11-2正项级数及其审敛法

1、二、比较审敛法二、比较审敛法 三、比值审敛法和根值审敛法三、比值审敛法和根值审敛法 第二节一、正项级数收敛的充分必要条件一、正项级数收敛的充分必要条件正项级数及其审敛法 第十一章第十一章 一、正项级数收敛的充分必要条件一、正项级数收敛的充分必要条件）（0 nu 1nnu 正项级数正项级数 1nnu收敛的收敛的充要条件充要条件是是:部分和数列部分和数列nS有上界有上界. 设设 1nnu收敛收敛 , ,收敛收敛则则nS,0 nu由由 nS知知 nS有上界有上界, , 故故 nS 1nnu又知又知故有界故有界.正项级数正项级数：单调递增单调递增, , 收敛收敛 , 也收敛也收敛.证证 1. 定义定义

2、2. 定理定理11.1( () )( () )问题： 正项级数收正项级数收敛的条件敛的条件?二、比较审敛法二、比较审敛法1. 引例引例例例1 判定正项级数判定正项级数 的敛散性的敛散性. 1e31nn分析分析：欲寻找能控制该级欲寻找能控制该级数部分和数部分和Sn的新收敛级数的新收敛级数解解由于由于,31e31nn 部分和部分和e31e31e312 nnSnn 3131312,23311收收敛敛由由 nn有上界，有上界，知知n 有上界，有上界，从而从而Snn 故级数故级数 1e31nn收敛收敛.定理定理11.2 (比较审敛法比较审敛法),1 nnu 1nnv(1) 若若 1nnv则则 1nnu(

3、2) 若若 1nnv则则 1nnu证证收敛收敛 ,也收敛也收敛 ;发散发散 ,也也发散发散 .，nnvu 设设正项级数正项级数 ，nnvu 部分和满足：部分和满足：nnuuuS 210vvvnn 21收敛，收敛，设设 1)1(nnv，由由nnvu 有上界有上界n 有界，有界，故故nS 1nnu从而从而收敛收敛 .用反证法：用反证法：)2( 1nnu 收敛，收敛，若若，又又nnvu 1nnv收敛收敛 ,矛盾矛盾!由由(1) (1) 有限项不影响有限项不影响级数的敛散性级数的敛散性同敛散同敛散.)0( c 11)2(nnnncuu 与与推论推论 (比较审敛法比较审敛法)() 若若则则() 若若 1

4、nnv则则 1nnu收敛收敛 ,也收敛也收敛 ;发散发散 ,也也发散发散 .设设正项级数正项级数 1nnvnnvu c),(Nn nnvu c,1 nnu 1nnv 1nnu),(Nn 比较法的使用思路：比较法的使用思路：欲证收敛欲证收敛(发散发散)，则放大则放大(缩小缩小).)1(21的敛散性的敛散性判断正项级数判断正项级数 nnn ，1212 nnn例例2解解发散发散且且 111nn.所所给给级级数数发发散散例例3 讨论讨论 p -级数级数 pppn131211( 常数常数 p 0 ).解解 ,1)1时时 p 11npn故故，n1 发散发散 .而而 11nn发散发散 , pn1,1)2时时

5、当当 p),1(nxn ，ppxn11 11npn敛敛散散 小小p?猜：猜：), 2 , 1(11, nnnnnpp分析：分析：发散发散 11nn.11发散发散 npn? nnpnnpxxxn11d1d1), 3 , 2( n大大的敛散性的敛散性 级级数数的的部部分分和和 p pn1), 3 , 2( n nnpnnpxxxn11d1d1oyx) 1(1 pxyp11 nn2pppnnS131211 nnpppxxxxxx13221ddd1xxnpd111 )11 (1111 pnp), 3 , 2(111 np p -级数级数部分和部分和Sn有上界，有上界，,1时时故当故当 p p -级数收

6、敛级数收敛.结论结论 p -级数：级数：1 p1 p 11npn收敛，收敛，注注)1 (1 pnupn某某？判判？某某判判)1(1 pnupn，收收敛敛欲欲证证 1nnu，发发散散欲欲证证 1nnu调和级数调和级数 与与 p-级数级数.常用的比较级数常用的比较级数: 等比级数等比级数, 发散发散.例例4解解 .)1(112的敛散性的敛散性判断正项级数判断正项级数 nnn nnvnnnu 231112 11,123nnnnv收敛收敛而而.)1(112收敛收敛 nnn定理定理11.3 (极限形式的比较审敛法极限形式的比较审敛法),1 nnu 1nnvlvunnn lim则有则有 两级数同敛散两级数

