第十三章 8,9,10波函数 氢原子 自旋_

1、1 本节课要求：本节课要求： 知道一维无限深势阱粒子能量特点；熟知四个量子数取值特点，并写量子态；熟练写出电子组态（原子序数小于18）；2第十三章第十三章 早期量子论和量子力学基础早期量子论和量子力学基础3一、对波函数的简单认识一、对波函数的简单认识二、波函数及其统计意义二、波函数及其统计意义三、薛定谔方程三、薛定谔方程将波函数对将波函数对x取二阶偏导数：取二阶偏导数：对对t 取一阶偏导数得：取一阶偏导数得：2222px(1)tixm2222Eit(2) 此式即自由粒子的此式即自由粒子的含时间含时间的薛定谔方程的薛定谔方程.从自由粒子的波函数入手：从自由粒子的波函数入手：)(20),(pxEt

2、hietx注意到低速自由粒子：注意到低速自由粒子：mpE22E(1)、(2)右边统一成右边统一成 得到：得到：（介绍建立方程思路，不是理论推导）（介绍建立方程思路，不是理论推导）三维非自由粒子：三维非自由粒子： titrUm),(2224)1(2222tixm2222222zyx拉普拉斯算符拉普拉斯算符以一维为例以一维为例 考虑考虑 ，即势函数与时间无关，可设，即势函数与时间无关，可设)(xUU )()(),(tfxtx波函数为：波函数为： 代入（代入（1）得到）得到: 与时间、空间无关的常量与时间、空间无关的常量.E)2()(),(EtiextxExUdxdm)(222222)(),(xtx

3、由（由（2）得到）得到:)(x5ExUdxdm)(2222一、一维无限深势阱中的粒子一、一维无限深势阱中的粒子 0 x a阱外阱外)()(2222xExdxdm 0)( xax,x0)()(2222xExdxdm阱内阱内ax0222mEk 0)()(2 xkxkxBkxAxsincos)( 60 x akxBkxAxsincos)( 0)0(0sinka0sin)(kaBa0A) 0( B)0(k), 2 , 1, 0( ,nknka22222222nmamKEn(1) 粒子能量量子化粒子能量量子化(2) 粒子的最小能量不等于零粒子的最小能量不等于零22212manE波函数：波函数：xkBxn

4、sin)(再利用波函数再利用波函数归一归一化条件：化条件：1dsind),(0220 xaxnBxtxaaaB2xkansin22n21nEEn=7= 1= 2= 3= 4nnnn0a2)(x波函数波函数)sin2()(xanaxn0a=1=2=3=4nnnn)(x粒子出现的概率粒子出现的概率2)(xaxx , 0, 0axxana0),(sin22注注意意概率图的概率图的 峰值个数峰值个数=n势阱宽势阱宽 定概率最大的位置定概率最大的位置 x“波包波包”数确定量子数数确定量子数n2na ), 3 , 2 , 1( n8二、有限深势阱，粒子概率分布二、有限深势阱，粒子概率分布2)(x0a经典理

5、论无法解释，实验得到证实经典理论无法解释，实验得到证实.三、一维势垒三、一维势垒 隧道效应隧道效应oax0UUEm 粒子沿粒子沿 方向运动，当方向运动，当 ，粒子可以通过势垒，粒子可以通过势垒.x0UE ，粒子也可以通过势垒，粒子也可以通过势垒.0UE 隧道效应隧道效应经典理论无法解释，实验得到证实经典理论无法解释，实验得到证实. 量子：量子：扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(STM)(STM)原理：利用电子的隧道效应原理：利用电子的隧道效应. . 量子：量子： 如果势阱不是无限深，如果势阱不是无限深，粒子的能量粒子的能量 低于势垒低于势垒，但粒子在阱外不远处出，但粒子在阱外不远处出 现的概率不为

6、零现的概率不为零.9扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜(STM)(STM)金属样品金属样品 外表面有一层电子云外表面有一层电子云( (隧道效应隧道效应) )金属探针靠近样品金属探针靠近样品样品与探针之间加上微小的电压样品与探针之间加上微小的电压 如果如果控制隧道电流保持恒定控制隧道电流保持恒定，针针尖尖在在垂直垂直于样品方向于样品方向高低高低的的变化变化，就，就反映出样品表面情况反映出样品表面情况. . 恒高模式恒高模式，针尖针尖在在垂直垂直于样品于样品方向方向高度高度不变不变. . 10一、氢原子的严格解的一、氢原子的严格解的结果结果xyz）r电子电子原子核原子核（1 1）能量量子化）能量量子化2

7、6 .13nEn 求解求解 得氢原子能量：得氢原子能量：)(rR（2 2）轨道角动量量子化和）轨道角动量量子化和角量子数角量子数求解角函数求解角函数 ，得角动量，得角动量 量子化。量子化。),(L对应符号对应符号 处于处于 能级的原子能级的原子, ,其角动量共有其角动量共有 n 种可能值。种可能值。nE)()()(rRr=称称 为为主主量子数。量子数。n,.,O,N,M,L,K,5,4, 3,2, 1n=设波函数为设波函数为)1( llL角动量角动量L L 取值：取值：称称 为为角角量子数，或量子数，或副副量子数。量子数。l11.,h,g,f,d,p,s)1(,5,4,3,2,1,0-nl=对

