第四章弯曲内力

1、 不积跬步，无以至千里；不积跬步，无以至千里； 不积小流，无以成江海。不积小流，无以成江海。 荀子荀子 劝学劝学赠言赠言起重机大梁起重机大梁目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例镗刀杆镗刀杆目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例车削工件车削工件目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例火车轮轴火车轮轴目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例弯曲特点弯曲特点以弯曲变形为主的杆件通常称为梁以弯曲变形为主的杆件通常称为梁目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例常见弯曲构件截面常见弯曲构件截面目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和

2、实例平面弯曲平面弯曲具有纵向对称面具有纵向对称面外力都作用在此面内外力都作用在此面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例梁的载荷与支座梁的载荷与支座集中载荷集中载荷分布载荷分布载荷集中力偶集中力偶固定铰支座固定铰支座活动铰支座活动铰支座固定端固定端目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例火车轮轴简化火车轮轴简化目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例吊车大梁简化吊车大梁简化均匀分布

3、载荷均匀分布载荷简称简称均布载荷均布载荷目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例非均匀分布载荷非均匀分布载荷目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例简支梁简支梁外伸梁外伸梁悬臂梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式静定梁的基本形式目录4-1 4-1 弯曲的概念和实例弯曲的概念和实例FNFSM 0 xF0N F 0yF1ASFFFy 0McF)(1axFxFMAy F FS S剪力剪力，平行于，平行于横截面的内力合力横截面的内力合力 M M 弯矩弯矩，垂直于，垂直于横截面的内力系的横截面的内力系的合力偶矩合力偶矩FByFNFSMn4-

4、2 4-2 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图目录FAyFAyFNFSMFByFNFSM 截面上的剪力对梁上任截面上的剪力对梁上任意一点的矩为意一点的矩为顺时针顺时针转向时，转向时，剪力为正；剪力为正；反之反之为负。为负。+_ 截面上的弯矩使截面上的弯矩使得梁呈得梁呈上上凹下凸形凹下凸形为为正；正；反之反之为负。为负。+_ 左上右下左上右下为正；为正；反之反之为负为负 左顺右逆左顺右逆为正；为正；反之反之为负为负目录n4-2 4-2 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图即即底侧受拉底侧受拉为为正正解：解：1. 确定支反力确定支反力FAyFBy 0yFFFFByAy2

5、0AMaFFaaFBy 233FFBy 35FFAy 2. 用截面法研究内力用截面法研究内力FAyFSEME 0yF352FFFSE 0EM233522aFMaFE 3FFSE 23FaME 目录 求图示简支梁求图示简支梁E E 截面的内力截面的内力FAyn4-2 4-2 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图FByFByFAyFSEMEO3FFBy 35FFAy 分析右段得到：分析右段得到：FSEMEO 0yF0 BySEFF3FFFBySE 0oMFaaFMByE 2323FaME 目录n4-2 4-2 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图FAyFBy3FFBy 35

6、FFAy 截面上的剪力等于截面上的剪力等于截面任一侧杆段上外力截面任一侧杆段上外力的代数和。的代数和。目录FAyFSE35FFSE 2FFSEF2 3F n4-2 4-2 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图根据剪力正负号的规定，根据剪力正负号的规定，截面左侧梁段上截面左侧梁段上向上向上的外力的外力或截面右侧梁段上或截面右侧梁段上向下向下的外力的外力 将引起将引起正正剪力；剪力；反之，引起反之，引起负负剪力。剪力。3FFBy 35FFAy 截面上的弯矩等于截面任截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代一侧外力对截面形心力矩的代数和。数和。FAyFBy目录MEFAy2335a

7、FME 22aF Fa23 2FMEn4-2 4-2 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图由弯矩的正负号规定：由弯矩的正负号规定：不论截面左侧梁段还是右侧梁段，不论截面左侧梁段还是右侧梁段，向上向上的外力将引起正弯矩；的外力将引起正弯矩；截面截面左左侧梁段上的外力偶，侧梁段上的外力偶，顺时针顺时针转向的转向的 将引起将引起正弯矩正弯矩，逆时针逆时针转向的引起转向的引起 负弯矩负弯矩；截面截面右右侧梁段上的外力偶则相反。侧梁段上的外力偶则相反。)0(kN29030kN1502335 .460y的的正正误误或或校校核核求求也也可可由由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM mk

