 + 1 = 1 0 AA AA1 ) ( 对对偶偶式式Y 运算顺序：运算顺序：括号括号 与与 或或六、六、若干常用公式若干常用公式BAAB (1)ABA (2)BAA (3)CAABBCCAAB (4)ABB ABABA (5)CAAB (6)AAA ) ()(BBA )1(BA )(BAAA )(CABA A A BA C

20、 ABA 推广推广 BCAACAAB)( 左左BCAABCCAAB CAAB 公式公式 (4) 证明：证明：CAABBCDCAAB 推论推论ABB ABABA BABA 左左)()(BA BA BBABB AAA ABB A 公式公式 (5) 证明：证明：即即BA = AB同理可证同理可证CAABBCCAAB AABA BA AB七、关于异或运算的一些公式七、关于异或运算的一些公式异或异或同或同或BABABA B AAB AB(1) 交换律交换律ABBA (2) 结合律结合律)()(C BACBA (3) 分配律分配律 )(ACAB C BA (4) 常量和变量的异或运算常量和变量的异或运算A

21、A 1AA 00 AA1 AA(5) 因果互换律因果互换律如果如果CBA BCA 则有则有ACB BA = ABBA AB一、标准与或表达式一、标准与或表达式) ( A ,B ,CFY CBABCACABABC CAAB 1. 2. 1 逻辑函数的标准与或式和最简式逻辑函数的标准与或式和最简式)()(BBCACCAB 标准与标准与或式或式标准与或式就是最小项之和的形式标准与或式就是最小项之和的形式最小项最小项1. 最小项的概念：最小项的概念： 包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。反变量的形式出现一次。) ( A ,B FY

22、( ( 2 变量共有变量共有 4 个最小项个最小项) )BABABAAB) (A ,B ,C ,DFY ( ( 4 变量共有变量共有 16 个最小项个最小项) )( ( n 变量共有变量共有 2n 个最小项个最小项) )DCBADCBADABCABCDDCBA) ( A ,B ,CFY ( ( 3 变量共有变量共有 8 个最小项个最小项) )CBACBACBABCACBACBACABABC1 CBA1 CBA对应规律：对应规律：1 原变量原变量 0 反变量反变量2. 最小项的性质：最小项的性质：00000001000000100000010000001000000100000010000001

23、000000100000000 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1A B CCBACBACBABCACBACBACABABC(1) 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ；A B C 0 0 1A B C 1 0 1(2) 任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为 0 ；(3) 全体最小项之和为全体最小项之和为 1 。3. 最小项的编号：最小项的编号： 把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用相应的十进制数，就是该最小项

24、的编号，用 mi 表示。表示。对应规律：对应规律：原变量原变量 1 反变量反变量 0CBACBACBABCACBACBACABABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 10 1 234567m0m1m2m3m4m5m6m74. 最小项是组成逻辑函数的基本单元最小项是组成逻辑函数的基本单元CAABA ,B ,CFY ) ( BCA CBAABCCAB 3176mmmm m7 , 6 , 3 , 1 任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。都可以表示成为最小项之和的形式。)()

25、(BBCACCABY 例例 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式： 解解 或或m6m7m1m3 例例 写出下列函数的标准与或式：写出下列函数的标准与或式：CBADABY )( )( )(CBDABA )( )(CBD BA DCBCABA )()()(AADCBBBCACCBA DCBADCBACBACBABCA DCBADCBADCBADCBA DCBADCBADBCABCDA m7m6m5m4m1m0m88014567mmmmmmm ) 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 1 , 0 (mm0与前面与前面m0相重相重最简最简或与式或与式最简最简与或非式与或非式二、二、逻辑

26、函数的最简表达式及相互转换逻辑函数的最简表达式及相互转换BCCAABY 最简最简与或式与或式CAAB 最简最简与非与非-与非式与非式最简最简或与非式或与非式CBCABA )()(CA BA CA BA 最简最简或非或非-或非式或非式CAAB CA BA 最简最简或非或非-或式或式)(CABA 核心核心1. 2. 2 逻辑函数的公式化简法逻辑函数的公式化简法一、一、并项法并项法: :ABAAB BACABABCY BAAB B CBACABCBAABCY )()(CBCBA C BBCA A )(CBACBA 例例 1. 2. 8 例例 （与或式（与或式最简与或式）最简与或式）公式公式定理定理二

