第六章--灰色组合模型

1、灰色组合模型灰色组合模型 南京航空航天大学南京航空航天大学 灰色系统研究所灰色系统研究所第六章第六章 2 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型 引言 组合模型的必要性 仅用单一模型难以全面地揭示研究对象的发展变化规律仅用单一模型难以全面地揭示研究对象的发展变化规律 一般统计模型建模大都需要拥有大量的观测数据一般统计模型建模大都需要拥有大量的观测数据，许多许多经济数据难以满足统计模型的建模要求。经济数据难以满足统计模型的建模要求。 任何一种模型只是研究对象若干侧面中某一个（或某几个）侧面的一种映象，同时由于系统的发展演化过程，往往是许许多多可知因素和未知因素、确定性因素和不确定性因素相互作用的

2、结果，灰色系统需要的数据较少，核心模型GM(1,1)仅用4个数据就可以估计出模型参数，且可达到一 定的模拟精度灰色系统理论在建模过程中一方面提倡尊重原始数据而又不拘泥于原始数据，并允许以科学的定性分析为基础对研究对象的实验、观测、统计数据进行必要的调整和修正3 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型本章结构6.16.2灰色生产函数模型6.36.46.56.6灰色经济计量学模型灰色周期外延组合模型灰色人工神经网络模型灰色线性回归组合模型灰色马尔可夫模型4 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型5 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型经济计量学模型滞后变量模型滞后变量模

3、型非线性模型非线性模型一一元线性回归模型元线性回归模型联立方程模型联立方程模型多元线回归模型多元线回归模型6 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型单一经济计量学模型存在的问题及原因分析存在问题：存在问题： 估计经济计量学模型参数，常常会出现一些难以解释的现象如一些重要解释变量的系数不显著或某些参数估计值的符号与实际情况或经济分析结论相矛盾，个别观测数据的微小变化引起多数估计值发生很大变动等。7 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型单一经济计量学模型存在的问题及原因分析原因分析：原因分析：u观测期内系统结构发生较大变化；u解释变量之间存在多

4、重共线问题；u观测数据的随机波动或误差。需要对模型结构或解释变量重新研究、调整可 以 考 虑 采 用 观 测 数 据 的GM(1,1)模拟值建模，以消除数据随机波动或误差的影响8 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型运用灰关联原理确定进入模型系统的主要变量（1）删去与被解释变量微弱关联的部分解释变量 给定下阈值 ，当 时，删除 ；（2）基于灰色关联聚类确定进入模型系统的变量计算保留解释变量 之间的关联度 ，给定上阈值 ，当 时，视 与 为同类变量。在每一类中选择一个代表作为进入模型系统的变量，删除其余变量。的关联度与计算),2,1(nixyii00iixmiiixx

5、x,2112( , , )j ki ijkmi ii ii00kjiijixkix9 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型灰色经济计量学模型的步骤第一步：理论模型设计第二步：建立GM(1,1)并获得模拟值对所研究的经济活动进行深入分析，根据研究目的，选择进入模型的变量，并根据经济行为理论或经验以及样本数据所呈现出的变量间的关系，建立描述这些变量之间关系的数学表达式。建立GM(1,1)并获得模拟值。为了消除模型各变量观测数据的随机波动或误差，采用各变量的观测数据分别建立GM(1,1)，然后运用各变量的GM(1,1)模拟值作为建立模型的基础序列。10 第六章第六章 灰色

6、组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型灰色经济计量学模型的步骤第三步：参数估计第四步：模型检验第五步：模型应用模型设定后，应根据由GM(1,1)模拟得到的模拟序列，选择适当的方法，如最小二乘法，求出模型参数的估计值。11 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型某地区粮食生产系统分析及预测案例分析基于灰色经济计量学组合模型建模的思想方法，在某区粮食生产系统分析及预测研究中，根据向60位专家进行三轮德尔菲函询的结果，归纳出影响粮食单位面积产量的相关因素共有以下24种：12 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型13 第六章第六章 灰色组合