8、N26)5 . 12(2kN7A1A1S FFMFFF例例 求下图所示简支梁求下图所示简支梁1 1- -1 1与与2 2- -2 2截面的剪力和弯矩。截面的剪力和弯矩。弯曲内力弯曲内力2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力2、计算、计算1-1截面的内力截面的内力F=8kNFAS1F1M)0(kN29030kN1502335 .460y的的正正误误或或校校核核求求也也可可由由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM )0(kN29030kN1502335 .460y的的正正误误或或校校核核求求也也可可由由BBABBAA

9、ABFFMFqFFFFFqFFM )0(kN29030kN1502335 .460y的的正正误误或或校校核核求求也也可可由由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM )0(kN29030kN1502335 .460y的的正正误误或或校校核核求求也也可可由由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM )0(kN29030kN1502335 .460y的的正正误误或或校校核核求求也也可可由由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM )0(kN29030kN1502335 .460y的的正正误误或或校校核核求求也也可可由由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM )0(kN29

10、030kN1502335 .460y的的正正误误或或校校核核求求也也可可由由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM )0(kN29030kN1502335 .460y的的正正误误或或校校核核求求也也可可由由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM 校核：0 AM6 BF5 . 43 q5 . 1 F0 )0(kN29030kN1502335 .460y的的正正误误或或校校核核求求也也可可由由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM mkN26)5 . 12(2kN7A1A1S FFMFFFmkN26)5 . 12(2kN7A1A1S FFMFFFmkN26)5 . 12(2

11、kN7A1A1S FFMFFFmkN26)5 . 12(2kN7A1A1S FFMFFFmkN26)5 . 12(2kN7A1A1S FFMFFF2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFBmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2S qFMFqF3、计算、计算2-2截面的内力截面的内力FBq=12kN/mS2F2M)0(kN29030kN152335 .460y的的正正误误或或校校核核求求也也可可由由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM )0(kN29030kN1502335 .460y的的正正误误或或校校核核求求也也可可

12、由由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM mkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2S qFMFqFmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2S qFMFqFmkN3025 . 15 . 15 . 1kN115 . 1B2B2S qFMFqF练习：练习： 试用简便方法计算试用简便方法计算1-11-1，2-22-2截面上的剪力和弯矩截面上的剪力和弯矩解解（一）求支座反力（一）求支座反力 0,44360,70,40,3ABBABAMRMqPRKNYRRPqRKN 例例1 1 求图示梁求图示梁 C C、B B 截面上的剪力和弯矩。截面上的

13、剪力和弯矩。 例例1图图0,1110,2132CACCAYQRqKNMMRMqKN （二（二）C C 截面的剪力和弯矩，取脱离体图如图截面的剪力和弯矩，取脱离体图如图 a a 所示。所示。 图图 a（三）（三）B B 截面的剪力和弯矩，分别取截面的剪力和弯矩，分别取 B B左左 截面和截面和 B B右右 截面脱离体图如图截面脱离体图如图 b b、c c 所示。所示。 图图 b图图 cmKNqMRMKNqRFABASB55 . 13433233左左mKNqPMKNqPFBSB55 . 01241右右 8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。悬臂梁受均布载荷作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩

14、方程，并画出剪力画出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解：解：任选一截面任选一截面x x ，写出，写出剪力和弯矩剪力和弯矩 方程方程x lxqxxFS0 lxqxxM02/2依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图图FSxMxql2/2qll由剪力由剪力图、弯矩图可见。最图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为大剪力和弯矩分别为qlFSmax2/2maxqlM目录例题例题5-25-2qx xM xFSn4-2 4-2 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 BAlFAYFBY图示简支梁图示简支梁C C点受集中力作用。点受集中力作用。试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画画出剪