27、、二、吸收法：吸收法：AABA EBDAABY EBDABA BA BCDC BA BCAAY )( )()()(DC BA BCABCA BCA 例例 1. 2. 10 例例 例例 1. 2. 11 CDBCDAABY CDBAAB )( CDABAB AB BA 三、三、消去法：消去法：BABAA CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB ABCCBABABAY )()(BCBA CBB A )()(CBA CB A ACCABABA CBABA 例例 例例 1. 2. 13 四、四、配项消项法：配项消项法：CAABBCCAAB AB ABCACB 或或BCCACACB BCCA

28、BA BCCABACBACBAY CBACBA BCCABA BA BCCACACBY 或或BCCABACBACBA 例例 例例 1. 2. 15 冗余项冗余项冗余项冗余项综合练习：综合练习：EACDECBEDCBBEAACEY DCBACDCBBAACE ) (DCBEADEBECE DCBEADCBE )(DCBEADCBE DCBEAE DCBE DCBADBCE ) (1. 2. 3 逻辑函数的图形化简法逻辑函数的图形化简法一、逻辑变量的卡诺图一、逻辑变量的卡诺图(Karnaugh maps)卡诺图：卡诺图：1. 二变量二变量 的卡诺图的卡诺图最小项方格图最小项方格图( (按循环码排列

29、按循环码排列) )( (四个最小项四个最小项) )ABAABBBABABAAB0mAB01011m2m3mAB01012. 变量卡诺图的画法变量卡诺图的画法三变量三变量 的卡诺图：的卡诺图：八个最小项八个最小项ABC010001 10 1111 10卡诺图的实质：卡诺图的实质：逻辑相邻逻辑相邻几何相邻几何相邻逻辑不相邻逻辑不相邻逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻逻辑相邻紧挨着紧挨着行或列的两头行或列的两头对折起来位置重合对折起来位置重合逻辑相邻：逻辑相邻：两个最小项只有一个变量不同两个最小项只有一个变量不同逻辑相邻的两个最小项可以逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。合并成一项，并消去一个

30、因子。如：如：CABCACBA m0m1m2m3m4m5m6m7五变量五变量 的卡诺图：的卡诺图：四变量四变量 的卡诺图：的卡诺图：十六个最小项十六个最小项ABCD0001111000 01 11 10 当变量个数超过当变量个数超过六个以上时，无法使六个以上时，无法使用图形法进行化简。用图形法进行化简。ABCDE00011110000 001 011 010 110 111 101 100以此轴为对称轴（对折后位置重合）以此轴为对称轴（对折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m

31、17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21几几何何相相邻邻几何相邻几何相邻几何相邻几何相邻三十二个最小项三十二个最小项3. 卡诺图的特点：卡诺图的特点：用几何相邻表示逻辑相邻用几何相邻表示逻辑相邻(1) 几何相邻：几何相邻：相接相接 紧挨着紧挨着相对相对 行或列的两头行或列的两头相重相重 对折起来位置重合对折起来位置重合(2) 逻辑相邻：逻辑相邻：CABCBA CBCBAA )(例如例如两个最小项只有一个变量不同两个最小项只有一个变量不同化简方法：化简方法：卡诺图的缺点：卡诺图的缺点：函数的变量个数不宜超过函数的变量个数不宜超过 6

32、 个。个。逻辑相邻的两个最小项可以合并成一逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。项，并消去一个因子。4. 卡诺图中最小项合并规律：卡诺图中最小项合并规律：(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子两个相邻最小项合并可以消去一个因子ABC010001 11 100432CBCBACBA BACBACBA ABCD0001111000 01 11 101946DCBDCBADCBA DBADCBADCBA (2) 四个相邻最小项合并可以消去两个因子四个相邻最小项合并可以消去两个因子ABCD0001111000 01 11 1004128DC 321011CB ABCD00011110

33、00 01 11 105713 15BD02810DB 81240mmmm DCBADCABDCBADCBA DC 111023mmmm DCBADCBADCBADCBA CB 151375mmmm DCBADCBADCBADCBA BD 10820mmmm DCBADCBADCBADCBA DB (3) 八个相邻最小项合并可以消去三个因子八个相邻最小项合并可以消去三个因子ABCD0001111000 01 11 1004128C 321011B ABCD0001111000 01 11 105713 15B02810D151394612142n 个相邻最小项合并可以消去个相邻最小项合并可以消