7、模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型14 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型计算上述各个变量与粮食单位面积产量的关联度 ，取下阈值 ， 皆小于0.4，故将 从解释变量中删去，然后计算保留变量 之间的关联度 ，取上阈值 ，将上述15个保留变量分为以下7个子类： 24232221201916126,，15 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型分别以 作为子类 的代表元，得到影响粮食单位面积产量的7个主要解释变量：16 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型案例分析用GM(1,1)模拟值作为基础数据估计模型参数

8、，得到以下估计式：17 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型案例分析解释变量对 ， 的影响显著，解释力分别达到97.96%和98.71%。为进一步研究粮食总产量，需要建立夏粮、秋粮播种面积模型。 影响播种面积的主要因素有：从而有夏粮播种面积 和秋粮播种面积 的定义式方程：建立解释变量的GM(1,1)模型，以解释变量的预测值为基础对内生变量进行预测，可以提高预测的科学性。 18 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型解释变量 的时间响应还原式如下所示， 和 的预测结果由灾变模型给出。6.1 灰色经济计量学模型19 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济

9、计量学模型变量19982005201011152.941279.811458.222678.92763.03882.98346.5050.8056.50732.0938.6748.811428.1633.4441.471751.711.718511.732.382568.9568.0966.0326173.84176.57180.272776.2474.8773.182852.9754.1755.71表表6.1.1 6.1.1 解释变量预测结果解释变量预测结果20 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型表表6.1.2 6.1.2 夏粮、秋粮单产和播种面积预测值夏粮、秋

10、粮单产和播种面积预测值 年份项目199820002010夏粮单产 3342.773733.804282.22秋粮单产 3433.523806.514246.27夏粮播种面积 48.4148.7949.26秋粮播种面积 42.9841.2839.16y1y2y3y421 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型表表6.1.3 6.1.3 某区粮食总产量预测值某区粮食总产量预测值 年份项目199820002010夏粮总产量 1618.231821.722109.42秋粮总产量 1475.731571.371663.23粮食总产量 3093.963393.093772.65y

11、5y6y22 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型案例分析23 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型案例分析24 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.1 灰色经济计量学模型表表6.1.4 6.1.4 主要粮食作物总产量主要粮食作物总产量GM(1,1)预测值预测值 （单位：万吨）年份项目199820002010小麦总产量 1810.571955.102152.09夏杂粮总产量 31.3433.3135.94稻谷总产量 236.55265.40306.46玉米总产量 721.10869.551098.80薯类总产量 230.97243.

12、78260.81大豆总产量 118.67131.00148.22高粱总产量 12.2310.016.69谷子总产量 32.6634.0135.77其它秋杂粮总产量 24.9126.3830.81夏粮总产量 1841.911988.412188.03秋粮总产量 1376.091581.131888.66粮食总产量 3219.003569.544076.59y51y52y61y62y63y64y65y66y67y5y6y25 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型灰色生产函数模型灰色生产函数模型26 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.2 灰色生产函数模型经典生产函数模型LKeAYt0C-D

13、生产函数模型其中Y为产出，K为资本投入，L为劳动力投入； 为常数，为资本弹性，为劳动力弹性，为技术进步系数0ALKtAYlnlnlnln0C-D模型的线性形式27 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.2 灰色生产函数模型经典生产函数模型存在的问题及解决思路)(,),2 (),1 (nyyyY)(,),2 (),1 (nkkkK)(,),2(),1 (nlllL对于给定的可以得到 ，的估计值。0lnALLKKYYAA计算索洛“余值”。28 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型%100YYAAEA经典生产函数模型存在的问题及解决思路6.2 灰色生产函数模型即可由下式计算出技术进步贡献率问题