8、应符号对应符号 氢原子内氢原子内电子电子的状的状态态（n数字，数字，l符号）符号）主量主量子数子数角量子数角量子数n =1, Kl = 0( s )1sn =2, Ll = 0l = 1( p )2s2pn =3, Ml = 2( d )3s3p3dn =4, Nl = 34s4p4d4f( f )l = 4( g )电子态电子态nl12（3 3）轨道角动量空间量子化和）轨道角动量空间量子化和磁量子数磁量子数lzmL lml,.,2, 1,0称称 为为磁量子数磁量子数。lm12 l 设外磁场设外磁场 的方向的方向沿沿 方向方向，角动量在，角动量在 轴上的投影轴上的投影 只能取只能取zLzzBl

9、lm 可以取可以取 ？个值。？个值。一定时，一定时，例例 ，角动量的空间量子化如图示：，角动量的空间量子化如图示：2, 1l 4 4 核外电子绕核运动核外电子绕核运动，具有磁矩，在外磁场中发生转动，其方具有磁矩，在外磁场中发生转动，其方向也是量子化的。向也是量子化的。13一、施特恩一、施特恩- -格拉赫实验格拉赫实验电子自旋实验证明电子自旋实验证明 自旋角动量无经典对应，是一种相对论效应。自旋角动量无经典对应，是一种相对论效应。S0=lS 下面给出自旋数值下面给出自旋数值, ,自旋角动量量子化。自旋角动量量子化。14二、二、 电子的自旋电子的自旋)1( llL)1( ssS自旋量子数自旋量子数

10、SL 在外磁场中在外磁场中取向取向也是也是量子化量子化的：的：szmS SS21s21smsms,15（1）原子中电子的状态由）原子中电子的状态由四个量子数四个量子数确定：确定：主量子数主量子数 n=1,2,3,大体上决定电子在原子中的能量大体上决定电子在原子中的能量角量子数角量子数 ) 1( llL磁量子数磁量子数lml , 2, 1, 0自旋磁量子数自旋磁量子数 21sm三、三、 原子的电子壳层结构原子的电子壳层结构slmmln,)1(,2,1 ,0 nl（2）电子在原子中的分布遵从下列两个原理：）电子在原子中的分布遵从下列两个原理：16泡利不相容原理泡利不相容原理),(slmmln在原子

11、中，不能有两个或两个以上的电子具有相同的量子数在原子中，不能有两个或两个以上的电子具有相同的量子数量子数相同的电子，最多只有量子数相同的电子，最多只有21022) 12(22) 12(2nnnlNnlnln,lmln ,量子数相同的电子，最多只有量子数相同的电子，最多只有n) 12(2 l量子数相同的电子，最多只有量子数相同的电子，最多只有22n2能量最小原理能量最小原理四、电子组态四、电子组态至少有一个不同！至少有一个不同！mln,.4,6,5,4,5,4,3,4,3,3,2,2,1fspdspdspspssdsp3436262233221: )18(pspssKr17势阱宽势阱宽 与物质波

12、波长与物质波波长 ： 概率图的峰值个数概率图的峰值个数 ：填充电子遵守两个原理：填充电子遵守两个原理：原子中原子中电子状态电子状态的四个量子数：的四个量子数：电子组态电子组态（Z19）：）：a各量子数取值：各量子数取值：本小节课主要内容本小节课主要内容能量特点：能量特点： 21nEEn=n 2na 定概率最大的位置定概率最大的位置slmmln,6262233221pspss不相干不相干最小值最小值18例例 试确定处于试确定处于基态基态氦原子中电子的量子数。氦原子中电子的量子数。)21, 0 , 0 , 1 ()21, 0 , 0 , 1 ( 和和据泡利不相容原理，它们的自旋据泡利不相容原理，它

13、们的自旋磁磁量子数应分别为量子数应分别为1/21/2和和-1/2-1/2。0, 0lml解：氦原子有两个电子。解：氦原子有两个电子。据题意这两个电子处于据题意这两个电子处于1s1s态，即态，即 n=1n=1，则：，则： 因此，处于基态的氦原子中的两个电子的四个因此，处于基态的氦原子中的两个电子的四个量子数分别为：量子数分别为：练习练习13-16在主量子数在主量子数 的量子态中，角量子数的量子态中，角量子数 的的可能取值为可能取值为 ，磁量子数，磁量子数 的可能取值为的可能取值为 。4n llm0,1,2,3l 0, 1,2,3lm 19例：例： 分别计算量子数分别计算量子数 和和 的电子的可的

14、电子的可能能的的状态数。状态数。623ml=0，ms=1/2, -1/2状态状态数数 2 。 因此，因此，第二种情况第二种情况共有状态数共有状态数 2+6=8。12=ln，2 n解：对解：对 的电子，的电子，1, 2 ln1, 0, 1 lm对每一种对每一种 ，lm对于对于 的电子，的电子，1,0 l2 n0 l1 l：状态数状态数 6（同上）（同上）。故总的状态数为：故总的状态数为：21,21 sm又可取又可取 。20练习练习13-17原子内电子的量子态由原子内电子的量子态由 、 、 、 四个量子数表四个量子数表征，当征，当 、 、 一定时，不同的量子态有一定时，不同的量子态有 个；当个；当 、 一一定时，不同的量子态有定时，不同的量子态有 个；当个；当 一定时，不同的量一定时，不同的量子态数目为子态数目为 。nllmsmnllmnln882321pss86223221dpss6262233221pspss242622333221dpspss练习练习13-18氩（氩（Z=18）原子基态的电子组态是：）原子基态的电子组态是：(C) （D）(A) (B) 2(21)l