数学分析华东师大第四版18章_隐函数的定理及应用

1、隐函数的定理1. 显函数2. 隐函数隐函数的概念 显函数具有明确具体的函数表达式。 由一个方程或者一个方程组所确定的函数称为隐函数。 函数的自变量与因变量之间的对应法则由由一个方程式所确定。隐函数的概念., 0)(,(.,),(., 0),(, 0),(IxxfxFJyIxxfyJIyxFJyIxRJIyxF于是一定成立恒等式将它记为的隐函数内值域包含在上定义在则称此方程确定了一个使得都有唯一确定的对于如果存在集合对于一个方程例子)(.11)(,101),(形式可以表示成为显函数的的隐函数值域为可以确定一个定义在方程xxfyRRyyxyxF例子.1)(0, 1 , 1)(;1)(0, 1 ,

2、101),(2222xxfyxxfyyxyxF的隐函数函数值上也可以确定一个定义在形式可以表示成为显函数的的隐函数函数值上可以确定一个定义在方程例子.1)(0, 1 , 1)(;1)(0, 1 , 101),(2222xxfyxxfyyxyxF的隐函数函数值上也可以确定一个定义在形式可以表示成为显函数的的隐函数函数值上可以确定一个定义在方程例子)().(0sin21),()().(03),(33的形式但是无法表示成显函数可以确定一个隐函数方程形式可以表示成为显函数的可以确定一个隐函数方程xfyyxyyxFxfyxyyxyxF例子)(,0),(. 0)(,(),(01),(22即函数的定义域和值

3、域的取值范围以及必须指出确定它的方程，所以我们讨论隐函数时使得无法确定隐函数方程yxyxFxfxFxfyyxyxF隐函数的求导法. 00)(,(),(. 0)(,(,)(, 0),(dxdyFFxxfxFyxFxfxFxfyyxFyx的链式法则可知根据复合函数求偏导数求导，两端关于自变量则对上式具有连续的偏导数，再假设得到恒等式将它代入到方程之中则且可导个隐函数假设由此方程确定了一对于一个方程隐函数的求导法).(,0, 0隐函数的求导公式时当根据yxyyxFFdxdyFdxdyFF例题.,0,2,2:.)(04),(22yxFFdxdyyFyyFxxFxfyyxyxFyx可得根据隐函数的求导公

4、式时当解答的导数所确定的隐函数求由方程例题.,:.)(0arctanln),(22222222222222yxxyyxxyxyyFyxyxyxyyxxxFxfyxyyxyxF解答的导数所确定的隐函数求由方程.,)(0yxyxFFdxdyyxyFyx可得根据隐函数的求导公式时即当例题.3333,0.33,33:.)(03),(22222233xyyxxyyxFFdxdyyFxyyFyxxFxfyxyyxyxFyx可得根据隐函数的求导公式时当解答的导数所确定的隐函数求由方程例题.cos22cos2111. 0.cos211, 1.)(0sin21),(yyFFdxdyyFyyFxFxfyyxyyx

5、Fyx可得根据隐函数的求导公式解答的导数所确定的隐函数求由方程隐函数的二阶求导法. 00)(,(),(. 0)(,(,)(, 0),(dxdyFFxxfxFyxFxfxFxfyyxFyx的链式法则可知根据复合函数求偏导数求导，两端关于自变量首先对上式，具有连续的二阶偏导数再假设得到恒等式将它代入到方程之中则且二阶可导个隐函数假设由此方程确定了一对于一个方程隐函数的二阶求导法.),() (2 ,0. 00222)()(yxyyyxyxxyyyyyxxyxxyxFFyFyFyFFyFdxydFdxdydxdyFFdxdyFFxdxdyFF这里隐函数的二阶求导公式时当导数的链式法则可知再次根据复合函

6、数求偏再求导，关于自变量两端然后对上式隐函数的求偏导法. 00),(,(),(. 0),(,(),(, 0),(xzFFxyxfyxFzyxFyxfyxFDyxfzDzyxFzx的链式法则可知根据复合函数求偏导数求偏导，两端关于自变量则对上式具有连续的偏导数，再假设上的恒等式得到区域将它代入到方程之中则它具有连续的偏导数，上确定了一个隐函数假设由此方程在区域对于一个方程隐函数的求偏导法)(,0, 0)(,0, 0. 00),(,(隐函数的求偏导数公式时当根据隐函数的求偏导数公式时当根据的链式法则可知根据复合函数求偏导数求偏导，两端关于自变量对上式zyzzyzxzzxzyFFyzFyzFFFFx