14、：数据波动导致参数估计和计算结果错误！解决思路：用GM(1,1)模拟值作为参数估计的基础数据。29 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.2 灰色生产函数模型灰色生产函数模型)(,),2(),1 (nlllLteAY0LK)(,),2(),1 (nkkkK)( ,),2( ),1 ( (nyyyY%100YYAAEA30 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.2 灰色生产函数模型案例分析分四个时期估计模型参数：19521962，19621970，19701980，19801995河南省技术局步贡献率测算7869. 012131. 010581. 01048. 0LKeYt4984. 0

15、25015. 020072. 02088. 0LKeYt4899. 035101. 030098. 0316. 0LKeYt6684. 043316. 040161. 0415. 0LKeYt31 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.2 灰色生产函数模型案例分析表表6.2.1 6.2.1 河南省不同时期技术进步贡献率河南省不同时期技术进步贡献率时期“一五”0.21310.78690.32960.194258.92“二五”0.21310.7869-0.3833196319650.50150.49840.49690.248049.91“三五”0.50150.49840.48150.15533

16、2.25“四五”0.51010.48990.25730.044816.41“五五”0.51010.48990.52590.156429.75“六五”0.33160.66840.73970.244233.02“七五”0.33160.66840.44060.184141.78“八五”0.33160.66840.83890.358742.75Y Y A AEA%32 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.2 灰色生产函数模型由计算资金和劳动力对产出增长速度贡献率的公式计算出资金和劳动力对产出增长的贡献率案例分析%100YYKKEK%100YYLLEL33 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6

17、.2 灰色生产函数模型案例分析表表6.2.2 6.2.2 河南省不同时期资金和劳动贡献率河南省不同时期资金和劳动贡献率时期“一五”0.06710.068320.3720.71“二五”0.35410.0826196319650.21170.037242.66.49“三五”0.25530.070953.0214.72“四五”0.12870.083850.0232.57“五五”0.32580.043761.958.31“六五”0.36060.134948.7518.24“七五”0.14900.107533.8224.39“八五”0.41100.069248.998.25 K K L LEK%EL%3

18、4 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型灰色灰色线性回归组合模型线性回归组合模型35 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.5 灰色线性回归组合模型单一线性回归组合模型、GM（1,1）模型的不足线性回归模型不能描述指数增长趋势GM(1,1)模型不能描述变量间的线性关系36 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.5 灰色线性回归组合模型定义定义定义定义6.5.1 设序列)(),.,2(),1 ()0()0()0()0(nxxxX)(),.,2(),1 () 1 () 1 () 1 () 1 (nxxxX为其1-AGO序列, 其中ittxix1)0() 1 ()()(),.,2, 1(n

19、i 321) 1 (CC)(Ckekxvk称为灰色线性回归组合模型，其中 及 为待定参数。v321,CCC37 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.5 灰色线性回归组合模型引理引理6.5.1灰色线性回归组合模型中的参数 的估计值 可以由下式得到vV2/)3)(2()(V3121m nnkVnmmnk其中)(/ ) 1(ln)(kykykVmmm38 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.5 灰色线性回归组合模型定理定理6.5.1灰色线性回归组合模型的矩阵形式和参数向量估计的矩阵形式分别为ACX)1()1(1)(XAAACTT)() 2() 1 () 1 ()2() 1 () 1 (n

20、xxxX321CCCC,111212neeeAnvvv其中39 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.5 灰色线性回归组合模型实例实例6.5.1 某矿岩下沉预测表表6.5.1 下沉值原始序列下沉值原始序列时间95029504950695089510951296029604下沉值1222314351577583根据对数据变化特点的分析，决定选择灰色线性回归组合模型对下沉值进行预测。)83,75,57,51,43,31,22,12()0(X)374,291,216,159,108,65,34,12()1(X40 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.5 灰色线性回归组合模型参数 的估计值为

21、v0.02058096V 参数向量 的估计结果为C)078.21751,9523.439,995.21750()()1(1XAAACTT由此可得灰色线性回归组合模型078.21751439.9523-21750.995)(02058096. 0)1(kekxk41 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.5灰色线性回归组合模型从而得到各个时刻的模拟值、预测值如表6.5.2实例预测表表6.5.2 模拟值和模拟值和预测值预测值时间9502950495069508951095129602960496069608122231435157758312.3421.7531.3541.1551.1561.

