第七章-第二节-一阶微分方程

1、可分离变量型可分离变量型齐次方程齐次方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程小结小结练习题练习题贝努力方程贝努力方程简单变换简单变换一阶微分方程的一般形式是( , ,)0F x y y 一阶微分方程的显式形式是( , )yf x y d( , )dyf x yx或一阶微分方程的对称形式是( , )d( , )d0M x yxN x yy一一 可分离变量方程可分离变量方程d( ) ( )( ) ( )(1)dyxyyxyx( )d( )d(3)g yyf xx1212( )( )d( )( )d0(2)Mx MyxN x Nyy或通过变形可变为若一阶微分方程有如下形式则称其为可分变量的微分方程可分变

2、量的微分方程（一）（一） 可分离变量方程的形式可分离变量方程的形式（二）（二） 分离变量方程的解法分离变量方程的解法( )d( )dg yyf xx设 y (x) 是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(两边积分, 得 yygd)(xxfd)(CxFyG)()(则有)(yG)(xF则有即( ) d( )dg yyf xxCxFyG)()(反之若有当( )G y与( )F x均可微且 ( )0,G yg y则由隐函数理论知方程可确定以x为自变量隐函数设为y (x)，微分两边得( )d( )dg yyf xx即确定的隐函数是微分方程的解。类似地当( )G y与( )F x均可微且 ( )0F

3、yf x时， 方程称为方程的隐式通解隐式通解, 或通积分通积分.确定以y为自变量隐函数设为 xx是微分方程的解。例例1 1 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: : 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得13lnCxyCxylnln3即13Cxey31xCee3xeCy 1CeC令( C 为任意常数 )或( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )例例2 2 解初值问题0d)1(d2yxxyx解解: : 分离变量得xxxyyd1d2两边积分得 1)0(y21lnlnln1yCx即Cxy12由初始条件得 C = 1,112xy( C 为任意常数 )故所求特解为练习练习: :分离

4、变量求方程ddx yyex通解。解法解法 1 1 ddyxeyexCeexy即01)(yxeCe( C 0 )解法解法 2 2, yxu令则dd1dd uyxx故有d1d uuex积分d1uuxCeueeeuuud1)1 (Cxeuu)1 (ln( C 为任意常数 )所求通解:Cyeyx)1(ln例例3 3子的含量 M 成正比,0M求在衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. 解解: : 根据题意, 有)0(ddMtM00MMt(初始条件)对方程分离变量, MMd,lnlnCtM得即teCM利用初始条件, 得0MC 故所求铀的变化规律为.0teMMM0Mto然后积分:td)(已知

5、t = 0 时铀的含量为已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4成正比,求解解: : 根据牛顿第二定律列方程tvmdd00tv初始条件为对方程分离变量,mtvkmgvdd然后积分 :得Cmtvkgmk)(ln1)0( vkgm此处利用初始条件, 得)(ln1gmkC代入上式后化简, 得特解并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,)1 (tmkekgmvmgvk设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 降落伞下落速度与时间的函数关系. kmgv t 足够大时例例5 5 求下述微分方程的通解:解解: : 令 , 1yxu则dd1dd uyx

6、x故有2d1sinduux即2secddu uxCxutan解得Cxyx) 1tan( C 为任意常数 )所求通解:2sin (1) yxy思考与练习思考与练习 求下列方程的通解 :0d)(d)() 1(22yyyxxyxx提示提示: :xxxyyyd1d122)sin()sin()2(yxyxy(1) (1) 分离变量(2)(2) 方程变形为yxysincos2Cxysin22tanln形如的方程叫做齐次方程齐次方程 .令,xyu 便得原方程的通解.解法解法则二二 齐次方程齐次方程 （一）（一） 齐次方程齐次方程 d( )dyyxx,yuxdd,ddyuuxxx代入原方程得)(dduxuxu

7、xxuuud)(d两边积分, 得xxuuud)(d分离变量: 积分后再用yx代替 u,例例6 解微分方程.tanxyxyy解解: :,xyu 令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得1ln sinln,uxCxCu sin即故原方程的通解为xCxysin( ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)( C 为任意常数 )例例7 7 解微分方程解解: :,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu 令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux

8、 )1(yCxyx)(说明说明: : 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(C 为任意常数)求解过程中丢失了. 22(2)dd0.yxyxxy例例 8 解微分方程解解:d2dyyyxxx,xyu 令则有2xuu 分离变量dd2uxxu积分得1lnuxC即122(0)yCxeC xCe积分得3ln()uxC 即3441(0)yCxeCCex 当0 x 时当0 x 时d2dyyyxxx ,xyu 令则有2xuu 分离变量dd2uxxu d2dyxyxyx( h, k 为待 （二）可化为齐次方程的方程（二）可化为齐次方程的方程,. 111时当bbaa作变换kYyh

9、Xx,dd,ddYyXx则原方程化为 (齐次方程)定常数), 111ddya xbycxa xb yc221(0)cc11ddYa XbYXa Xb Yckbha111ckbha令 0ahbkc1110a hb kc, 解出 h , k 11ddYa XbYXa Xb Y求出其解后, ,Xxh Yyk将代入即得原方程的解。原方程可化为 1)(ddcybxacybxaxy令, ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注注: : 上述方法可适用于下述更一般的方程 )0( b111ddya xbycfxa xb yc)0(212cc,. 211时当bbaa例例9 9