7、zFxzFFyzFFyyxfyxF隐函数的求偏导法的二阶偏导数！数同理我们可以求出隐函),(yxfz 例题.),(03),(333的偏导数所确定的隐函数求由方程yxfzxyzzyxzyxF解答.3333;3333,0.33,33,3322222222222xyzxzyxyzxzyFFyzxyzyzxxyzyzxFFxzzFxyzzFxzyyFyzxxFzyzx公式可得根据隐函数的求偏导数时当例题.),(05422),(222的偏导数所确定的隐函数求由方程yxfzzyxzyxzyxF解答.214222;214222,)2(0. 42, 22, 22zyzyFFyzzxzxFFxzzzFzzFyy

8、FxxFzyzx公式可得根据隐函数的求偏导数时即当例题.).,(0),(yzxzyxfzzxzyyxF和求偏导数所确定的隐函数为设方程解答. 0. 0,0),(32313132321)()()(FxFFzFyxzFzFyxzFxFxzxzFxzFyFxzxzyyxF得到求偏导数对自变量的两端方程解答. 0. 01,0),(32212132321)()()()(FxFFFxyzFFxyzFxFyzxFyzFxFyzxzyyxF得到求偏导数对自变量的两端方程例题.).,(),(yzxzyxzzxyzzyxfz和求偏导数所确定的隐函数为设方程解答.1.1,),(.,),(212121)()(fxyf

9、fyzfxzxzxyyzfxzfxzxxyzzyxfzyxyxzz得到同时求偏导数对自变量的两端方程的函数是自变量解答.1.1,),(.,),(212121)()(fxyffxzfyzyzxyxzfyzfyzyxyzzyxfzyxyxzz得到同时求偏导数对自变量的两端方程的函数是自变量隐函数的存在唯一性定理.),()()2();,(, 0)(,(),(),(),(0),(, 0) 1 ( :, 0),()(;),(),(),()();(0),()(),(00000000000000内连续在区间使得内的隐函数定义在唯一地确定了一个方程一定存在一个则的某个邻域内连续点都在初始条件满足设二元函数xx

10、xfxxxxfxFxfyxfyxxyxFyxFiiiyxyxFyxFiiyxFiyxFyy证明.),(,),(),(. 0),(),(),(),(),(),(),(, 0),(0000000000000000严格单调递增且连续上在区间的一元函数作为对于每个固定的都有，使得邻域的某个存在点保号性由二元连续函数的局部不妨设yyyyxFxxxyxFyyxxyxyyxxyxyxFyy证明. 0),(, 0),(),(, 0,),(),(),(; 0),(, 0),(0),(00000000000000yxFyxFxxxxxxyxFyxFyxFyxFyxF有使得一定存在部保号性根据一元连续函数的局的一元

11、函数上是作为在区间由初始条件证明.)(. 0),(),(,),(),(; 0),(, 0),(,),(00000000存在唯一性的数这样我们就证明了隐函满足一定唯一存在的存在性定理根据一元连续函数的根续的上严格单调递增且是连的一元函数在区间作为有上取定一点在区间xfyyxFyyyyyyyxFyxFyxFxxx隐函数的连续可微性定理.,),()()2();,(, 0)(,(),() 1 (),(),(0),(, 0, 0),()(;),(),(),(),()();(0),()(),(00000000000000yxyyxFFdxdyxxxfxxxxfxFxfyxfyxxyxFyxFiiiyxyx

12、FyxFyxFiiyxFiyxF且内具有连续的导函数在使得内的隐函数定义在唯一地确定了一个方程则一定存在一个的某个邻域内连续点都在初始条件满足设二元函数证明. 10,),(),(),(),(0; 0),(, 0),()(),().,(),(0000其中理可知根据二元函数的中值定设充分小使得取设yyyxxFxyyxxFyxFyyxxFyyxxFyxFxxfyyxfyxxxxxxxxyx证明.lim;),(),(, 0),(),(0yxxyxyxFFxydxdyyyxxFyyxxFxyyyyxxFxyyxxF根据隐函数的存在唯一和连续可微性定理, 0),()(;),(),(),(),(),()()

