行列式的性质及展开计算

1、11a12a22a21a2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算二元线性方程组二元线性方程组,2221121122212111aaaaababDDx .2221121122111122aaaababaDDx .,22221211212111bxaxabxaxa的解为的解为333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 11a111

2、213212223313233aaaaaaaaa21a31a12a22a32an阶行列式的定义阶行列式的定义1 2121 212111212122212( 1).nnni iiiinii iinnnnnna aaaaaaaaDaaa 2 2由由n n 个个数数组组成成的的 n n 阶阶行行列列式式等等于于所所有有取取自自不不同同行行不不同同列列的的 n n 个个元元素素的的乘乘积积的的代代数数和和记记作作定义定义).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa上三角行列式上三角行列式12111222000nnnnaaaaaa1122.nna aa 下三角

3、行列式下三角行列式11222112000nnnnaaaaaa1122.nna aa 12.n 12n 对角行列式对角行列式特别的，特别的，第二节第二节 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质二、应用举例二、应用举例三、小结三、小结一、行列式的性质一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211改变书写方向改变书写方向121321112333332221aDaa

4、aaaaaa 213121321122333132TaDaaaaaaaa 112233122331132132a a aa a aa a a 132231122133112332.a a aa a aa a a112233132132122331a a aa a aa a a 132231112332122133.a a aa a aa a a112131122232132333aaaaaaaaa 111213aaa212223aaa证明：证明：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 nnnnnnTbbbbbbbbbD212222111211 设设则则jiijab ), 2

5、, 1,(nji 由行列式定义由行列式定义 nnnjjjnjjjjjjTbbbD21212121)()1( Daaannnjjjnjjjjjj 21212121)()1( 说明说明：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质：行列式中行与列地位相同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。对列也成立，反之亦然。 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .111213212223313233aaaDaaaaaa 1112131313233212223aaaDaaaaaa 交换交换2，3行行111213212223313233aaaDaaaaaa 11223312233

6、1132132a a aa a aa a a 132231122133112332.a a aa a aa a a111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132a a aa a aa a a 132231122133112332.a a aa a aa a a1112131313233212223aaaDaaaaaa 111213313233212223aaaaaaaaa 113121aaa123222aaa113223123321133122a a aa a aa a a 133221113322123123a a aa a aa a aD 1

7、11213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132a a aa a aa a a 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .证明：证明：设设nnnntnttsnssnaaaaaaaaaaaaD21212111211 交换交换s、t 两行，得两行，得nnnnsnsstnttnaaaaaaaaaaaaD212121112111 s行行t行行由行列式定义可知，由行列式定义可知，D中任一项中任一项可以写成可以写成ntsntsnjtjsjjjjjjaaaa111)()1( 因为因为nstntsnjsjtjjnjtjsjjaaaa

8、aaaa1111 （2）（1）显然这是显然这是1D中取自不同行、不同列的中取自不同行、不同列的n个元素的乘积，而且个元素的乘积，而且（2）式右端的）式右端的n个元素是按它们在个元素是按它们在1D中所处的行标为自然顺序中所处的行标为自然顺序排好的。因此排好的。因此nstnstnjsjtjjjjjjaaaa111)()1( 是是1D中的一项。中的一项。（3）因为，排列因为，排列ntsjjjj1与排列与排列nstjjjj1的的奇偶性相反，所以项（奇偶性相反，所以项（1）与项（）与项（3）相差一符号，这就证明）相差一符号，这就证明了了D的任一项的反号是的任一项的反号是1D中的项，同样可以证明中的项，同

9、样可以证明1D中的中的任一项的反号也是任一项的反号也是D中的项。中的项。因此，因此，DD1记法记法 行列式的第行列式的第s行：行：sr行列式的第行列式的第s列：列：sc交换交换s、t两行：两行：tsrr 交换交换s、t两列：两列：tscc 例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD ,571571 266853.825825 361567567361266853 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用

10、数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kk111221121iiinnnnnnaaaakakakaaa121112112iiinnnnnnaaaaaaaaak 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质行列式中如果有两行（列）元素成比性质行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明12121112112iiinnnnnniiinaaakaaaaaaakaka12111211212nnnnniiiniiinaaaaaaaaaaaak . 0 .33323123222113121

11、153531026aaaaaaaaa11121321222331323335621350aaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa, 1 15)3(2 .30 1112132122233132335532335aaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa352 () 性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. . (34)(52)612763851(486)9542D 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：例如例如1271276386385955954263452

12、6142684D 性质性质5动画演示动画演示.127051127051 131 2 2 2201131 222175 201131 )2( 2)2( 175 njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111 k例如例如性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变例如例如3211128211D 212cc 721112011

13、8 例例二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3111131111311113D 3111131111311113D 6666131111311113111113116113111131111020060020000248. 解解1234rrrr16r 21rr 31rr 41rr 例例2 2 计算行列式计算行列式abbbbabbDbbabbbba 解解3333abbbbababbabbababbba D将第将第2,3,4列都加到第列都加到第1列得列

14、得 11311bbbabbabbabbba 10003000000bbba baba ba b 33 () .ab a b 例例3 3 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna (行列式中行与列具有同行列式中行与列具有同等的地位等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立同样成立). 计算行列式

15、常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用定义;(2)利用利用性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值列式的值三、小结三、小结行列式的性质行列式的性质 12342341134124123 01111011211011110Ex1.123413411014121123160123401131002220111 1234234113412412312340113100044000411111011311011110 11110100300100001 0111101121101111031113011310131103 1111101131

16、1011110 311130113101311011110100300100001 11111011311011110 311130113101311011110100300100001 11111011311011110 3111301131013110 21413121252327025 10212110112030321Ex2. 12222222422322224 35211105313132413 10212110112030321102101320222032126 1322041075 13222232113212111321 214131212523270258156215072

17、51241132125320725 1241056201500725(3)3521110513132413D 解：解：3521110513132413D 04510041213130213 4510412213 25102 212113 0342 018113 40 4222232222222221 242321rrrrrr2000010022220001 (4) 解解: 12r2r2000010022200001 = - 4.思考题：思考题：35211105,13132413D 设设求求11121314AAAA解：解：11121314AAAA1105131324131111 4 例例nD00

18、1030100211111 箭形行列式箭形行列式目标：把第一列化为目标：把第一列化为0011a成三角形行列式成三角形行列式.nccccn12311123nini21111100200030000)11( !2 niinEx.4321xaaaaxaaaaxaaaaxD )4 , 3 , 2 , 1,( iaxi（可以化为箭形行列式）（可以化为箭形行列式）14131312rrrrrrrr axxaaaxxaaxxaaaax 413121100000)()(4321axaxaxax 10010101001143211 axaaxaaxaaxx4321cccc 41)(iiax1000010000104324211axaaxaaxaaxaaxxii 414211)(iiiiaxaxaaxx 证证21211Daa21aa）式成立）式成立时（时（当当12 n例例证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式1222212111112111().nnnijj i nnnnnaaaDaaaaaaaa ) 1 (行列式的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1设对阶假假（1）1）于于 3范3范德德蒙蒙行行列列式式成成立立，1234422221234333312341111aa