15、力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMF FAyAyFb/l F FByByFa/l2 2写出剪力和弯矩方程写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1AC axlFbxFS110/ axlFbxxM1110/CB lxalFaxFS22/ lxalxlFaxM222/3. 3. 依方程画出剪力图和弯矩图。依方程画出剪力图和弯矩图。CFab目录例题例题5-35-3n4-2 4-2 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 BAl图示简支梁图示简支梁C C点受集中力偶作用。点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画试写出剪力和弯

16、矩方程，并画出剪力图和弯矩图。出剪力图和弯矩图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAyM / l FBy -M / l2 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程x2lMa/x1AC axlMxFS110/ axlMxxM1110/CBbxlMxFS220/bxlMxxM2220/3. 3. 依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。lM /lMb/CMab目录例题例题5-45-4n4-2 4-2 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 32/32ql32/32qlBAl简支梁受均布载荷作用简支梁受均布载荷作用试写出试写出剪力和弯矩方程，并剪力和弯矩方程，并画画

17、出剪力出剪力图图和弯矩和弯矩图。图。解解：1 1确定约束力确定约束力00，BAMMFAy FBy ql/22 2写出写出剪力和弯矩方程剪力和弯矩方程yxCx lxqxqlxFS02/ lxqxqlxxM02/2/23. 3. 依方程画出依方程画出剪力剪力图图和弯矩和弯矩图。图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql 目录例题例题5-55-5n4-2 4-2 剪力和弯矩剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图解解 （一）求支座反力（一）求支座反力 0000110,0,23610,0,23BAAABBlMRlq lRq llYRRq lRq l 例例4 绘图示梁的剪力图和弯矩图。绘图示梁的剪力图和弯矩

18、图。 例例4图图 2200021312626Aq lq xq lxQ xRq xxll距支座距支座 A 为为 x 处截面上的剪力为：处截面上的剪力为： 30012366Aq lq xxM xR xq xxxl相应位置的弯矩为：相应位置的弯矩为： （二）列出剪力方程和弯矩方程（二）列出剪力方程和弯矩方程 （三）绘（三）绘 Q 图和图和 M 图图 当当 x=0 时，时， ；当；当 x=l 时，时， ； 06Aq lQ 03Bq lQ 当当 时，时， 。 2lx 024q lQ 中中极值极值： ，x=0 处有最大值处有最大值 。 0dQ xqxdxl 0max6Aq lQQ 2020d Q xqld

19、x 凹向判定凹向判定： ( )1. 由剪力方程可知，由剪力方程可知，Q(x) 为二次曲线。为二次曲线。 2200021312626Aq lq xq lxQ xRq xxll作作 Q 图。图。 当当 x=0 时，时，MA=0 ；当；当 x=l 时，时，MB=0 。 ( )凹向判定凹向判定： 2020d M xq xldx 此方程式说明是此方程式说明是 Q(x)=0 时弯矩有极值。时弯矩有极值。 极值极值： 200062dM xq lq xdxl解得：解得： 时，时， 。3lx 20max9 3q lM 2. 由弯矩原方程可知，由弯矩原方程可知，M(x) 为三次曲线。为三次曲线。 30012366

20、Aq lq xxM xR xq xxxl作作 M 图。图。 三、分布荷载集度三、分布荷载集度 q(x) 、剪力、剪力 Q(x )、弯矩、弯矩 M(x) 三者间的关系三者间的关系 剪力对剪力对 x 的一阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。的一阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。 61dQ xq xdx弯矩对弯矩对 x 的一阶导数等于梁上相应位置上的剪力。的一阶导数等于梁上相应位置上的剪力。 62dM xQ xdx弯矩对弯矩对 x 的二阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。的二阶导数等于梁上相应位置分布荷载的集度。 2263d M xq xdx 根据上面三个关系式，对正确绘制剪力图和弯矩图有很根据上面三个关系式，对正确绘制剪力图和弯矩图有很大帮助。大帮助。下面来分析一下绘剪力图和弯矩图时常见的几种情下面来分析一下绘剪力图和弯矩图时常见的几种情况。况。1. 在梁某一段内无荷载作用。在梁某一段内无荷载作用。在该段内剪力图必是一平行于在该段内剪力图必是一平行于 x 轴的直线。轴