13、;(0),()(),(000000000zyxFiiizyxzyxFzyxFzyxFzyxFiizyxFizyxFzzyx的某个邻域内连续点都在初始条件满足设三元函数隐函数的存在唯一和连续可微性定理.,),(),()2();,(),(, 0),(,(),() 1 (),(),(),(0),(, 0000000000zyzxFFyzFFxzPUyxfPUyxyxfyxFyxfzyxPyxfzPUzyxF且内具有连续的偏函数在使得内的隐函数定义在唯一地确定了一个方程则一定存在一个例题.01)(,2222dxdzyxyxxfyyxz试求出所确定的隐函数是由方程其中设解答.2202)(201.22)(

14、,2222yxyxdxdydxdyydxdyxyxyxyxdxdyyxdxdzxfyyxz由方程首先由例题.,.03),(,333222yuxuxyzzyxyxfzzyxu试求出所确定的隐函数是由方程其中设解答.,03;22;22),(,333222yzxzxyzzyxyzzyyuxzzxxuyxfzzyxu可以求出而由方程首先由反函数的存在性及求导公式.)( 1)( ),(, 0)( ).(),( )(0000000 xfyyxyxfxfyxfxxfy且可导的反函数的某个邻域内存在连续则在点如果且导函数的某个邻域内有连续的在点设证明. 0),(0)( . 1),(),( ),(, 0)(),

15、(. 0)(),(0000000yxFxfyxFxfyxFyxfyxFyxfyxFxyx根据已知条件考虑方程证明.)( 1),(),()( );(0)(),(0000000 xfyxFyxFyyxyyxfyxFxy并且的隐函数某个邻域内的连续可导的能够确定出在点方程由隐函数定理可知隐函数组 由方程组所确定的隐函数组 的导数或偏导数的求法.隐函数组导数的求法,)()(,),(),(0)(),(,(0)(),(,().(),(0),(, 0),(可导和而隐函数具有连续的一阶偏导数假设中得到恒等式将它们代入到方程组之隐函数组确定了一个设方程组xgzxfyzyxGzyxFxgxfxGxgxfxFxgz

16、xfyzyxGzyxF隐函数组导数的求法0, 0,0)(),(,(0)(),(,(dxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFxxgxfxGxgxfxFzyxzyx得到求导数关于自变量对于恒等式隐函数组导数的求法.)(),(, 000, 0的导数由此得到隐函数组就可以求出唯一解，列式不为只要此方程组的系数行求解这个线性方程组xgzxfyGGFFdxdzGdxdyGGdxdzFdxdyFFzyzyzyxzyxJacobi(雅可比)行列式.),(),(),(,zyGFGGFFJacobizyGFGGFFzyzyzyzy记作或者函数行列式行列式的关于变量称为函数此系数行列式例题的导数所确定的隐函数求

17、由方程组)(),(2222xgzxfybzyxazyx解答010222,2222dxdzdxdydxdzzdxdyyxxbzyxazyx可得方程组求导数关于自变量对于方程组解答.,)(),(, 0221122010222dxdzdxdyxgzxfyzyzydxdzdxdydxdzzdxdyyx的导数隐函数就可以解出的系数行列式只要方程组隐函数组偏导数的求法,),(),(,),(),(0),(),(,(0),(),(,().,(),(0),(, 0),(连续的一阶偏导数也具有和而隐函数具有连续的一阶偏导数假设中得到恒等式将它们代入到方程组之隐函数组确定了一个设方程组yxgvyxfuvuyxGvu

18、yxFyxgyxfyxGyxgyxfyxFyxgvyxfuvuyxGvuyxF隐函数组偏导数的求法0, 0,0),(),(,(0),(),(,(xvGxuGGxvFxuFFxyxgyxfyxGyxgyxfyxFvuxvux得到求偏导数关于自变量对于恒等式隐函数组偏导数的求法.),(),(, 0),(),(00, 0的偏导数隐函数组此得到就可以求出唯一解。由行列式即列式不为只要此方程组的系数行求解这个线性方程组yxgvyxfuvuGFGGFFJacobixvGxuGGxvFxuFFvuvuvuxvux隐函数组也有相对应的存在唯一性和连续可微性定理.隐函数与隐函数组.,)(偏导数的公式计算求解然后

19、再根据复合函数求哪些变量是因变量哪些变量是自变量结构一定要注意明确函数的时偏导数数组的导数由方程组所确定的隐函数和求由方程所确定的隐函例题xyvyxuyxvxyuJacobi2)2() 1 (22行列式求出下列变换的反函数组 研究由二元函数组所确定的反函数组存在的充分条件. 反函数组的定义.反函数组.).,(),(.:),(.:),(),(),(122组称为原函数组的反函数上的一个二元函数组也就是存在定义在的逆映射为记可逆变换是一一映射如果记作变换的一个映射到点集确定了从点集设二元函数组vuyyvuxxBABTTTBATRBRAyxvvyxuu反函数组),(),(),(),(vuyvuxvvv