22、3671.79 82.43 93.29104.38残差%-2.851.15-1.124.31-0.30-6.564.280.69)0(x(0) x42 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型灰色灰色马尔可夫马尔可夫模型模型43 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.6 灰色马尔可夫模型马尔可夫链定义定义6.6.1 若随机过程 的转移概率满足,TnXn),|(110011nnnniXiXiXiXP)|(11nnnniXiXP则称 为马尔可夫链。称,TnXn)|()(1iXjXPnpnnij为马尔可夫链的转移概率。若转移概率 与n )(npij,TnXn无关，则称 为齐次马尔可夫链。44 第六

23、章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.6 灰色马尔可夫模型马尔可夫链nnijpppppppP2222111211定义定义6.6.4 设 为转移概率，则称为系统状态转移概率矩阵。命题命题6.6.1转移概率矩阵 P 中的元素具有以下性质:Ijipij, 01 ）（IipIjij, 12）（45 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.6 灰色马尔可夫模型马尔可夫链定义定义6.6.5 称 为马尔科夫链的 n 步转移概率。称 为 n 步转移概率矩阵。1,),|()(nIjiiXjXPpmnmnij)()(nijnpP 命题命题6.6.2 n 步转移概率矩阵具有以下性质：Ijipnij,01)(）（I

24、ipIjnij, 12)(）（nnPP)(3）（46 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.6 灰色马尔可夫模型灰色状态马尔可夫模型按照灰色状态马尔柯夫预测方法可以预测下一期最可能出现的状态，具体步骤如下：第一步第一步：划分预测对象（系统）所出现的状态。设为第二步第二步：计算初始概率（频率）。,iiiba),2,1(si设有s个状态 ，在观测记录的M期中，状态 出现了 次，则s，21iiMMMfii47 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.6 灰色马尔可夫模型灰色状态马尔可夫模型第三步第三步：计算状态转移概率。 的一步转移频率（概率）jiijf)|(ijfiijMM其中 为从 个 出

25、发，下一步转移到 的个数。类似可得m步状态转移概率的近似值ijMiMijiijijMmMmp)()(其中 为从 个 出发，经m步转移到 的个数。)mMij（iMij48 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.6 灰色马尔可夫模型灰色状态马尔可夫模型第四步第四步：根据转移概率进行预测。根据最大概率准则，当ikisiipppp,max21时，可以推测下一步系统将转向状态 。 当矩阵 P中第i行转移概率的最大值难以确定时（即第i 行有两个或两个以上相同或十分接近的最大值），可以进一步考察二步或 n 步转移概率矩阵 或 k) 2(P)(nP49 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.6 灰色马

26、尔可夫模型应用实例例例6.6.1某商店在最近20个月的商品销售量统计记录如下：表表6.6.1商品销售量统计表单位：千件时间t123456789101112131415 16 17 181920销售量404580120 1103840506290110130 140 120 55704580110120试预测第21个月的商品销售量。50 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.6 灰色马尔可夫模型灰色状态马尔可夫模型第一步第一步：划分状态（1）滞销状态：（2）一般状态：（3）畅销状态：第二步第二步：计算初始概率60,01100,602),100(3滞销状态一般状态畅销状态71M52M83M51

27、 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.6 灰色马尔可夫模型灰色状态马尔可夫模型第三步第三步：计算状态转移概率矩阵5, 0, 2; 3, 1, 1; 0, 43333231232221131211MMMMMMMMM，75,70,72;53,51,51;70,74,73333231232221131211ppppppppp7507253515107473P52 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.6 灰色马尔可夫模型第四步第四步：预测第21个月的销售情况第20个月处于畅销状态，由3333323175,maxpppp可知第21个月仍将处于“畅销”状态。53 第六章第六章 灰色组合模型灰色组合模型6.6 灰色马尔可夫模型灰色转移概率马尔可夫模型定义定义6.6.6