34、去 n 个因子个因子总结：总结：二、逻辑函数的卡诺图表示法二、逻辑函数的卡诺图表示法1. 根据变量个数画出相应的卡诺图；根据变量个数画出相应的卡诺图；2. 将函数化为最小项之和的形式；将函数化为最小项之和的形式； 3. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入 1 ， 其余位置填其余位置填 0 或不填。或不填。 例例 ) (C B , A ,FY ACBCAB CBABCACABABC ABC010001 11 1011110000三、三、 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数化简步骤化简步骤: :(1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图(2) 合并最小项：

35、合并最小项： 画包围圈画包围圈(3) 写出最简与或表达式写出最简与或表达式 例例 1. 2. 20 CBADCACBCDBY ABCD0001111000 01 11 1011111111CB DBACBACBADB ACBY 解解 CBADCACBCDBY ABCD0001111000 01 11 1011111111画包围圈的原则：画包围圈的原则： (1) 先圈孤立项，再圈仅有一先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。种合并方式的最小项。 (2) 圈越大越好，但圈的个数圈越大越好，但圈的个数越少越好。越少越好。 (3) 最小项可重复被圈，但每最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小

36、项。个圈中至少有一个新的最小项。 (4) 必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。比较、检查才能写出最简与或式。不正确不正确的画圈的画圈 例例 mD,C,B,AF) 15 , 13 , 21 , 8 , 6 , 5 , 4 , 1 () ( 解解 (1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 1011111111(2) 合并最小项：合并最小项： 画包围圈画包围圈(3) 写出最简与或表达式写出最简与或表达式多余多余的圈的圈DBAABDDCADCAY 注意：注意：先圈孤立项先圈孤立项利用图形法化简

37、函数利用图形法化简函数利用图形法化简函数利用图形法化简函数 例例 mF) 15 , 14 , 11 , 10 , 8 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0 ( 解解 (1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111111111(2) 合并最小项：合并最小项： 画包围圈画包围圈(3) 写出最简与或写出最简与或 表达式表达式D BD C AACB AY 例例 用图形法求反函数的最简与或表达式用图形法求反函数的最简与或表达式ACBCABY 解解 (1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABC010001 11 1011110000(2) 合并函数值为合并函数值

38、为 0 的最小项的最小项(3) 写出写出 Y 的反函数的的反函数的 最简与或表达式最简与或表达式CACBBAY 1. 2. 4 具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简一、一、 约束的概念和约束条件约束的概念和约束条件(1) 约束：约束： 输入变量取值所受的限制输入变量取值所受的限制例如，例如，逻辑变量逻辑变量 A、B、C，分别表示电梯的分别表示电梯的 升、降、停升、降、停 命令命令。A = 1 表示升表示升，B = 1 表示降表示降，C = 1 表示停表示停。ABC 的可能取值的可能取值(2) 约束项：约束项：不会出现的变量取值所对应的最小项。不会出现的变量取值所对应的最小项。不可能

39、取值不可能取值0010101000000111011101111. 约束、约束项、约束条件约束、约束项、约束条件(3) 约束条件：约束条件：ABCCABCBABCACBA 0 ABCCABCBABCAC B A(2) 在逻辑表达式中，用等于在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示。的条件等式表示。000011101110111由约束项相加所构成的值为由约束项相加所构成的值为 0 的的逻辑表达式。逻辑表达式。约束项：约束项：约束条件：约束条件：或或0) 7 , 6 , 5 , 3 , 0 ( d2. 约束条件的表示方法约束条件的表示方法(1) 在真值表和卡诺图上用叉号在真值表和卡诺图上用叉号(

40、 () )表示。表示。例如，上例中例如，上例中 ABC 的不可能取值为的不可能取值为二、二、 具有约束的逻辑函数的化简具有约束的逻辑函数的化简 例例 化简逻辑函数化简逻辑函数 dmDC ,B ,A ,F ) 15 , 14 , 12 , 10 , 9 , 5 , 3 () 8 , 7 , 1 () ( 化简步骤化简步骤: :(1) 画函数的卡诺图，顺序画函数的卡诺图，顺序 为：为：ABCD0001111000 01 11 10先填先填 1 0111000000(2) 合并最小项，画圈时合并最小项，画圈时 既可以当既可以当 1 ，又可以当又可以当 0(3) 写出最简与或表达式写出最简与或表达式D