20、uyvuxuu于是成立恒等式反函数组的存在性定理.);,(),(),(, 0)0,0(),(),().,(),(,),(),(),(0000000000|一阶偏导数且反函数组存在连续的一组反函数的的某个邻域内存在唯一则在点如果且具有连续的一阶偏导数的某个邻域内在点设二元函数组vuyyvuxxvuyxyxvuyxvvyxuuyxyxvvyxuu证明. 0),(),(, 0),(),(. 0),(),(, 0),(),(. 0),(),(0),(),(),(),(000000000000000000|yxyxyxGFyxvuyxvvvuyxGyxuuvuyxFyxvvvuyxGyxuuvuyxF根

21、据已知条件考虑方程组证明).,(),(),(. 0),(),(0),(),(00vuyyvuxxvuyxvvvuyxGyxuuvuyxF的隐函数组的具有一阶连续偏导数某个邻域内能够确定出在点方程组由隐函数组的定理可知证明. 1),(),(),(),(.vuyxyxvuJacobi行列式互为倒数的数组并且可以证明互为反函坐标变换.sin,cos,0.cossinsincos),(),(.sin,cos),(),(可以确定其反函数组由二元函数组时当之间的坐标变换公式为与极坐标平面上的点的直角坐标ryrxrrrrryxryrxryx坐标变换.cos,sinsin,cossin),(),(rzryrx

22、rzyx之间的坐标变换公式为与球面坐标空间上的点的直角坐标坐标变换.cos,sinsin,cossin,0sin.sin),(),(.cos,sinsin,cossin22可以确定其反函数组由三元函数组时当rzryrxrrrzyxrzryrx几何学上的应用 平面曲线的切线与法线 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线平面曲线的切线与法线).()( 1),().)( ),().(.),(.0),(0000000000000 xxxfyyyxxxxfyyyxxfyxyxyxF处的法线方程为该曲线在点处的切线方程为该曲线在点连续可微的隐函数一个的某个邻域内确定唯一则在点满足隐函数定理的条件如果在

23、点给出设平面曲线由方程平面曲线的切线与法线. 0)(,()(,(),(. 0)(,()(,(),().()( 0000000000000000yyyxFxxyxFyxyyyxFxxyxFyxFFxfxyyxyx处的法线方程为该平面曲线在点处的切线方程为则该平面曲线在点隐函数的求导数公式例题. 01354) 1 , 2(. 0645) 1 , 2(.12186) 1 , 2(,15924) 1 , 2(;96,96.922),(:.) 1 , 2(0922223333yxyxFFxyFyxFxyyxyxFxyyxyxyx处的法线方程为在点处的切线方程为在点则有设解答程处的切线方程与法线方在点求平

24、面曲线空间曲线的切线与法平面 空间曲线的两种表达形式空间曲线的切线与法平面),(),(),(),()(),(),(),(),0 , 0 , 0()( ),( ),( ()(),(),(.),(),(),(000000000000000ttzzzzttyyyyttxxxxzyxQtzztyytxxzyxPttztytxttztytxttzztyytxxL和附近的一点设点并且可导关于这里给出由参数方程设空间曲线空间曲线的切线与法平面.0000000曲线的切线取极限可得割线趋向于令的割线方程为和上两点于是连接空间曲线ttzzztyyytxxxzzzyyyxxxQPL空间曲线的切线与法平面).( ),

25、( ),( (.)( )( )( ),(0000000000000tztytxtzzztyyytxxxzyxPt切线的方向向量为为处的切线方程空间曲线在点取极限可得令空间曲线的切线与法平面. 0)( )( )( ),(.),(.)( )( )( ),(000000000000000000000zztzyytyxxtxzyxPzyxPtzzztyyytxxxzyxP为处的法平面方程空间曲线在点处的法平面线在点垂直的平面称为空间曲并且与空间曲线的切线通过点例题.4cos,cossin,sin:22方程处的切线方程与法平面在求空间曲线ttczttbytaxL空间曲线的切线与法平面.),(),()()