7、同敛散 ;(2) 当当 l = 0 ,1收敛时收敛时且且 nnv;1也收敛也收敛 nnu(3) 当当 l = + ,1发散时发散时且且 nnv.1也发散也发散 nnu设正项级设正项级数数满足满足(1) 当当 0 l + 时时,),0( l证证, 0 对对, ZN存在存在 lvunn)( l,时时当当Nn lvunnn lim由由nnnvluvl)()( )(Nn ,2l 取取由由定理定理 11.2 知知与与 1nnu 1nnv同敛散同敛散 ;(1) 当当0 l +时时,(3) 当当l = +时时, ZN有有,时时当当Nn ,1 nnvunnvu 由由定理定理11.2知知, 1nnv发散时发散时

8、 (2) l = 0 情形情形,.1也发散也发散 nnu请自证请自证;极限形式的极限形式的比较审敛法比较审敛法使用思路：使用思路：lvunnn lim),0( l寻找寻找un的的同阶无穷小同阶无穷小,lim nnnvu由由3 .11由由定定理理例例5:判判定定级级数数的的敛敛散散性性解解时时当当0 x于于是是,)1ln(xx ,12)21ln(lim33 nnn级级数数而而 p 13.)21ln(,nn发发散散级级数数知知. )21ln(13 nn分析分析寻找寻找 的同阶无穷小的同阶无穷小.)21ln(3nun ,)131(113发发散散 npn)1(3/1nOun nnnu231 由由于于,

9、31nnu即即nnnn31231lim 1.231nnn收收敛敛.2311 nnn例例6:判判定定级级数数的的敛敛散散性性解解分析分析寻找寻找 的等价无穷小的等价无穷小.nnnu231 nn)32(1131 ,31 nn3n 起主起主要要 作用作用则则故故取取,31nnv nnnvu lim. 1)(11lim32 nn 131nn收收敛敛，而而知知，由由定定理理3 .11有有因因取取,12nvn nnnvu lim).( nvunn的的高高阶阶无无穷穷小小是是.ln13收收敛敛 nnn, 0lnlim nnn由由 13.lnnnn例例7:判判定定级级数数的的敛敛散散性性解解231lnlnnn

10、nnnun 得得231lnlimnnnn 0lnlim nnn 1211nnnnv收收敛敛，而而知知，由由定定理理3 .11)1(2no 三、比值审敛法和根值审敛法三、比值审敛法和根值审敛法设正项级数设正项级数:1满满足足 nnuuunnn 1lim则则(1) 当当1 (2) 当当1 时时, 级数级数收敛收敛 ;或或时时, 级数级数发散发散 . 1. 比值审敛法比值审敛法),0( 定理定理11.4 (达朗贝尔审敛法达朗贝尔审敛法)(3) 当当1 时时, 比值审敛法比值审敛法失效失效.uunnn 1lim由由证证 (1),1时时当当 11 uunn, 10 ，使，使取取, ZN有有,时时当当Nn

11、 nnuu)(1 12)( nu 1)( NNnu收收敛敛， 1)(nn 由比较法，由比较法，.1收收敛敛 nnu,1时时或或 , ZN有有, 11 nnuu,0lim Nnnuu因此因此所以级数发散所以级数发散.时，时，当当Nn (2) 当当nnuu 11 nuNu 从而从而，由由 nnnuu1lim时，时，即即1lim1 nnnuu级数级数可能收敛可能收敛也也可能发散可能发散. .例如例如, , p 级数级数:11 npnnnnuu1lim ppnnn1)1(1lim 1 但但,1 p级数收敛级数收敛 ;,1 p级数发散级数发散 .,1)3(时时当当 例例8.!22112的的敛敛散散性性！

12、判判断断级级数数 nnn解解nnnuu1lim 因因为为nnnn 1limnnn 11lim.故故级级数数发发散散，1 e !111limnnnnnnn 小结：小结：通项含通项含n! 的级数，的级数，适合用适合用比值法比值法判敛散判敛散.)!2(! 2! 1nnun )!2(!)!2(!nnnnnnn nv )!2(!)!1(2)!1)(1(limlim1nnnnnnvvnnnn 而而nnnn) 12( 2) 1(lim 10 解解.1故故原原级级数数收收敛敛收收敛敛， nnv例例9:判判定定级级数数的的敛敛散散性性的的敛敛散散性性判判断断 122nnnx例例10解解nnnuu1lim 因因为