41、A DAY 解解 0) 15 , 14 , 12 , 10 , 9 , 5 , 3 ( d 例例 化简逻辑函数化简逻辑函数DCBADCBADCAY 约束条件约束条件0 ACAB 解解 (1) 画函数的卡诺图画函数的卡诺图ABCD0001111000 01 11 101111(2) 合并最小项合并最小项(3) 写出最简与或表达式写出最简与或表达式DAD BDCY 合并时，究竟把合并时，究竟把 作为作为 1 还是作为还是作为 0 应以得到应以得到的的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义是约束项无意义( (如图所示如图所示) )。注意：注意：0

42、ACAB 1.3 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 及其相互之间的转换及其相互之间的转换1. 3. 1 几种表示函数的方法几种表示函数的方法一、逻辑表达式一、逻辑表达式CABCABY 优点：优点：书写简洁方便，易用公式和定理进行运书写简洁方便，易用公式和定理进行运算、变换。算、变换。缺点：缺点： 逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取逻辑函数较复杂时，难以直接从变量取值看出函数的值。值看出函数的值。二、真值表二、真值表ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100010111优点：优点：直观明了，便于将实际逻直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表

43、达式。辑问题抽象成数学表达式。缺点：缺点：难以用公式和定理进行运难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。列函数真值表较繁琐。CABCABY 三、卡诺图三、卡诺图ABC010001 11 1011110000优点：优点：便于求出逻辑函数的最简便于求出逻辑函数的最简与或表达式。与或表达式。缺点：缺点：只适于表示和化简变量个数只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。于进行运算和变换。四、逻辑图四、逻辑图CABCABY ABYC&优点：优点：最接近实际电路。最接近实际电路。缺点：缺点：不能进行运算不能进行运

44、算和变换，所表示的和变换，所表示的逻辑关系不直观。逻辑关系不直观。&ABBCAC1五、波形图五、波形图输入变量和对应的输出变量随输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形时间变化的波形ABY ABY优点：优点：形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。的对应关系。缺点：缺点： 难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。数增多时，画图较麻烦。1. 3. 2 几种表示方法之间的转换几种表示方法之间的转换一、真值表一、真值表函数式函数式逻辑图逻辑图 例例 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判设计

45、一个举重裁判电路。在一名主裁判(A) 和两名副裁判和两名副裁判 (B、C) 中，必须有两人以上中，必须有两人以上( (必有主必有主裁判裁判) )认定运动员的动作合格，试认定运动员的动作合格，试举才算成功。举才算成功。(1) 真值表真值表函数式函数式ABCCABCBAY 将真值表中使逻辑函数将真值表中使逻辑函数 Y = 1 的的输入变量取值组合所对应的最小项相输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得加，即得 Y 的逻辑函数式。的逻辑函数式。ABCY0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 100000111函数式函数式ABCCABCBAY 卡诺图化简卡诺图化简

46、ABC010001 11 1011010000ACABY (2) 函数式函数式逻辑图逻辑图ABY&C&1真值表真值表函数式函数式二、逻辑图二、逻辑图ABBABAY ABBABA )()(BABBAA BABA BA 0110ABY00011011ABABA ABB BAY&第一章第一章 小小 结结1. 数制：数制：计数方法或计数体制（由基数和位权组成）计数方法或计数体制（由基数和位权组成）种种 类类基基 数数位位 权权应应 用用备备 注注十进制十进制0 910i日常日常二进制二进制0 ，12i数字电路数字电路2 = 21八进制八进制0 78i计算机程序计算机程序8 = 23十六进制十六进制0

47、9，A F16i计算机程序计算机程序16 = 24 各种数制之间的相互转换，特别是各种数制之间的相互转换，特别是十进制十进制二进制二进制的转换，的转换，要求熟练掌握。要求熟练掌握。2. 码制：码制：常用的常用的 BCD 码有码有 8421 码、码、2421 码、码、5421 码、余码、余 3 码等，其中以码等，其中以 8421 码码使用最广泛。使用最广泛。 练习练习 完成下列数制和码制之间的相互转换完成下列数制和码制之间的相互转换161028) () () () 35 ( . 2 1 1 0 1 0 18421BCD210) () () 151 ( . 4 128 16 4 2 10001 0101 000110216) () () DE2 ( . 3 BD8421BCD) () () 1 0 0 1 0 1 ( . 5 0 1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 1 1 192512 128 64 16 8