26、,()(),(),(,),().(0),(0),(000000000zzzyyzxxzLzyxPzyyzxxzyxPzyxPzyxGzyxFL为参变量以的参数方程是空间曲线的某个邻域内在点连续可导的隐函数组的某个邻域内能确定且假设在点数组定理的条件的某个邻域上满足隐函假设在点表示为两个曲面的交线给出也可以由方程组空间曲线空间曲线的切线与法平面).1),( ),( (;),(),(),(),()( ,),(),(),(),()( .1)( )( ),(0000000000zyzxyxGFzxGFzyyxGFyzGFzxzzzyyyzxxxzyxP切线的方向向量为式由隐函数组的求导数公为处的切线方

27、程空间曲线在点空间曲线的切线与法平面).),(),(,),(),(,),(),(.),(),(),(),(),(),(),(000000yxGFxzGFzyGFyxGFzzxzGFyyzyGFxxzyxP切线的方向向量为为处的切线方程空间曲线在点空间曲线的切线与法平面. 0)(),(),()(),(),()(),(),(),(000000zzyxGFyyxzGFxxzyGFzyxP处的法平面方程为空间曲线在点例题.)5 , 4 , 3(50222222切线方程与法平面方程处的在点相交所得到的空间曲线与曲面求球面Lzyxzyx解答. 0),(),(,120),(),(,160),(),(1086

28、1086)5 , 4 , 3(,0),(050),(222222yxGFxzGFzyGFJacobiGGGFFFGFzyxzyxGzyxzyxFzyxzyx行列式的值为三个处的偏导数为在点求出设方程组解答. 0)4( 3) 3(4. 0)5(0)4(120) 3(160)5 , 4 , 3().0 ,120,160()(.0512041603)5 , 4 , 3(yxzyxLzyxL即处的法平面的方程为在点空间曲线为切向量切线的方向向量处的切线方程为在点空间曲线曲面的切平面与法线 曲面在一点P的切平面的定义曲面的切平面的定义).,(inf),(),(.,. 0),(),(lim,.RQQdis

29、tPQdistPPSQPQdistPSPRPQS的距离；到平面表示点其中为切点处的切平面在点为曲面则称平面使得的平面如果存在通过点上的一点是曲面设点可微性的几何意义 可微性的几何意义：.),(),(),(),(),(00000000处可微在点二元函数轴的切平面存在不平行于处在点曲面yxyxfzyxfzzyxPyxfz曲面的切平面与法线.1),(),(),().1),(),()(.).)(,()(,(),(),(),(,),(),(:00000000000000000000000000000zzyxfyyyxfxxzyxPyxfyxfnPPyyyxfxxyxfzzyxfzzyxPyxfzyxyx

30、fyxyxyx的法线方程是通过切点是法向量线的方向向量由切平面的方程知道法处的法线称为曲面在点线并且与切平面垂直的直通过切点切平面方程为处的在点则曲面处可微在点如果二元函数可以证明例题.134121) 3 , 1 , 1 ();1, 4 , 2().1(4) 1(23) 3 , 1 , 1 (, 4) 1 , 1 (4),(; 2) 1 , 1 (2),(,2),(:.) 3 , 1 , 1 (2)(2222zyxnyxzfyyxffxyxfyxyxfzyxzyyxx处的法线方程是点向量由切平面的方程可知法切平面方程是处的点解答切平面方程与法线方程处的在点抛物面求出曲面曲面的切平面与法线.),

31、(,),(),(),(),(,),(.0),(000000000zyyzxxFFyxfFFyxfyxfzyxfzzyxPzyxPzyxFS并且使得连续可微的隐函数一的某个邻域内能确定唯且假设在点满足隐函数定理的条件的某个邻域内假设在点给出由方程设曲面曲面的切平面与法线.),(),(),(),().,(),(),(. 0)(,()(,()(,(),()(),(000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyxPSzyxFzyxFzyxFnzzzyxFyyzyxFxxzyxFyyFFxxFFzzzyxPSzyxzyxzyx

32、zyzx处的法线方程是在点曲面向量是由切平面方程可知其法程是整理一下可知切平面方处的切平面方程是在点曲面例题.312111) 1 , 1 , 1 ().3 , 2 , 1 (. 0) 1(6) 1(4) 1(2) 1 , 1 , 1 (. 6) 1 , 1 , 1 (, 4) 1 , 1 , 1 (, 2) 1 , 1 , 1 (;6,4,2, 632),(:.) 1 , 1 , 1 (632)(222222zyxnzyxFFFzFyFxFzyxzyxFzyxzyxzyx处的法线方程是曲面在点法向量是由切平面的方程可知其处的切平面方程是于是曲面在点则有设解答方程处的切平面方程与法线在点椭球面求