10、求解 解解: :04 kh令,5, 1YyXxYXYXXYdd得再令 YX u , 得令06 kh5, 1kh得XXuuudd112积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量, 得原方程的通解:2d4d65 xyxyxxyy15arctanxy2151ln21xy) 1(lnxC25 xy利用得 C = 1 , 故所求特解为5arctan1yx221ln (1)(5)2xy例例1010:求解解解令d4,d6yxyxxyvxydd1ddvyxx 则则原方程化为 d41d6vvxv 分离变量得6dd22vvxv51d2d1vxv即积分得15ln12vvxC整理后25(1)vxCev其

11、中1CCe 故原方程有通解5(1)y xCexy一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .称为齐次方程齐次方程 ;三三 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 0)(ddyxPxy（一）（一） 解齐次方程解齐次方程分离变量d( )d yP xxy两边积分得1ln( )dyP xxC 故通解为xxPeCyd)(（二）（二） 解非齐次方程解非齐次方程d( )( )dyP x yQ xx常数变易法常数变易法:( )d( )( )P xxy xu x e注意到非齐次方程对应齐次方程d( )0dyP x yx通解为( ) dP xx

12、yCe自然( ) dP xxe也是齐次方程的解。设y是非齐次方程的解，计算y( ) dP xxe，这当然是个函数设为( ),u x即( ) d( ),P xxyu xe即非齐次方程有解形如接下来任务是求( ).u x齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)()()(ddxQyxPxy( )d( )( )P xxy xu x e则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即设xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得是的解，例例11 11

13、 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: : 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法常数变易法求特解. 令,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(练习:利用公式计算在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0例例12 12 有一电路如图所示, , 电阻 R 和电LERK解解: : 列方程 .已知经过电阻 R 的电压降为R i 经过 L的电压降为tiLdd因此有,0ddiRtiLE即LtEiLRtims

14、indd初始条件: 00ti由回路电压定律:其中电源求电流感 L 都是常量,sin,mEEt电动势( ).i tLERK解方程:LtEiLRtimsindd00tiCxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(由初始条件: 00ti得222LRLECm)(ti dtLRetLEmsintLRmeCtLtRLRE)cossin(222tetLRddC利用一阶线性方程解的公式可得tLRmeLRLEti222)()cossin(222tLtRLREmtLRmeLRLEti222)()sin(222tLREm暂态电流稳态电流则令,arctanRLLERK因此所求电流函数为因此所求电流函数为解的意义: 例

15、例13 13 求方程的通解 .分析分析 方程对y 言是非线性的,但对x而言却是线性的。解解 方程可变为22(2)dd0 xxyyyyx2d1 21,dxyxyy则 21 2( ),yP yy( )1Q yx( )dP yye( )d( )dP yyQ y eyC221 21 2dddyyyyyyeeyC112ln2lndyyyyeeyC11221yyy eedyCy112yyy eeC122yCy ey例例1414求方程的通解 .解解: : 注意 x, y 同号,d2d,0 xxxx时当yyxyx2dd2yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式通解公式 , 得ex yy2dey1yy2

16、dCxlnd故方程可变形为0d2d3yyxyyxxyy1y1 lndCy 所求通解为 )0(CCeyyxyCyln这是以x为因变量, y为 自变量的一阶线性方程例例15 15 求一连续可导函数使其满足下列方程:解: 令txuuufxxfxd)(sin)(0求导得xxfxfcos)()(0)0(f得即( )f x0( )sin()dxf xxf xttcosyyx(0)0y利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf注 此类方程称为积分方程,可以通过求导转化为微分方程;需注意的是这类问题是一个定解问题（三（三）伯）伯努利努利 ( Bernoulli ) )方程方程 伯努利方程的标准形式:解

17、法解法: :d( )( )(0,1)dnyP x yQ x ynxny以除方程两边 , 得)()(dd1xQyxPxyynn令,1 nyzxyynxzndd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,换回原变量即得伯努利方程的通解.(线性方程)例例1616 求方程的通解.解解: : 令,1 yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez 将1 yz1)ln(22xaCxyxxd1exa)ln(xxd1Cx d2)ln(2xaCx代入, 得原方程通解: 2d(ln )dyyax yxx一阶微分方程求解一阶微分方程求解 1 1 可分离变量方程可分离变量方程解法解

18、法 (1)(1)分离变量分离变量(2)(2)积分积分( ) ( )yxy 齐次方程齐次方程() yyx某些一阶方程某些一阶方程( )( )ny Px y Qx y贝 努 里 方 程( )( ):()PdxPdxyP x y Q xy eQedx C通解一阶线性方程1nzyyux换元常系数变易齐次2全微分方程注:当方程视y为函数时不是线性的,可考察视x为函数时是否线性思考题思考题. . 设有微分方程, )(xfyy其中)(xf10,2 x1,0 x试求此方程满足初始条件00 xy的连续解.解解: : 1) 先解定解问题10, 2xyy00 xy利用通解公式, 得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00 xy得21C故有) 10(22xeyx2) 再解定解问题再解定解问题1,0 xyy1122) 1 (eyyx此齐次线性方程的通解为) 1(2xeCyx利用