13、为 22221limxxnnn ,由由比比值值法法知知 .1,0, xx为为常常数数 222121limnxnxnnn 1,10,122xxnxnn发发散散收收敛敛小结小结: 通项含通项含 an 的级数，的级数，适合用适合用比值法比值法判敛散判敛散. 2. 根值审敛法根值审敛法 1nnu设设为正项级数为正项级数, 且且,limunnn 则则;,1)1(级数收敛级数收敛时时当当 .,1)2(级级数数发发散散时时或或当当 如如 p 级数级数 :11pnn pnnnnu1 )(1 n,1 p但但级数收敛级数收敛 ;,1 p级数发散级数发散 .定理定理11.5 (柯西审敛法柯西审敛法) 证明与比证明与

14、比 值法类似值法类似(3) 当当1 时时, 根值审敛法根值审敛法失效失效.例例11解解(方法方法1) 根值法根值法 1)1(122limlim nnnnnnu1 .原级数收敛原级数收敛(方法方法2) 比较法比较法1)1()1(222 nnnnnu收敛，收敛， 1121nn.原级数收敛原级数收敛)1(21221 nnn81lim2lim122 nnnnaa)(limlim1 且且不存在不存在nnnnnauu故比值法失效故比值法失效. .比比值值法法失失效效！对对于于,21)1( nnnnnnnnnnuua) 1() 1() 1(1221 n) 1( 212 奇数奇数，偶数偶数nn81, 2注注内

15、容小结内容小结1 .判断判断正项级数正项级数敛散性的一般程序：敛散性的一般程序：否否0lim？ nnu发散发散 1nnu是是 或不能肯定或不能肯定比值法比值法 lim n1 nunu 根值法根值法unnn lim（可判）（可判）1 收敛收敛 1nnu1 比值法比值法 lim n1 nunu 根值法根值法unnn lim（可判）（可判）1 比值法、根值法比值法、根值法失效！失效！部分和极限法部分和极限法比较审敛法或比较审敛法或2. 级数发散与一般项极限不为零的关系级数发散与一般项极限不为零的关系发发散散 1nnu0lim nnu 0lim nnu)(发散，发散，如：调和级数如：调和级数 11nn

16、.0lim nnu但但根根值值法法判判定定特特殊殊地地，若若用用比比值值法法或或发发散散 1nnu：比比值值法法和和根根值值法法的的关关系系. 3 nnnuu1lim)0(lim nnnu)( 若若这表明：这表明：)1( nnnuu1lim，则用比值法和，则用比值法和根值法判断的结论一致；根值法判断的结论一致；.)2(用用的的范范围围更更广广比比值值法法适适从从理理论论上上看看，根根值值法法较较 收收敛敛)0(. 41nnnuu1lim1 nnnuu备用题备用题例例2-1的敛散性的敛散性判断正项级数判断正项级数 1)1(1nnn ,2)2(2 nnn由由解解.散散由由比比较较法法知知，原原级级

17、数数发发,发散发散 121nn而而 ,2121 nnn得得 214131n lim n例例8-1 讨论讨论)0(11 xxnnn的敛散性的敛散性 .解解 nnnuu1lim nxn)1( 1 nxnx 由由定理定理11.4，,10时时当当 x级数收敛级数收敛 ;,1时时当当 x级数发散级数发散 ;.1发散发散级数级数 nn,1时时当当 x:判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性解解nnnuu1lim)1( ，由由比比值值法法知知例例8-2 .01 anann111lim nnnanna,1limaannn 时时，级级数数收收敛敛；当当10 a时时，级级数数发发散散；当当1 a.1时时，为为调

18、调和和级级数数，发发散散当当 annnnnau! !)1()!1(111nannnauunnnnnnnna)11( 解解 nnnuu1lim eanann )11(lim例例10-1:判判定定级级数数的的敛敛散散性性 nnnuu1lim eanann )11(lim原原级级数数收收敛敛；时时，故故当当, 10 ea原原级级数数发发散散；时时，当当, 1 ea, 1比比值值法法失失效效时时，当当 ea此时，由此时，由 nnuu1nne)11( 1 ,11euuunn 得得0lim nnu故原级数发散故原级数发散.2)1(21 nnn,232)1(2nnnnnvu (方法方法1) 比较法比较法解解,2311收