33、曲面条件极值问题 在以前所讨论的极值问题中，对自变量的变化没有任何约束，它们可以在函数的定义域内自由地变化。 在实际问题中还有一类极值问题，自变量受到各种约束条件的限制，它们只能在定义域的某一范围内变化。这类带有附加约束条件的极值问题称为条件极值问题。条件极值问题.),(0),(),(:的极值的限制之下在一个约束条件求目标函数条件极值问题的形式zyxfuzyxzyxfu条件极值问题的必要条件0),(0),(),(0),(),(0),(),(),(,),(),().,(0),(),(000000000000000000000000000000000zyxzyxzyxfzyxzyxfzyxzyxf

34、zyxPzyxzyxfzyxPzyxzyxfuzzyyxx处满足使得在点则一定存在某一常数具有一阶连续的偏导数和约束函数并且目标函数有一个极值点的限制之下在一个约束条件设目标函数条件极值问题的必要条件),(),(),(zyxzyxfzyxL和辅助函数我们引入辅助变量. 0),(,),(),().,(0),(),(:00000000LLLLzyxPzyxzyxfzyxPzyxzyxfuzyx处满足下面方程组则点具有一阶连续的偏导数和约束函数并且目标函数有一个极值点的限制之下在一个约束条件设目标函数由上述定理可得Lagrange乘子法函数的一般极值问题！讨论为于是条件极值问题转化函数。称为和辅助函

35、数乘子称为引入的辅助变量乘子法。法称为这种求条件极值点的方LagrangeLagrangezyxzyxfzyxLLagrangeLagrange),(),(),(,Lagrange乘子法分条件？思考条件极值问题的充值问题的必要条件由此我们给出了条件极的稳定点！函数一定是辅助条件极值问题的极值点乘子法可知：由,),(),(),(zyxzyxfzyxLLagrangeLagrange例题),(3.)0(),(3为任意正实数其中由此证明不等式之下的最大值在条件在第一象限上求函数cbacbaabcrrzyxxyzzyxf解答rzyx000, 0,),().(),().0(),(xyxzyzzyxLLa

36、grangerzyxxyzzyxLLagrangerrzyxxyzzyxf得到方程组并且令它们都等于的所有一阶偏导数辅助函数求出辅助函数构造约束条件是所求问题的目标函数是解答.30, 0, 0.)3(,).9,3,3,3(.9,33322cbaabcczbyaxrxyzzyxrzyxrrrrLagrangerrzyx取有的三个正数满足约束条件值点！点就是目标函数的最大可以证明这唯一的稳定辅助函数的稳定点是一解求解这个方程组得到唯例题),(1113.)0(1111),(3为任意正实数其中由此证明不等式之下的最小值在条件在第一象限上求函数cbaabccbarrzyxxyzzyxf解答得到方程组并且

37、令它们都等于的所有一阶偏导数辅助函数求出辅助函数构造约束条件是所求问题的目标函数是, 0,),().1111(),().0(1111),(zyxLLagrangerzyxxyzzyxLLagrangerrzyxxyzzyxf解答.)3(,311110/0/0/4222rrzyxrzyxzxyyxzxyz一解求解这个方程组得到唯得到方程组解答.11130, 0, 0.)3(,1111).)3( ,3 ,3 ,3(334cbaabcczbyaxrxyzzyxrzyxrrrrLagrange取有的三个正数满足约束条件值点！点就是目标函数的最小可以证明这唯一的稳定辅助函数的稳定点是例题.)0, 0,

38、0( 1),(321321222之下的最小值在条件求函数zyxzyxzyxf解答1020202, 0,),().1(),().0,( 1),(321321321222321321222zyxzyxzyxLLagrangezyxzyxzyxLLagrangezyxzyxzyxf得到方程组并且令它们都等于的所有一阶偏导数辅助函数求出辅助函数构造约束条件是所求问题的目标函数是解答.1.2,232221232221232221323222122322211最小值为值点！点就是目标函数的最小可以证明这唯一的稳定辅助函数唯一的稳定点一解求解这个方程组得到唯Lagrangezyx例题.大的长方体求表面积一定而体积最解答)222(),(!)0()(2),()()(,:SzxyzxyxyzzyxLLagrangeSSzxyzxyxyzzyxfSSzyx辅助函数构造的最大值的限制之下是常数在约束条件体积函数求目标函数由题意可知所求问题是是常数记为表面积一定分别为设长方体的长、宽、高分析